《3.7扇形》预习讲义 2026年暑假苏科版九年级数学上册预习手册

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册14 《第3章圆第7节扇形》预习讲义 一．预习目标 ( 1.理解弧长、扇形定义，熟练掌握弧长、扇形面积双公式并准确计算 2.掌握圆锥结构、母线/高/底面半径关系，理解圆锥侧面展开图与扇形对应关系 3.牢记圆锥侧面积、全面积公式，会解决扇形与圆锥综合计算、江苏各地考题 4.体会转化、类比数学思想，能处理旋转路径、弓形、实际应用题型 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.弧长： ；扇形面积： 2.圆锥侧面积： 、全面积： 3.核心等量：圆锥底面周长=侧面扇形弧长；圆锥母线=扇形半径 （二）难点 1.扇形两个面积公式灵活选用、知二求四计算 2.圆锥展开图圆心角推导、扇形围成圆锥逆向计算 3.旋转弧长、弓形面积、多图形组合综合压轴题 ) 三．自主探究 （一）弧长公式推导 圆周长C=2πR，360°对应整圆周长，1°圆心角弧长：，n°圆心角弧长：（n不带单位°）。 （二）扇形定义与面积 1.扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形。 简单来说：扇形 = 两条半径 + 一段弧 2.扇形面积公式完整推导 半径为R的整圆：圆周长：C=2πR；圆面积：S圆=πR2；整圆圆心角：360o 。 （1）角度式面积公式 S扇形= 360o圆心角，对应整个圆的面积πR2 =>1o圆心角对应的扇形面积： => no圆心角对应的扇形面积：S扇形= （2）弧长关联式面积公式 S扇形=lR  已知弧长公式：，变形得 代入角度面积公式：S扇形= （3）弓形面积=S扇形±S三角形 ①劣弧弓形(弧<半圆） S弓形=S扇形-S三角形 ②优弧弓形(弧>半圆） S弓形=S扇形+S三角形 （三）圆锥相关知识 1.圆锥相关概念 （1） 形成：直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥。 （2）母线：圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段。 圆锥所有母线长度都相等 （3）高：圆锥顶点到底面圆心的垂线段 （4）底面半径：圆锥底面圆的半径 （5）母线、半径、高关系的（勾股定理必考） 母线2=半径2+高2 母线是直角三角形斜边，永远最长 2.圆锥展开图 圆锥侧面沿母线剪开 → 扇形，圆锥底面→圆。 （1）扇形半径 = 圆锥母线l （2）扇形弧长 = 圆锥底面圆周长2πr 3.圆锥侧面积公式（必背） 4、圆锥全面积（表面积） 四．经典例题 例1.（2026盐城盐都一模）半径6cm，圆心角120°扇形弧长为（ ）cm。 A.2π B.4π C.6π D.8π 例2.（2025苏州姑苏期末）扇形弧长6π，半径3，面积为（ ） A.9π B.12π C.18π D.24π 例3.（2026无锡滨湖二模）圆锥底面半径3，母线5，侧面积（ ） A.15π B.20π C.25π D.30π 例4.（2024徐州云龙期中）扇形围成圆锥，扇形半径8，弧长6π，圆锥底面半径（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 例5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　） A．4， B．3，π C．2， D．3，2π【答案】：D 例6．如图，是半圆的直径，是半圆上两点，且满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 例7.（2025常州天宁期末）圆锥高3，底面半径4，母线=____ 例8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，求阴影部分的面积． 例9．如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，求图中阴影部分的面积． 例10.如图，①是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图②所示. (1)请画出这个几何体的俯视图； (2)图③是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6 m，圆柱部分的高OO1=4 m，底面圆的直径BC=8 m，求∠EAO的度数(结果精确到0.1°). ①　 　②　　　 　③ 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2026盐城建湖二模）R=5，n=72°，弧长（ ） A.π B.2π C.5π D.10π 2.（2025泰州姜堰期末）扇形面积12π，R=6，弧长（ ） A.3π B.4π C.6π D.8π 3.（2026镇江丹徒一模）圆锥底面半径2，母线4，侧面积（ ） A.4π B.8π C.12π D.16π 4.（2026淮安淮阴三模）下列正确的是（ ） A.弧长只与半径有关 B.扇形面积只与圆心角有关 C.等弧必等长 D.圆锥母线都相等 5．如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣ 6．如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得经过点O，将纸片⊙O展平后，作半径OB⊥OA，则图中阴影部分的面积等于（　　） A．（4π﹣4）cm2 B．πcm2 C．（﹣8）cm2 D．（π﹣8）cm2 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ D   ） A．2 B．π C．2π D．π 8．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（　　） A．S甲＞S乙 B．S甲＜S乙 C．S甲＝S乙 D．不确定 9．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 10．一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（　　） A．16π B．52π C．36π D．72π （二）填空题 11．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 　 　cm．（结果保留π） 12.如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则弧AE的长为 　 　． 13.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在上，∠BCD＝30°，则的长为 　 　． 14.如图矩形ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点E，再以D为圆心，DA的长为半径画圆，恰好经过点E．已知AB＝2，AD＝2，则图中阴影部分的面积为 　 　． 15.已知菱形ABCD，分别以点A，B，C，D为圆心，以的长为半径画弧，分别交AB BC，CD，AD于点E，F，G，H．若AC＝6，BD＝8，则图中阴影部分的面积为 　 　． 16．如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的周长为 　 　m． 17.如图（1）所示的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）所示的杯子中，那么一共需要 　 　个这样的杯子？（单位：cm） 18．如果把一个圆柱体橡皮泥的一半捏成与圆柱底面积相等的圆锥，则这个圆锥的高与圆柱的高的比为 　 　． 19．已知一个圆柱的全面积是其侧面积的倍，且这个圆柱的全面积是72π，则该圆柱的底面半径r为 　 　． 20．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 　 　． （三）解答题 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）作⊙O，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的圆中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的长． 22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥DC交OC延长线于点F，且∠CDB＝30°． (1)求证：BF是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 23．如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）． (1)若与关于原点成中心对称，则点的坐标为______； (2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转90°，得到，则点的坐标为______； (3)求出（2）中线段扫过的面积． 24.如图，一个用卡纸做成的圆饼状图形放置在V形架中，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B，⊙O的半径为2 cm，AB=6 cm. (1)求∠ACB的度数； (2)若将扇形AOB做成一个圆锥，求此圆锥的底面圆半径. 25.如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2． （1）求α； （2）点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影． 26．如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°． （1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 六．巩固训练 （一）选择题 1．如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（　） A．9 B．6 C．3 D．12【答案】A 2．如图，将Rt△CAB绕点B按逆时针方向旋转90°后，得到Rt△A′BC′，已知∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，则图中阴影部分面积为（　　） A．π B．π C．π﹣ D．π 3．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（　　） A．π B．π C．π D．π 4.如图，AB是圆O的直径，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，则弧BD的长为（　） A．π B．4π C．2π D．45π 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．2π 6．在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径15cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 7.如图，圆锥的轴截面是一个斜边为1的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（ ） A． B． C．π D．π 8．如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD：AB为（　　） A．3：2 B．7：4 C．9：5 D．2：1 9．如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（　　） A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm 10．如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线长为10cm，底面半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为（　　） A．108° B．120° C．144° D．150° （二）填空题 11．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是________. 12．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝　 　米． 13．如图，直角三角形ABC中，，将三角形的斜边AB放在定直线L上，将点A按顺时针方向在L上转动两次，转动到的位置，设BC＝1，AC＝，AB＝2，则点A所经过的路线长是____________． 14.如图，等腰放置在直线上，，.将绕点旋转，使点的对应点落在直线上，再将第一次旋转得到的三角形绕点继续旋转，使其顶点落在直线上点处，则点经过的路径总长为_____（结果保留）． 15．如图，正六边形的边长为2，点是四边形内的一个动点，若（1）______；（2）动点所经过的路线长是______． 16.如图，⊙O的半径为10，A、D是圆上任意两点，且AD＝8，以AD为边作正方形ABCD（点C、O在直线AD两侧）若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为___． 17．用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 　 　cm． 18．圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 　 　°． 19．若一个圆锥的侧面展开图是半径为4cm的半圆，则该圆锥的全面积是 　 　cm2． 20．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　 　． （三）解答题 21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：A1　 　，B1　 　，C1　 　； （2）求点B旋转到点B1的弧长． 22.如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）求∠ACB的度数； （2）若BC＝6，求的长． 23．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒． （1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； （2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值． 24．将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米．（1）求线段的长度；（2）求在此过程中点运动至点所经过的路程． 25．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）： （1）利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，写出D点的坐标为 　 　； （2）连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为 　 　； （3）连接BC，将线段BC绕点D旋转一周，求线段BC扫过的面积． 26.如图，有一个直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始阶段Ⅰ位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题： （1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为 　 　；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系是 　 　； （2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数； （3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过的图形的面积； （4）求OA的长．（结果保留π） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册14 《第3章圆第7节扇形》预习讲义 一．预习目标 ( 1.理解弧长、扇形定义，熟练掌握弧长、扇形面积双公式并准确计算 2.掌握圆锥结构、母线/高/底面半径关系，理解圆锥侧面展开图与扇形对应关系 3.牢记圆锥侧面积、全面积公式，会解决扇形与圆锥综合计算、江苏各地考题 4.体会转化、类比数学思想，能处理旋转路径、弓形、实际应用题型 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.弧长： ；扇形面积： 2.圆锥侧面积： 、全面积： 3.核心等量：圆锥底面周长=侧面扇形弧长；圆锥母线=扇形半径 （二）难点 1.扇形两个面积公式灵活选用、知二求四计算 2.圆锥展开图圆心角推导、扇形围成圆锥逆向计算 3.旋转弧长、弓形面积、多图形组合综合压轴题 ) 三．自主探究 （一）弧长公式推导 圆周长C=2πR，360°对应整圆周长，1°圆心角弧长：，n°圆心角弧长：（n不带单位°）。 （二）扇形定义与面积 1.扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形。 简单来说：扇形 = 两条半径 + 一段弧 2.扇形面积公式完整推导 半径为R的整圆：圆周长：C=2πR；圆面积：S圆=πR2；整圆圆心角：360o 。 （1）角度式面积公式 S扇形= 360o圆心角，对应整个圆的面积πR2 =>1o圆心角对应的扇形面积： => no圆心角对应的扇形面积：S扇形= （2）弧长关联式面积公式 S扇形=lR  已知弧长公式：，变形得 代入角度面积公式：S扇形= （3）弓形面积=S扇形±S三角形 ①劣弧弓形(弧<半圆） S弓形=S扇形-S三角形 ②优弧弓形(弧>半圆） S弓形=S扇形+S三角形 （三）圆锥相关知识 1.圆锥相关概念 （1） 形成：直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥。 （2）母线：圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段。 圆锥所有母线长度都相等 （3）高：圆锥顶点到底面圆心的垂线段 （4）底面半径：圆锥底面圆的半径 （5）母线、半径、高关系的（勾股定理必考） 母线2=半径2+高2 母线是直角三角形斜边，永远最长 2.圆锥展开图 圆锥侧面沿母线剪开 → 扇形，圆锥底面→圆。 （1）扇形半径 = 圆锥母线l （2）扇形弧长 = 圆锥底面圆周长2πr 3.圆锥侧面积公式（必背） 4、圆锥全面积（表面积） 四．经典例题 例1.（2026盐城盐都一模）半径6cm，圆心角120°扇形弧长为（ ）cm。 A.2π B.4π C.6π D.8π 【答案】：B 【解析】：l==4πcm 例2.（2025苏州姑苏期末）扇形弧长6π，半径3，面积为（ ） A.9π B.12π C.18π D.24π 【答案】：A 【解析】：S=×6π×3=9π 例3.（2026无锡滨湖二模）圆锥底面半径3，母线5，侧面积（ ） A.15π B.20π C.25π D.30π 【答案】：A 【解析】：S侧=π×3×5=15π 例4.（2024徐州云龙期中）扇形围成圆锥，扇形半径8，弧长6π，圆锥底面半径（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】：B 【解析】：2rπ=6π→r=3 例5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　） A．4， B．3，π C．2， D．3，2π 【答案】：D 【解析】：连接OC、OB，六边形ABCDEF为正六边形，，，为等边三角形，，，，的长为.故答案为：D . 例6．如图，是半圆的直径，是半圆上两点，且满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】：如图，连接OC ∵∠ADC=120°，∴∠ABC=60°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=∠B=60°，OB=OC=BC=1，∴的长为 ，故答案为：A. 例7.（2025常州天宁期末）圆锥高3，底面半径4，母线=____ 【答案】：5 【解析】：l2=32+42=52→l=5. 例8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，求阴影部分的面积． 解：连接OE、AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝4，∠B＝∠D＝30°，∴AE＝AB＝2，BE＝＝2，∵OA＝OB＝OE，∴∠B＝∠OEB＝30°，∴∠BOE＝120°，∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△BOE，＝﹣×，＝﹣，＝﹣， 例9．如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，求图中阴影部分的面积． 解：连接AC，OD，过点O作OE⊥AD，垂足为E，∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵AD＝CD，∴△ACD是正三角形，∴∠AOD＝120°，OE＝1，AD＝2，∴S阴影部分＝S扇形OAD﹣S△AOD＝×π×22﹣×2×1＝π﹣，故答案为：π﹣． 例10.如图，①是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图②所示. (1)请画出这个几何体的俯视图； (2)图③是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6 m，圆柱部分的高OO1=4 m，底面圆的直径BC=8 m，求∠EAO的度数(结果精确到0.1°). ①　 　　②　　　 　③ ①　 ② 解：(1)俯视图如答图①所示； (2)如答图②，连结EO1.∵EO1=6 m，OO1=4 m，∴EO=EO1－OO1=6－4=2(m)，∵AD=BC=8 m， ∴OA=OD=4 m，∴∠EAO≈26.6°. 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2026盐城建湖二模）R=5，n=72°，弧长（ ） A.π B.2π C.5π D.10π 【答案】：B 【解析】： 2.（2025泰州姜堰期末）扇形面积12π，R=6，弧长（ ） A.3π B.4π C.6π D.8π 【答案】：B 【解析】：12π=×l×6→l=4π 3.（2026镇江丹徒一模）圆锥底面半径2，母线4，侧面积（ ） A.4π B.8π C.12π D.16π 【答案】：B 【解析】：S侧=π×2×4=8π 4.（2026淮安淮阴三模）下列正确的是（ ） A.弧长只与半径有关 B.扇形面积只与圆心角有关 C.等弧必等长 D.圆锥母线都相等 【答案】：D 【解析】：圆锥所有母线长度相等 5．如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣ 【答案】：B 【解析】：以OD为半径作弧DN，∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OD＝OC，∠DOC＝90°，∵∠EOB＝∠FOD，∴S扇形BOM＝S扇形DON，∴S阴影＝S扇形DOC﹣S△DOC＝﹣×1×1＝﹣，故选：B． 6．如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得经过点O，将纸片⊙O展平后，作半径OB⊥OA，则图中阴影部分的面积等于（　　） A．（4π﹣4）cm2 B．πcm2 C．（﹣8）cm2 D．（π﹣8）cm2 【答案】：D 【解析】：作OD⊥AC于H，交于点D，连接OC，∴∠AHO＝90°．由折叠得：弓形ABC与弓形AOC关于AC对称，S弓形ABC＝S弓形AOC，∴HO＝HD＝OD＝2，∴∠AHO＝∠AHD＝90°，在Rt△AOH中，由勾股定理，AH＝＝2．∴∠AOH＝60°．∵AO＝CO，OD⊥AC，∴∠AOC＝2∠AOH＝120°．AC＝2AH＝4．∴S弓形ABC＝S扇形OAC﹣S△OAC＝﹣×4×2＝﹣4．∴S阴影＝2S弓形ABC﹣S扇形OAB＝2（﹣4）﹣＝（）cm2．故选：D． 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ D   ） A．2 B．π C．2π D．π 【答案】：D 【解析】：如图，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF，∵∠AED＝∠CEG，∴∠ADE＝∠CGE＝90°，∴A、C、G、D四点共圆，∴点G的运动轨迹为弧CD， ∵AB＝4，ABAC，∴AC＝2，∴OA＝OC，∵DA＝DC，OA＝OC，∴DO⊥AC，∴∠DOC＝90°，∴点G的运动轨迹的长为π．故选：D． 8．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（　　） A．S甲＞S乙 B．S甲＜S乙 C．S甲＝S乙 D．不确定 【答案】C 【解析】∵S甲＝2π×b×a＝2πab，S乙＝2π×a×b＝2πba，∴S甲﹣S乙＝2πab﹣2πba ＝0，∴S甲﹣S乙＝0，∴S甲＝S乙，故选：C． 9．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 【答案】C 【解析】根据题意，圆锥的母线长为＝2，所以圆锥的表面积＝π×12+×2π×1×2＝3π．故选：C． 10．一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（　　） A．16π B．52π C．36π D．72π 【答案】C 解：如图，AB＝8，SA＝SB＝9，所以侧面展开图扇形的弧BC的长为8π，由扇形面积的计算公式得，圆锥侧面展开图的面积为×8π×9＝36π，故选：C． （二）填空题 11．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 　 　cm．（结果保留π） 【答案】4π 【解析】由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为120°所对应的弧长，即＝4π，故答案为：4π． 12.如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则弧AE的长为 　 　． 【答案】 【解析】如图作AB、BC的垂直平分线，两线交于O，F为AB的中点，连接OA、OE、OC，由垂径定理得：＝，∴OA＝＝，∵∠AOE＝90°，∴弧AC的长是＝，答案． 13.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在上，∠BCD＝30°，则的长为 　 　． 【答案】 【解析】如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴∠AOD＝90°﹣60°＝30°，则的长为＝答案为：． 14.如图矩形ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点E，再以D为圆心，DA的长为半径画圆，恰好经过点E．已知AB＝2，AD＝2，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【答案】2 【解析】连接AE，由题意可知：阴影部分的面积＝△DAE的面积+扇形EAB的面积﹣扇形EDA的面积，∵AB＝2，AD＝2，∴AE＝2，∴△DAE是等腰直角三角形，∴∠DAE＝∠EAB＝45°，DE＝AD＝2，∴阴影部分的面积＝2×2×+﹣＝2，故答案为：2 15.已知菱形ABCD，分别以点A，B，C，D为圆心，以的长为半径画弧，分别交AB BC，CD，AD于点E，F，G，H．若AC＝6，BD＝8，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【答案】24﹣π 【解析】设AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝4，AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝＝5，即AB＝BC＝CD＝AD＝5，∵分别以点A，B，C，D为圆心，以的长为半径画弧，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H，∴AE＝BE＝CF＝DH＝， ∴阴影部分的面积S＝S菱形ABCD﹣（S扇形EAH+S扇形EBF+S扇形FCG+S扇形HDG） ＝﹣＝24﹣π，故答案为：24﹣π 16．如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的周长为 　 　m． 【答案】：π． 【解析】如图，连接OA，OB，OC，则OB＝OA＝OC＝1m，因此阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，则扇形的弧长为：m，而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：2πr＝，解得，r＝（m），∴圆的周长为2πr＝π（cm），故答案为：π． 17.如图（1）所示的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）所示的杯子中，那么一共需要 　 　个这样的杯子？（单位：cm） 【答案】 （2H+h）． 【解析】瓶子中大圆柱的容积为V大＝πa2H（cm3），瓶子中小圆柱容积V小＝a2h（cm3），杯子得容积为V杯子＝π（）2×8＝a2（cm3），则所需杯子个数为（πa2H+a2h）÷a2＝2H+h．故答案为：（2H+h）． 18．如果把一个圆柱体橡皮泥的一半捏成与圆柱底面积相等的圆锥，则这个圆锥的高与圆柱的高的比为 　 　． 【答案】3：2． 【解析】设圆柱的高为a，圆锥的高为b，圆柱底面积为S，根据题意得S•a＝•S•b，所以b：a＝3：2．故答案为：3：2． 19．已知一个圆柱的全面积是其侧面积的倍，且这个圆柱的全面积是72π，则该圆柱的底面半径r为 　 　． 【答案】2． 【解析】∵圆柱的全面积是其侧面积的倍，且这个圆柱的全面积是72π，∴侧面积＝72π×＝48π，∴底面积＝（72π﹣48π）＝12π，∴πr2＝12π，∴r＝2（负根已经舍去），故答案为：2． 20．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 　 　． 【答案】120° 【解析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是n°，2π×10＝， 解得n＝120，即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°，故答案为：120°． （三）解答题 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）作⊙O，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的圆中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的长． 解：（1）如图，作线段AB的垂直平分线交AB于O点，然后以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O即为所求； （2）连接OC，∵AB=4 ，AC＝2∴OA＝OC＝2，，∴OA＝OC＝AC，∴△OAC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴劣弧BC的长为． 22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥DC交OC延长线于点F，且∠CDB＝30°． (1)求证：BF是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 解：（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CEO90°，∵BF // DC，∴∠FBO∠CEO90°， ∴FB⊥OB，OB是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线； （2）∵∠CDB30°。∴∠COB60°，连接BC，∵OBOC，∴△OBC是等边三角形， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CEDE，OEBE， 在△COE和△DBE中， ∴△COE≌△DBE（SAS），∴阴影部分的面积等于扇形COB的面积． 23．如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）． (1)若与关于原点成中心对称，则点的坐标为______； (2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转90°，得到，则点的坐标为______； (3)求出（2）中线段扫过的面积． 解：（1）∵与关于原点成中心对称，，∴点的坐标为．故答案为：； (2)如图，即为所求，点的坐标为．故答案为：； (3)∵，，∴线段扫过的面积=扇形的面积-扇形的面积． 24.如图，一个用卡纸做成的圆饼状图形放置在V形架中，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B，⊙O的半径为2 cm，AB=6 cm. (1)求∠ACB的度数； (2)若将扇形AOB做成一个圆锥，求此圆锥的底面圆半径. 解：(1)如图，过点O作OD⊥AB于点D.∵CA，CB是⊙O的切线，∴∠OAC=∠OBC=90°.∵AB=6 cm，∴BD=3 cm.在Rt△OBD中，∵OB=2 cm，∴OD= cm，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°， ∴∠AOB=120°，∴∠ACB=60°. (2)的长为=.设圆锥底面圆的半径为r cm，则2πr=， ∴r=，即圆锥的底面圆半径为 cm. 25.如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2． （1）求α； （2）点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影． 解：（1）设∠AOB＝n°，根据题意得2π×2＝，解得n＝120，所以α为120°；（2）过C点作CD⊥BO于D，如图，∵∠BOC＝120°，∴∠COD＝60°，∴OD＝OC＝2，∴CD＝OD＝2，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC＝﹣×6×2＝12π﹣6． 26．如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°． （1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 解：（1）根据题意得π•DE＝，∴DE＝AD，∴ED与母线AD长的比值为； （2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，而AD＝2DE＝10cm，∴BC＝2AD＝20cm， ∴S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×10×20﹣＝（100﹣25π）cm2． 答：加工材料剩余部分的面积为（100﹣25π）cm2． 六．巩固训练 （一）选择题 1．如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（　） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】A 【解析】设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OCE＝45°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，∴，故选：A． 2．如图，将Rt△CAB绕点B按逆时针方向旋转90°后，得到Rt△A′BC′，已知∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，则图中阴影部分面积为（　　） A．π B．π C．π﹣ D．π 【答案】C 【解析】根据题意可得，∠CBC′＝90°，S扇CBC′＝＝＝π， ∵BC＝2，∠BAC＝60°，∴AC＝＝1，AB＝， ∴＝，∵∠CBA′＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∴S扇DBA′＝＝＝，∴S阴＝S扇CBC′﹣S△A′BC′﹣S扇DBA′＝＝．故选：C． 3．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（　　） A．π B．π C．π D．π 【答案】B 【解析】根据旋转的性质可得，AC′∥B′D，∵B′D⊥AB，∴∠C′AD＝∠C′AB′+∠B′AB＝90°，∵∠C′AD＝α，∴α+2α＝90°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝2，∴，∴的长度l＝＝．故选：B． 4. 如图，AB是圆O的直径，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，则弧BD的长为（　） A．π B．4π C．2π D．45π 【答案】A 【解析】∠BOD＝2∠BCD＝2×30°＝60°由弧长公式得，弧BD的长为＝π。 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．2π 【答案】B 【解析】连接CD，如图所示：∵ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC＝＝4，由题意得：AC＝CD，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴的长为：，故选：B． 6．在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径15cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】C 【解析】半径为15cm、圆心角为120°的扇形弧长是：＝10πcm， 设圆锥的底面半径是rcm，则2πr＝10π，解得：r＝5．故选：C． 7.如图，圆锥的轴截面是一个斜边为1的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（ ） A． B． C．π D．π 【答案】A 【解析】∵圆锥的轴截面是一个斜边为1的等腰直角三角形，∴底面半径＝0.5，母线长为，底面周长＝π，∴圆锥的侧面积＝×π×＝．故选：A． 8．如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD：AB为（　　） A．3：2 B．7：4 C．9：5 D．2：1 【答案】A 【答案】设此弧所在圆的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（AD﹣2r）cm， 则＝2πr，解得r＝，则AD：AB＝AD：（AD﹣）＝3：2．故选：A． 9．如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（　　） A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm 【答案】B 【解析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得2πr＝ 解得r＝9，所以圆锥的高＝＝12（cm）．故选：B． 10．如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线长为10cm，底面半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为（　　） A．108° B．120° C．144° D．150° 【答案】A 【答案】设这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为n°，根据题意得2π×3＝，解得n＝108，即这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为108°．故选：A． （二）填空题 11．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是________. 【答案】 【解析】由题意，扇形的半径AD＝＝，∠EAF＝45°，∴扇形AEF的面积＝＝． 12．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝　 　米． 【答案】300 【解析】设线段AB对应的圆心角度数为n，∵100π＝＝，∴n＝60°，又AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝300（米），故答案为：300． 13．如图，直角三角形ABC中，，将三角形的斜边AB放在定直线L上，将点A按顺时针方向在L上转动两次，转动到的位置，设BC＝1，AC＝，AB＝2，则点A所经过的路线长是____________． 【答案】． 【解析】点A的路线是由以B为圆心AB＝2为半径，圆心角为120度所对的弧，加上与以为圆心，AC＝为半径的四分之一圆弧长之和，即＝． 故答案为：． 14.如图，等腰放置在直线上，，.将绕点旋转，使点的对应点落在直线上，再将第一次旋转得到的三角形绕点继续旋转，使其顶点落在直线上点处，则点经过的路径总长为_____（结果保留）． 【答案】 【解析】将绕点旋转，使点的对应点落在直线，点到处，如图：根据题意：，，，同理：，根据旋转的性质可知，点A到和到的运动轨迹是分别以C，为圆心，为半径的圆的一部分，两次旋转经过的路径都是圆上经过的弧长所对的圆心角为，设点经过的路径总长为，，故答案是：． 15．如图，正六边形的边长为2，点是四边形内的一个动点，若（1）______；（2）动点所经过的路线长是______． 【答案】120° 【解析】（1）由题意结合正六边形的性质可知CF平分，且．∴．∵， ∴．故答案为：．（2）如图，延长CB、FA，交于点N，由（1），可知点M在的外接圆上的劣弧上．设该外接圆圆心为O，作．由题意可知，即为等边三角形，∴，∴．∴．由正六边形的性质可知．∴，∴．∴圆O的直径为．∴ ．故答案为：． 16.如图，⊙O的半径为10，A、D是圆上任意两点，且AD＝8，以AD为边作正方形ABCD（点C、O在直线AD两侧）若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为___． 【答案】16π 【解析】如图所示，连接OD、OC，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BC于点F．∵AD为弦，OE⊥AD，由垂径定理可得DE=AE=AD=4．∵四边形ABCD为正方形，∴BC∥AD，AD=BC=8， ∴∠CFO=∠DEO=90°，∴四边形DEFC为矩形，CF=DE=4．∵AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的图形为以OC为外圆半径，OF为内圆半径的圆环，∴圆环面积为S=π•OC2-π•OF2=π（OC2-OF2）=π•CF2=16π．故答案为：16π． 17．用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 　 　cm． 【答案】 2 【解析】设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，由题意得：2πr＝，解得：r＝2，∴这个圆锥的底面圆的半径为2cm，故答案为：2． 18．圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 　 　°． 【答案】 216 【解析】圆锥的底面圆的半径为：＝3，设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则2π×3＝，∴n＝216，∴圆锥侧面展开图的圆心角为216°，故答案为：216． 19．若一个圆锥的侧面展开图是半径为4cm的半圆，则该圆锥的全面积是 　 　cm2． 【答案】12π． 【解析】侧面积是：πr2＝×π×42＝8π（cm2），底面积＝π×22＝4π（cm2）， 故圆锥的全面积是：8π+4π＝12π（cm2），故答案是：12π． 20．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　 　． 【答案】 【解析】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，的长l＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+＝． 故答案为：． （三）解答题 21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：A1　 　，B1　 　，C1　 　； （2）求点B旋转到点B1的弧长． 解：（1）由图知，A1（1，1），B1（0，4），C1（2，2），故答案为：（1，1），（0，4），（2，2）；（2）由题意知，点B旋转到点B1的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90°，∴弧长为：＝2π． 22.如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）求∠ACB的度数； （2）若BC＝6，求的长． 解：（1）∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴由圆周角定理得：∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°； （2）连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．∵OD⊥BC于点D，OB＝OC，∴∠BOD＝BOC＝60°，BD＝BC＝＝3，OB=∴的长＝． 23．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒． （1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； （2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值． 解：（1）设BC与⊙O交于点M，当t＝2.5时，BE＝2.5，∵EF＝10，∴OE＝EF＝5， ∴OB＝2.5，∴EB＝OE，在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，∴ME＝MO，又∵MO＝EO， ∴ME＝EO＝MO，∴△MOE是等边三角形，∴∠EOM＝90°，∴＝＝， 即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为； （2）连接GO，HO，∵∠GOH＝90°，∴∠AOG+∠BOH＝90°，∵∠AGO+∠AOG＝90°，∴∠AGO＝∠BOH，在△AGO和△OBH中，，∴△AGO≌△BOH（AAS）， ∴OB＝AG＝t﹣5，∵AB＝7，∴AE＝t﹣7，∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，解得：t1＝8，t2＝9，即t的值为8或9． 24．将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米．（1）求线段的长度；（2）求在此过程中点运动至点所经过的路程． 解：（1）∵MG∥PQ，∴∠FGM=∠FBP=30°．∴在中，（米）．（2）连接A1A2，则必过点D1，且四边形A1BGA2是矩形．∴A1A2=BG=BF-GF=（米）．∵四边形ABCD和四边形A1BC1D1都是正方形，∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．∴（米）．∴在整个运动过程中，点A运动至A2的路程为：（米）． 25．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）： （1）利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，写出D点的坐标为 　 　； （2）连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为 　 　； （3）连接BC，将线段BC绕点D旋转一周，求线段BC扫过的面积． 解：（1）过点（2，0）作x轴垂线，过点（5，3）作与BC垂直的线， 两线的交点即为D点坐标，∴D（2，0），故答案为：（2，0）； （2）连接AC，∵A（0，4），B（4，4），C（6，2），∴AD＝2，CD＝2，AC＝2，∵AC2＝AD2+CD2，∴∠ADC＝90°，∴的长＝×2π×2＝π，∵扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，∴π＝2πr，∴r＝，故答案为：； （3）设BC的中点为E，∴E（5，3），∴DE＝3，∴S＝π×（CD2﹣DE2）＝2π，∴线段BC扫过的面积是2π． 26.（14分）如图，有一个直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始阶段Ⅰ位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题： （1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为 　 　；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系是 　 　； （2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数； （3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过的图形的面积； （4）求OA的长．（结果保留π） 解：（1）∵⊙P的直径MN＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点， ∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切； 故答案为：2，相切； （2）位置Ⅲ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2， ∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2； （3）由弧长公式可得，点N所经过路径长为＝2π，∵S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，∴半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π； （4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形． 在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣PA＝1，∴∠NPH＝30°．∴∠MPA＝60°．从而的长为＝，∴OA的长为：π+4+π＝π+4． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $