精品解析：河北承德市双滦区实验中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷

河北承德市双滦区实验中学 2024—2025学年第二学期高一数学4月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. ，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的坐标求得向量的坐标，由向量平行的坐标关系建立方程，求得的值. 【详解】由得， ∵，，∴，解得. 故选：A. 2. 在中，已知，判断的形状（ ） A 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理得，再利用正弦的差角公式化简整理得，进而推断，答案可得. 【详解】解：根据正弦定理由，得，即， 所以，所以， 所以为等腰三角形. 故选：D. 3. 是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出值. 【详解】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以. 故选：A 4. 为了得到函数的图象．只需把函数的图象上所有的点（　　） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图形变换中的原理求解，求解过程中注意系数对平移情况的影响. 【详解】因为，所以把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度即可．故选C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：D. 6. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求值. 【详解】 . 故选：A 7. 已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，结合条件可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上至少有3个零点， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 8. 若，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以，又， 根据，得，同时也能确定. 因为，，，所以. . 将转化为. 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. 函数在上的值域为 D. 要得到函数 的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象求函数的解析式，即可得到选项A正确；利用可知选项B错误；根据可得，结合函数的单调性可知选项C正确；利用函数图象平移的原则可知选项D正确. 【详解】设函数的最小正周期为，由图可知，，，故. ∵，∴. ∵函数图象最高点为，∴， ∴，故， ∵，∴，选项A正确. 由A可得，， 故直线不是函数的对称轴，选项B错误. 当时，，，，故函数在上的值域为，选项C正确. 由题意得，， 将函数的图象向左平移个单位后的函数表达式为，选项D正确. 故选：ACD. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若．且，则 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，由分子分母同除以求解判断；对选项B，利用两角和的余弦公式求解判断；对选项C，利用二倍角的正弦公式求解判断；对选项D，利用两角和的正切公式求解判断. 【详解】对选项A，分子分母同除以得，即，故A正确； 对选项B，∵，∴， ∴， ∵，∴，∴．故B正确； 对选项C，， ，故C错误； 对选项D，， ，故D正确． 故选：ABD. 11. 在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A正确；由，可判定B不正确； ，可判定C不正确；由，，结合数量积的运算公式，可判定D正确. 【详解】如图所示，等腰直角中，，， 对于A中，由， 所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，由， 所以，所以C不正确； 对于D中，由， 所以，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12. 的内角的对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角恒等变换以及余弦定理可得，即可利用面积可得有根，即可利用判别式求解. 【详解】由可得， 即， 由于，故， 由于，故，因此，故， ， 的面积为，故， 由于，， 故，令, 将代入可得， 化简得， 将代入，且可得， 则，解得，或，（舍去） 故最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由可得有实数根，利用判别式求解. 13. 函数的图象关于中心对称，那么的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦型函数对称性可得出关于的等式，即可解得的最小值. 【详解】因为函数的图象关于中心对称， 则，解得， 故当时，取最小值. 故答案为：. 14. 函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则函数的解析式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据面积可确定周期，确定，又根据图象过点，可确定，从而确定解析式. 【详解】如图所示. 区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积， 可得，设函数的最小正周期为，则， 由题意可得，解得，故，可得， 即， 又的图象过点，即， 因为，所以，解得. 故. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正切性函数的解析式求法，属于较难题.由已知不规则图形面积，显然难以直接求解，故根据正切性函数的周期性，将其平移成规则图形，即可求得周期，继而求出函数解析式. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）设. ①求函数单调递增区间； ②当时，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）首先化解三角函数解析式，再求函数的最小正周期； （2）首先求函数的解析式，再根据三角函数的性质，利用代入法求函数的单调递增区间和解不等式. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期为； 当，即，，取得最大值2； 【小问2详解】 ①， 令，，，， 所以函数的单调递增区间是，； ②，， ，所以或， 得或 所以不等式的解集是. 16. 已知函数． （1）求函数的单调增区间； （2）求函数的对称轴方程和对称中心； （3）当时，求的值域． 【答案】（1） （2）对称轴方程：，；对称中心：， （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的单调性求解正弦型函数的单调区间即可； （2）根据正弦函数的对称轴以及对称中心可求得结果； （3）先由，求出，然后转化为正弦函数值域问题求解即可． 【小问1详解】 由， 所以函数的单调增区间是． 【小问2详解】 根据，可得对称轴为，； 根据，解得，， 因函数为， 所以对称中心为，； 【小问3详解】 由，可得， 从而，所以． 所以的值域为． 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若的面积等于，求的周长的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解； （2）由题意可得ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， ∵，所以， 所以，∴； 【小问2详解】 解：依题意，∴ac＝4， 所以，当且仅当时取等号， 又由余弦定理得， ∴，当且仅当a＝c＝2时取等号， 所以的周长最小值为． 18. 在中，角所对边分别为，且. （1）求角的大小; （2）若. （i）求的值; （ii）求的值. 【答案】（1） （2）(i) ，(ii) 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理角边化及余弦定理即可求解； （2）(i)利用（1）的结论及正弦定理的边角化即可求解； (ii)利用二倍角公式，求出，再结合两角和的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理，可得， ， 由余弦定理可得， ， . 【小问2详解】 （i）及正弦定理，可得， ，即， 因为，且 可得为锐角， 所以. （ii）， ， 由（1），知， 所以 19. 已知向量，且与的夹角为， （1）求证： （2）若，求的值； （3）若与的夹角为，求的值． 【答案】（1）证明见解 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的定义及向量数量积的运算律，结合向量垂直的条件即可求解； （2）根据（1）的结论及向量的模公式，结合向量数量积的运算律及一元二次方程的解法即可求解； （3）根据（1）的结论及向量的模公式，利用向量的数量积的运算律及向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为与的夹角为， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为， 所以，即， 于是有，即 ，解得或, 所以的值为或. 【小问3详解】 由（1）知，， 因为 所以， ， ， 因为与的夹角为， 所以，即，且， 于是有，解得或（舍）, 所以的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北承德市双滦区实验中学 2024—2025学年第二学期高一数学4月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. ，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 在中，已知，判断的形状（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 3. 是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 4. 为了得到函数的图象．只需把函数的图象上所有的点（　　） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D 向右平行移动个单位长度 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. 函数在上的值域为 D. 要得到函数 的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若．且，则 C. D. 11. 在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12. 的内角的对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为______. 13. 函数的图象关于中心对称，那么的最小值为______. 14. 函数图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则函数的解析式为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）设. ①求函数的单调递增区间； ②当时，求不等式的解集. 16. 已知函数． （1）求函数的单调增区间； （2）求函数的对称轴方程和对称中心； （3）当时，求的值域． 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若的面积等于，求的周长的最小值． 18. 在中，角所对边分别为，且. （1）求角大小; （2）若. （i）求的值; （ii）求值. 19. 已知向量，且与夹角为， （1）求证： （2）若，求的值； （3）若与的夹角为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$