江苏苏州市某校2025-2026学年高二下学期期末模拟2数学试题

**基本信息** 高二下学期期末模拟卷，以民航招飞、春晚魔术为真实情境，覆盖导数、立体几何、概率统计等核心知识，梯度设计适配期末综合能力测评，体现数学眼光、思维与语言的素养融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列组合、导数几何意义、空间向量|基础概念与简单应用，如第5题导数与数列求和结合| |多选题|3/15|函数性质、正方体几何、二项式定理|多维度辨析，如第10题结合正方体动点与外接球截面| |填空题|3/15|组合概率、平行六面体截面、传球模型|情境化计算，如第14题传球概率递推| |解答题|5/80|立体几何证明与空间角、独立性检验、导数应用|综合探究，如第19题导数极值、恒成立及不等式证明，衔接高考命题趋势|

高二下学期期末模拟试卷2 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（    ） A．63 B．10 C．21 D．0 2．若，则可导函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 3．如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 4．某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.已知甲､乙､丙三人在笔试部分合格的概率分别为，在面试部分合格的概率分别为，所有考试是否合格相互之间没有影响.假设甲､乙､丙三人都同时参加了笔试和面试，则三人中只有一人被录取的概率是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 6．下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③ 7．四边形中，，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球，连续摸两次.记“第一次摸球时摸到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（    ） A．与R2为互斥事件 B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．在处取得极小值 B．有3个零点 C．在区间上的值域为 D．曲线的对称中心为 10．如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（    ） A． B．若为直线上的动点，则为定值 C．点A到平面的距离为 D．过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 11．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第7项 D．有理项共4项 三、填空题 12．某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______； 13．如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为________，第n次传球后球在乙手中的概率为________． 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，是的中点，作交于点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的正弦值为， （i）求长； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 16．民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔共5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，某校高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向. (1)完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？ 对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计 男生 女生 合计 (2)若每名报名学生通过前3项流程的概率依次为，假设学生能否通过每项流程相互独立，以这600名男生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三男生对民航招飞有意向的概率，以这400名女生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三女生对民航招飞有意向的概率.从甲地任选一名高三学生（男､女学生的比例为），求这名学生对民航招飞有意向且通过前3项流程的概率. 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及数学期望． 19．已知函数（为常数），是函数的一个极值点. (1)求实数的值； (2)如果当时，不等式恒成立，求实数的最大值； (3)求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D C D D D ABD ABD 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据排列数公式及组合数公式计算可得. 【详解】由题意得，故C正确. 故选：C. 2．A 【分析】根据已知可得出，然后根据导数的概念，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，. 根据导数的概念可知，在处的导数. 故选：A. 3．A 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 4．D 【分析】首先求出甲、乙、丙被录取的概率，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲被录取的概率，乙被录取的概率，丙被录取的概率， 所以三人中只有一人被录取的概率. 故选：D 5．C 【分析】先根据导数的几何意义求出，再利用裂项相消法即可得解. 【详解】，则， 所以， 所以. 故选：C. 6．D 【分析】利用二项分布求概率的公式可得①正确；根据对立事件概率的求法可得②正确；由条件概率公式计算可知③正确；根据方差和期望值性质可得④错误. 【详解】对于①，由随机变量服从二项分布可知，即①正确； 对于②，易知20个零件中有17个合格品，从20个零件中随机抽取8个零件，都是合格品的概率为， “至少有一件不合格”与“都是合格品”为对立事件， 所以至少有一件不合格的概率为，即②正确； 对于③，易知4个人去4个景点共有种可能，则“小赵独自去一个景点”的概率； 且“4个人去的景点互不相同”共有种可能，则可得； 所以，可得③正确； 对于④，由期望值性质可知；，可得④错误. 即①②③正确. 故选：D 7．D 【分析】二面角的平面角易作图，但异面直线的夹角不好作图，这里用了向量和以及求模思想，来求这两条异面直线的夹角余弦值. 【详解】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为． 因为，所以．又，所以， 取中点，连接，，则，， 所以，又因为，． 所以在中，，即， 又由，． 因为，所以 ． 所以，即 又因为，所以． 因为异面直线所成角范围为， 所以直线与所成角的余弦值取值范围是． 故选：D. 8．D 【分析】利用事件互斥，古典概型，条件概率，全概率的计算公式，以及相互独立事件的概念和计算，逐项求解，即可求解. 【详解】对于A，“第一次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到红球”， 每次不放回地随机摸出1个球，存在事件“两次都摸到红球”，故A错误； 对于B，根据题意计算得 ，故B错误； 对于C，根据题意计算得，故C错误； 对于D，由条件概率的公式，故D正确； 故选：D. 9．ABD 【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，极值，零点，值域，可判断A，B，C选项，根据函数奇偶性及图象变换可判断D. 【详解】由， 令，解得，令，解得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故A正确； 又，，，， ，所以函数在有且仅有一个零点， 同理函数在有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点， 即函数共有3个零点，故B正确； 由前面得在上值域为，故C错误； 设，，， 所以函数是奇函数，图象关于对称， 又是向下平移1个单位得到，所以函数的对称中心为，故D正确. 故选：ABD. 10．ABD 【分析】由平行公理可判断A；由数量积的定义可判断B；由等体积法可判断C；由截面面积最小的圆是以所在的弦为直径的截面圆可判断D. 【详解】于选项A：连结，，正方体中，，而M，N分别为棱，的中点，则，所以，故A正确； 对于选项B：设与的夹角为，由上图可知， 所以，故B正确； 对于选项C：连接，设点到平面的距离为，由得，又，则，所以，故C错误； 对于选项D：连接交于点，则是的中点. 正方体外接球球心是正方体对角线的中点，半径. 由对称性知过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是以所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为. 易得.∴. 故截面圆半径. 此时截面圆面积为，故D正确． 故选：ABD． 11．AC 【分析】根据二项式定理及二项式系数的性质、各项系数之和、展开式通项性质逐项判断即可得结论. 【详解】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故正确； 令，得所有项的系数和为，故错误； 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故正确； 因为展开式通项为， 所以当为整数时，即时为有理项，共有5项，故D错误. 故选：AC. 12． 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空. 【详解】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 13． 【分析】设平面与直线的交点为，由题意可得点在线段的延长线上，进而根据面面平行、线面平行的性质得到，，可得四边形为平行四边形，进而结合空间向量的线性运算可得，进而求解即可. 【详解】设平面与直线的交点为， 由于平面截所得截面是一个五边形， 则点在线段的延长线上， 在平行六面体中，平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，平面平面，则，同理可得， 所以四边形为平行四边形， 则， ， 由于点在线段的延长线上，则，即， 又点F在棱上，则，且时，点F与点重合，此时截面为四边形，不满足题意， 因此，则的取值范围是. 14． / 【分析】利用样本空间法，通过列举的方法计算概率；首先设第次传球后在乙手中的概率为，以及第次传球道甲或丙手中的概率为，求解关于数列的递推关系式，通过构造法求数列的通项公式. 【详解】每次传球都有2种可能，传球3次有种传球过程， 其中第3次传给乙，包含甲丙甲乙，甲乙丙乙，甲乙丙乙，3种传球过程，所以第3次传球后球在乙手中的概率为； 设第次传球后在乙手中的概率为，则第次传球道甲或丙手中的概率为， 故， 所以， 所以数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，即. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分析传到乙之前是从甲或丙传过去，所以需分析传到甲和丙的概率，从而得到递推关系式. 15．(1)证明见解析 (2)（i）2；（ii） 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，计算，所以，结合即可证明； （2）（i）求出平面与平面的法向量，由两平面夹角的正弦值求长； （ii）由（1）可知是直线与平面所成角的一个平面角，即可得解. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则. 因为， 故，所以. 由已知，且，平面. 所以平面. （2）（i）设平面的法向量，因为， 所以，所以，令，得； 设平面的法向量， 所以，所以，令，得； 设平面与平面的夹角为，则， 因为，所以，所以， 解得（取正），所以长为2. （ii）由（1）可知，故是直线与平面所成角的一个平面角， 在直角中，， 又，则与互余， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为. 16．(1)表格见解析，有关 (2) 【分析】（1）根据题意中的数据分析，完成列联表，利用卡方的计算公式求出，结合独立性检验的思想即可下结论； （2）先求出通过前3项流程的概率，再分别求出男、女生对招飞有意向的概率，结合全概率公式计算即可求解. 【详解】（1）高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向. 所以高三男生对招飞有意向的有100人，没有意向的有500人， 高三女生对招飞有意向的有100人，没有意向的有300人， 则列联表如下： 对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计 男生 100 500 600 女生 100 300 400 合计 200 800 1000 零假设为：该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关联， 因为， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关； （2）因为每名报名学生通过前3项流程的概率依次为， 所以每名报名学生通过前3项流程的概率为， 依题意得甲地高三男生对招飞有意向的概率为， 甲地高三女生对招飞有意向的概率为， 由全概率公式得所求概率为. 17．(1) (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分和两种情况讨论函数的单调性，求出即可. 【详解】（1）由题设当时，， 所以，得， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）若，不等式恒成立，则， ， 当时，对于，，所以在上单调递增， 所以时，，即满足题意； 当时，若，则，在上单调递减， 所以，与矛盾，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 18．(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概型及对立事件的概率公式即可得解； （2）求出X的可能取值，再求出各个值对应的概率，求出分布列即可得解. 【详解】（1）记事件为“两手所取的球不同色”，事件是两手所取球颜色相同， 则，所以． （2）左手所取的两球颜色相同的概率为， 右手所取的两球颜色相同的概率为， 依题意，的可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以． 19．(1) (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得：，由是函数的一个极值点，得，即可得解； （2）问题等价于在上恒成立，构造函数，，利用导数求出函数在上得最小值，进而求出的范围； （3）由（2）得：时，，可得，令，则，即可证明. 【详解】（1）由题意得：， 因为是函数的一个极值点， 所以，解得：， 则， 令，则，令，则， 所以是函数的一个极值点， 所以； （2）由（1）得，定义域为， 所以问题等价于在上恒成立， 构造函数，，则， 令，，则， 所以时，，在递增， 所以，所以， 所以在递增， 所以，所以， 所以实数的最大值为2； （3）由（2）得：时，，即， 整理得， 令，则，即， 时，，时，， …， 时，， 将以上不等式两端分别相加得： ， 即. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $