精品解析：江苏苏州市某校2025-2026学年高二下学期期末模拟5数学试题

高二下学期期末模拟试卷5 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 现有5名同学去3个养老院参加公益活动，每名同学只去1个养老院，每个养老院至少安排1名同学，则不同安排方案的种数为（ ） A. 25 B. 40 C. 150 D. 240 4. 已知定义在上的函数从x到的平均变化率为，则的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（ ）种. A. 528 B. 524 C. 520 D. 516 6. 某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为，，，，，，，共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，，选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（ ） 参考数据：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到．可供查阅的（部分）标准正态分布表： 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 A. 57 B. 64 C. 71 D. 77 7. 如图，圆C和的两条边相切，射线OP绕点O从OA开始逆时针方向旋转至OB，设，在旋转过程中，OP扫过的圆内阴影部分的面积为S，则S关于θ的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若0是极小值点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. A，B，C三点共线 C. D. 在上的投影向量为 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数在处的切线斜率为2，则下列命题正确的是（ ） A. B. 有且只有一个极小值，且极小值等于 C. 的值域是 D. 若，则恒成立 三、填空题 12. 乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有_____项． 13. 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______． 14. 设实系数一元二次方程有两个不相等的实数根，，则原方程可以变形为，展开得，由此，我们可以得到，.类比上述方法，如果实系数一元三次方程有三个不相等的实数根，，，我们也可以得到类似的结论.已知关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为_____. 四、解答题 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量（）的数据，得到散点图如图所示： （1）利用散点图判断，和（其中，为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）. （2）对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表： 根据（1）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程； （3）已知企业年利润 （单位：千万元）与，的关系为（其中），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 17. 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 （1）估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 18. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围； （3）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 某校数学兴趣小组的同学对杨辉三角性质进行探究发现：“第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即：”，证明如下.证明：考虑多项式中的系数，一方面：代数式中，的系数为.另一方面：代数式中，的系数为.因为，所以.所以. （1）如果证明过程中考虑中的系数，能得到的组合恒等式为________.请先填空，再构造一个实际背景，对所得恒等式的意义作出解释； （2）证明：①；②.注：组合数，若，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期末模拟试卷5 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，正确； B：，正确； C：，错误； D：，正确； 故选：C. 2. 已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】推导出，利用空间向量的减法结合空间向量的基本定理可得出、、的值，即可得出合适的选项. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 又因为，且、、不共面，则，， 故，， 故选：A. 3. 现有5名同学去3个养老院参加公益活动，每名同学只去1个养老院，每个养老院至少安排1名同学，则不同安排方案的种数为（ ） A. 25 B. 40 C. 150 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】按照和二种方法分组，再排列即可. 【详解】依题意，可以按照和2,2,1二种方法分组： 按照3,1,1分组有种方法； 按照2,2,1分组有种方法，一共有种方法； 故选：C. 4. 已知定义在上的函数从x到的平均变化率为，则的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求极限可得.设，化简可得.解，根据导数的概念，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 设， 则. 由可得，，所以， 即时，有. 根据导数的概念，可知时，有. 所以，的单调增区间是. 故选：C. 5. 如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（ ）种. A. 528 B. 524 C. 520 D. 516 【答案】D 【解析】 【分析】用间接法，总取法种数减去不能构成三角形的取法，分四点共线和三点共线两种情况，即可得到可以构成三角形的取法. 【详解】从个点中取个点共有种情况， ①四点共线的有种情况，从共线的个点中取个点都不能构成三角形， 所以在四点共线的情况下不能构成三角形的取法共有种情况， ②三点共线的共有种情况，所以不能构成三角形的取法共有种情况， 所以能够成三角形的取法共有种情况. 故选：D. 6. 某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为，，，，，，，共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，，选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（ ） 参考数据：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到．可供查阅的（部分）标准正态分布表： 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 A. 57 B. 64 C. 71 D. 77 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%，结合，以及当时，，可得到，计算即可得到答案． 【详解】由题意可得，将学生成绩从高到低排名，排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%. 因为原始成绩，所以. 令，则；又当时，， 所以，解得，所以B＋等级的原始分最低大约为71. 故选：C. 7. 如图，圆C和的两条边相切，射线OP绕点O从OA开始逆时针方向旋转至OB，设，在旋转过程中，OP扫过的圆内阴影部分的面积为S，则S关于θ的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形及三角形面积公式求出，求导数利用三角函数的有界性可可得的单调递增区间，根据函数的单调性得函数在上的图象增加的越来越快，结合选项中的图象即可判断． 【详解】设圆C的半径为，由题意得， 则圆内阴影部分的面积为． 记，，则； ，故函数的单调递增区间为， 记，则，故函数在上单调递增， 所以函数在上的图象增加的越来越快， 即S在上的图象增加的越来越快，这4个图中只有B选项具有上述特点. 故选：B 8. 已知函数，若0是极小值点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，令，要使0是极小值点，则，由此可得的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以， 令，则， 因为0是的极小值点， 所以在的左侧，，在的右侧，， 所以，解得，即取值范围是. 故选：C. 二、多选题 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. A，B，C三点共线 C. D. 在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量得出A选项，根据空间向量的平行得出B选项，根据空间向量数量积判断C，应用投影向量公式计算判断D. 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，，不存在实数，使得， 所以三点不共线，故B错误； 对于C，，， 由， 即与不垂直，故C错误； 对于D，因，， 则在上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式定理及多项式乘法法则求出展开式中含项的系数判断A，利用赋值法判断BC，对式子两边求导，令即可判断D. 【详解】A.的展开式中含的项为， 所以，A正确； B.令，得， 令，得， 两式相加得，，B错误； C.令，得， 所以，C正确； D.等式两边对求导得：， 令，得，D错误. 故选：AC. 11. 已知函数在处的切线斜率为2，则下列命题正确的是（ ） A. B. 有且只有一个极小值，且极小值等于 C. 的值域是 D. 若，则恒成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义可判断A；分析函数的单调性，结合极值的定义可判断B；结合，和单调性可判断C；由可得时，，进而判断D. 【详解】由，则， 则，即，故A正确； 此时，， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，取得极小值，故B正确； 又，， 所以的值域不是，故C错误； 因为， 则时，， 而，则恒成立，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有_____项． 【答案】60 【解析】 【分析】展开后的每一项都是由三个式子中任取一项相乘得到的,因而根据分步乘法原理即可得出结论. 【详解】根据多项式的乘法法则, 可知展开后的每一项都是由､､这三个式子, 每一个中任取一项相乘后得到的, 而在中有3种取法, 在中有4种取法, 在中有5种取法, 由分步乘法原理可得,总共有种情况, 故答案为:60. 【点睛】本题考查分步计数原理的运用,属于简单题. 13. 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得，且，结合，即可求解. 【详解】由题意，点和，可得，且， 所以点到直线的距离是. 故答案为：. 14. 设实系数一元二次方程有两个不相等的实数根，，则原方程可以变形为，展开得，由此，我们可以得到，.类比上述方法，如果实系数一元三次方程有三个不相等的实数根，，，我们也可以得到类似的结论.已知关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】本题可先根据三次方程根与系数的关系得到，，，再结合函数性质求解的取值范围. 【详解】由题意可以变形为， 展开得：， 所以， ， 三次方程 的根 ， 所以，，， 由 ，代入得： 因此： 因为方程有三个不等实根，令， 令，得.， ，单调递增， ， ，单调递减，， ，单调递增， 所以的极大值为， 的极小值为， 要有三个不等实根，则且，即. 又是最小根则，且. 所以. 令，， ， 因此， 的取值范围为 ，即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，为的中点，所以， 因为四棱锥的底面是矩形，所以， 所以与相似，故， 因为，所以，故， 因为底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似证得，结合线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求解夹角余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，， 因为四棱锥的底面是矩形，所以. 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，. 因为平面，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则即 令，则，，此时， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 16. 某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量（）的数据，得到散点图如图所示： （1）利用散点图判断，和（其中，为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）. （2）对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表： 根据（1）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程； （3）已知企业年利润（单位：千万元）与，的关系为（其中），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1）选择回归类型；（2）；（3）亿元. 【解析】 【分析】（1）通过观察散点图直接得出结论即可； （2）利用对数的运算以及公式法求解回归方程； （3）再利用导数研究函数的单调性和最值即可求出结果. 【详解】（1）由散点图知，选择回归类型更适合. （2）对两边取对数，得，即. 由表中数据得：， ∴， ∴， ∴， ∴年研发费用与年销售量的回归方程为. （3）由（2）知，， ∴， 令，得， 且当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为 所以要使年利润取最大值，预计下一年度投入亿元. 17. 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 （1）估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 【答案】（1）7.7分钟 （2）（i）证明见解析（ii）元 【解析】 【分析】（1）利用组中值法计算样本均值即可. （2）（i）根据条件概率公式证明即可. （ii）结合指数分布的数学期望计算即可. 【小问1详解】 平均时间. 【小问2详解】 （i）证明：由题意知，， 分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B， 则 . 所以对于任意的，有. （ii）由（i）知， ， 所以费用的期望是（元）. 18. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围； （3）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）不存在；理由见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论到函数的符号，可得函数的单调性. （2）写出过的图象上一点的切线方程，根据切线过定点列方程，根据方程有2解求参数的取值范围. （3）假设存在满足条件的点，根据题意，问题可转化成方程在上解的情况.设辅助函数（），求导，分析函数单调性，可得函数零点情况. 【小问1详解】 因为，，所以，. 因为，所以. 所以若，则即在上恒成立，所以在为增函数； 若，由；由. 所以函数在上递减，在上递增. 综上：当时，在为增函数； 当时，在上递减，在上递增. 【小问2详解】 设切点，切线斜率为：， 所以切线方程为：. 因为切线过点，所以. 整理得：（） 设（），则（）. 由，由. 所以在上递增，在上递减. 又过点恰有2条与的图象相切的直线，所以直线与的图象有两个不同交点. 因为，，， 所以. 即所求的取值范围为：. 【小问3详解】 当时，，，. 设，则. 假设存在，（），使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率， 即， 因为，所以. 设（）， 则（当且仅当时取“”）. 但，所以在恒成立. 所以在上单调递增，又. 所以在上恒成立. 即方程在上无解. 即满足条件的点不存在. 【点睛】关键点点睛：第二问中，求参数的取值范围，可采用分离参数法，得到，再设函数（），数形结合，可得实数的取值范围. 19. 某校数学兴趣小组的同学对杨辉三角性质进行探究发现：“第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即：”，证明如下.证明：考虑多项式中的系数，一方面：代数式中，的系数为.另一方面：代数式中，的系数为.因为，所以.所以. （1）如果证明过程中考虑中的系数，能得到的组合恒等式为________.请先填空，再构造一个实际背景，对所得恒等式的意义作出解释； （2）证明：①；②.注：组合数，若，则. 【答案】（1），解释见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据材料中的系数求解，从个男生与个女生中选取人小组，另一方面这样的人小组可分为个类：第类由个男生和个女生组成（），利用乘法原理和加法原理可得结论； （2）①等式两边都是两个数相乘，可以联想到分步乘法原理.于是构造组合的实际问题进行解释；②由，考虑中的系数，依照材料中的方法推导求解即可. 【小问1详解】 构造实际背景，对所得恒等式的意义做出解释：从个男生与个女生中选取人小组，一共有种方式， 另一方面，这样的人小组可分为个类：第类由个男生和个女生组成（）， 由乘法原理可知，第类中有个小组，因此人小组共有个， 由加法原理可知：； 【小问2详解】 ①等式两边都是两个数相乘，可以联想到分步乘法原理.于是构造组合的实际问题： 从名学生中选出人组成代表队，其中名作为主力队员，名替补队员， 根据分步乘法原理共有种方法， 也可以直接从名学生中选了名主力队员，再从剩下的名学生中选出名替补队员， 根据分步乘法原理共有种方法， 由上面的两种方法可知：； ②考虑中的系数， 一方面 的系数为， 因为，所以的系数为 另一方面， ， 所以的系数为， 因为，所以 ， 所以 【点睛】关键点点睛：此题考查组合数的计算及性质的应用，考查二项定理，解题的关键是对材料中的解法的正确理解，依照材料中解法求解，考查理解能力和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $