精品解析：2026年河南省平顶山市叶县第三教研区中考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 若人体安静状态下心率为75次/分，每搏输出量为，则一昼夜心脏泵出的血液总量为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将一个无上、下底面的纸杯沿竖直虚线剪开并展开，得到的侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 4. 若不等式组无解，则“……”代表的不等式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 某校为了解九年级女生的体重指数（）分布情况，随机抽取了50名九年级女生，测得她们的数据（单位：），并根据九年级女生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 3 35 10 2 根据以上信息，估计全校1000名九年级女生中等级为正常的人数为（ ） A. 40 B. 60 C. 200 D. 700 6. 一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 如图是一幅轴对称的鲤鱼剪纸，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，并且点关于轴对称，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点在上且，若，则（ ） A. 24 B. 36 C. 42 D. 48 9. 如图，体育课上，六位同学（分别记为，，，，，）分别站在正六边形的顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，如可以将球传给，或，但不能将球传给或．现在球在手中，假设没有传球失误，则经过两次随机传球后球在手中的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，点是线段上一点，点在边上从点向点运动，连接．设．图2是点在边上运动时，随变化的函数图象（图中所标数据分别为图象右端点与最低点的横、纵坐标），则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个能与合并的最简二次根式，你的答案是______． 12. 化简：__________． 13. 用长度相等的火柴棒按如图所示的规律拼接图形，则第个图形需要_____根火柴棒．（用含的代数式表示） 14. 如图，在正方形中，是以为斜边的直角三角形．若，则的值为__________． 15. 定义：若三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”．如图，在矩形中，，将沿着过点的直线折叠，恰好使得点落在边上的点处．若为“2倍角三角形”，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）已知，请先从下列两个式子中选择一个化简，再求值，其中． ①； ②． 17. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）连接，若的面积是3，求的值． 18. 为了解市民对该市创建全国文明城市工作的满意度，某中学数学兴趣小组在全市随机采访了100名市民，并让他们进行满意度评分（满分100分，评分均为整数）． 【整理数据】将100名市民的评分分为5组，绘制出的频数分布表及频数分布直方图（尚不完整）如下． 频数分布表： 组别 频数 频数分布直方图： 其中，C组数据为：． D组数据的折线统计图如下： 【分析数据】100名市民的评分数据分析如下表： 平均数 中位数 众数 方差 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求出的值并补全频数分布直方图； （2）上述表格中， __________； （3）结合一个统计量，简要评价该市创建全国文明城市的工作效果，并提出一条合理化建议． 19. 随着智能家居的普及，智能扫地机器人已经成为许多家庭的必备清洁工具，某科技公司研发了甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，在某次测试中，两台机器人同时开始工作，它们的清扫速度始终保持不变，其中甲机器人工作一段时间后，因电量不足充电了后又继续进行工作，两机器人的清扫面积y（）与工作时间x（）的关系如图所示． （1）求的函数表达式； （2）乙机器人工作多长时间时，甲、乙两台机器人清扫的面积相同？ 20. 【主题】探究光折射与反射现象． 【实验工具】低功率激光灯、一块光学直角棱镜、量角器等． 【实验过程】某物理兴趣小组使用相关实验工具进行光学实验．如图，是这块光学直角棱镜的截面，所在的面为不透光的磨砂面．一束光线从 边上的点射入棱镜，折射后到达边上的点，恰有，再经过反射后，从 边上的点射出． 【实验数据】调整光线入射角度和位置，使点在同一平面内，并测量得到． 【问题解决】根据以上实验过程和测量的数据，解答下列问题． （1）如图1，调整光线入射角度和位置，使光线．若，则__________．（结果保留根号） （2）如图2，再次调整光线入射角度和位置，使，从点射出后，光线．若，求的长．（结果精确到．参考数据：，） 21. 请认真阅读以下材料，并完成相应任务． 探索正交四边形的性质 【定义】如果一个凸四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个凸四边形为正交四边形． 【性质探索】根据定义，探索正交四边形的性质，得到如下结论： 性质1：正交四边形的面积等于两条对角线长度乘积的一半． 性质2：正交四边形对边的平方和相等． 性质2的证明过程（不完整）如下： 已知：如图1，四边形 是正交四边形． 求证：． 证明：如图2，设交于点， …… 任务： （1）①下列图形中一定是正交四边形的是__________． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 ②补全材料中性质2的证明过程． （2）尺规作图：如图3，以 为边作正交四边形 ，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图4，在中，弦分别是优弧 和劣弧 上的动点，且四边形是正交四边形．若四边形面积的最大值为，则当四边形的面积最大时，直接写出的长． 22. 光伏农业大棚通过在农业大棚上架设不同透光率的太阳能电池板，实现满足不同作物的采光需求．数学小组设计了一种对称式双抛物线光伏农业大棚，其纵截面由左右两条抛物线组成，如图所示，以地面所在水平线为x轴，经过两抛物线的交点P且与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知右侧抛物线的最高点B距离地面7米（即米），两条抛物线最高点间的距离为8米（即米），点P距离地面6米． （1）求右侧抛物线的函数表达式； （2）为加固大棚，在两条抛物线上找到关于y轴对称的点E和点F，分别安装竖直支架和（点M，N在地面上），同时在E和F之间安装支架，若支架的总长度为28米，求竖直支架的长． 23. 综合与探究 【问题情境】 活动课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．小星拿出两张全等的矩形纸片 和，重叠放置，矩形纸片 固定不动，将矩形纸片绕点 逆时针旋转．已知 ，． （1）如图1，当点 落在边 上，点落在线段 的延长线上时，连接，，，试判断的形状，并说明理由． 【思考探究】 （2）如图2，当点落在边上时，连接交于点 ，求证：是的中点． 【拓展延伸】 （3）在矩形纸片旋转的过程中，当时，直线与直线 ，分别交于点 ， ，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据数轴可得 故比数轴上的 小的数是 2. 若人体安静状态下心率为75次/分，每搏输出量为，则一昼夜心脏泵出的血液总量为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 如图，将一个无上、下底面的纸杯沿竖直虚线剪开并展开，得到的侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将一个无上底面的纸杯沿侧面展开，它的侧面展开图是： 4. 若不等式组无解，则“……”代表的不等式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解第一个不等式得到解集，再根据不等式组无解即两个解集无公共部分，判断符合条件的选项． 【详解】解： 解得：． ∵不等式组无解， ∴另一个不等式的解集与没有公共部分． A选项，公共部分为，不等式组有解，不符合要求． B选项，没有数同时满足和，不等式组无解，符合要求． C选项，公共部分为，不等式组有解，不符合要求． D选项，公共部分为，不等式组有解，不符合要求． 5. 某校为了解九年级女生的体重指数（）分布情况，随机抽取了50名九年级女生，测得她们的数据（单位：），并根据九年级女生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 3 35 10 2 根据以上信息，估计全校1000名九年级女生中等级为正常的人数为（ ） A. 40 B. 60 C. 200 D. 700 【答案】D 【解析】 【分析】本题用样本估计总体，先计算出样本中等级为正常的人数占比，再乘以全校九年级女生总人数即可得到估计结果． 【详解】∵ 随机抽取的50名九年级女生中，等级为正常的人数为35人， ∴ 样本中等级为正常的人数占比为 ， ∴ 估计全校1000名九年级女生中等级为正常的人数为： ． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】计算一元二次方程根判别式的值即可判断根的情况． 【详解】 一元二次方程为 ， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 7. 如图是一幅轴对称的鲤鱼剪纸，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，并且点关于轴对称，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点关于轴对称， ∴， 解得， ． 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点在上且，若，则（ ） A. 24 B. 36 C. 42 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，为中点，结合为中点可得为的中位线，从而；利用等面积法在中建立之间的关系，结合已知条件，即可求解的值  【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵点是边的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，  ∴． 9. 如图，体育课上，六位同学（分别记为，，，，，）分别站在正六边形的顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，如可以将球传给，或，但不能将球传给或．现在球在手中，假设没有传球失误，则经过两次随机传球后球在手中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画树状图，可得两次传球共有9种等可能结果，传球后球在手中的结果数为2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如图所示， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次随机传球后球在手中的结果有2种，故所求概率是． 故选：A． 10. 如图1，在中，，点是线段上一点，点在边上从点向点运动，连接．设．图2是点在边上运动时，随变化的函数图象（图中所标数据分别为图象右端点与最低点的横、纵坐标），则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图2中函数图象最低点纵坐标为2.5，结合的中位线，求出的高为，图2中的最大值为6，即，代入面积公式得． 【详解】， 为的中位线， ， ， 图2中函数图象最低点的纵坐标为， 与之间的距离为． 的边上的高为． 由图2可知的最大值为， ， 的面积为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个能与合并的最简二次根式，你的答案是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先将原根式化为最简二次根式，从而根据要想能合并需为同类二次根式，同类二次根式的被开方数相同可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 根据同类二次根式的被开方数相同可得答案为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查同类二次根式的知识，属于基础题，注意解答本题的关键是将原根式化为最简二次根式，掌握同类二次根式的被开方数相同． 12. 化简：__________． 【答案】x 【解析】 【详解】解： 13. 用长度相等的火柴棒按如图所示的规律拼接图形，则第个图形需要_____根火柴棒．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】第１个图有12根火柴，第2个图有根火柴，以此类推可求第个图有多少根火柴． 【详解】解：第1个图有12根火柴， 第2个图有根火柴， 第3个图有根火柴， 所以第个图有 根火柴． 14. 如图，在正方形中，是以为斜边的直角三角形．若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】在正方形中，由勾股定理得，过点作交延长线于，易证，得，，故 ，利用互余关系，代入正切定义即得结果． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 在正方形中，，， 在中，． ， ， 在和中，， ， ， ，且， ． 15. 定义：若三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”．如图，在矩形中，，将沿着过点的直线折叠，恰好使得点落在边上的点处．若为“2倍角三角形”，则的长为__________． 【答案】或或8 【解析】 【分析】矩形中，，由“2倍角三角形”定义分三种情况讨论：①，可得 ；② ，可得，；③，可得，． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠的性质，可得， ． ①当时，，此时为“2倍角三角形”， 如图1，则． ②当时， 如图2，则， ． ③当时， 如图3，则， ． 综上可知，的长为或或8． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）已知，请先从下列两个式子中选择一个化简，再求值，其中． ①； ②． 【答案】（1）； （2）选择①：，当时，原式．选择②：，当时，原式． 【解析】 【详解】（1）原式 （2）选择①： 原式 ． 当时，原式． 选择②： 原式 当时，原式． 17. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）连接，若的面积是3，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）延长 交轴于点，根据反比例函数的意义得出，，根据的面积是3，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：延长 交轴于点 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得． 18. 为了解市民对该市创建全国文明城市工作的满意度，某中学数学兴趣小组在全市随机采访了100名市民，并让他们进行满意度评分（满分100分，评分均为整数）． 【整理数据】将100名市民的评分分为5组，绘制出的频数分布表及频数分布直方图（尚不完整）如下． 频数分布表： 组别 频数 频数分布直方图： 其中，C组数据为：． D组数据的折线统计图如下： 【分析数据】100名市民的评分数据分析如下表： 平均数 中位数 众数 方差 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求出的值并补全频数分布直方图； （2）上述表格中， __________； （3）结合一个统计量，简要评价该市创建全国文明城市的工作效果，并提出一条合理化建议． 【答案】（1）， （2） （3）市民评分的平均数为分，处于较高水平，说明多数市民对工作认可度较高；建议针对评分较低的市民开展意见调研，进一步优化创建举措（言之有理即可）． 【解析】 【分析】（1）用总数减去其他组别的频数得到的值，进而补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义，即可求解． （3）根据题意写出合理建议，即可． 【小问1详解】 由题意知，． 图略 【小问2详解】 解：由题意知，将100个数据按从小到大的顺序排列后，第50个和第51个数据在组，分别是， 中位数为86． 【小问3详解】 略 19. 随着智能家居的普及，智能扫地机器人已经成为许多家庭的必备清洁工具，某科技公司研发了甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，在某次测试中，两台机器人同时开始工作，它们的清扫速度始终保持不变，其中甲机器人工作一段时间后，因电量不足充电了后又继续进行工作，两机器人的清扫面积y（）与工作时间x（）的关系如图所示． （1）求的函数表达式； （2）乙机器人工作多长时间时，甲、乙两台机器人清扫的面积相同？ 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）求出甲型号智能扫地机器人的清扫速度，设出函数关系式，利用待定系数法进行求解即可； （2）分甲充电时，以及重新工作时，两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，甲型号智能扫地机器人的清扫速度为， 设的函数表达式为， 把代入，得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：由图可知乙型号智能扫地机器人的清扫速度为， 当甲充电时，，解得； 当甲重新开始工作时，，解得； 故当乙机器人工作或时，甲、乙两台机器人清扫的面积相同. 20. 【主题】探究光折射与反射现象． 【实验工具】低功率激光灯、一块光学直角棱镜、量角器等． 【实验过程】某物理兴趣小组使用相关实验工具进行光学实验．如图，是这块光学直角棱镜的截面，所在的面为不透光的磨砂面．一束光线从 边上的点射入棱镜，折射后到达边上的点，恰有，再经过反射后，从 边上的点射出． 【实验数据】调整光线入射角度和位置，使点在同一平面内，并测量得到． 【问题解决】根据以上实验过程和测量的数据，解答下列问题． （1）如图1，调整光线入射角度和位置，使光线．若，则__________．（结果保留根号） （2）如图2，再次调整光线入射角度和位置，使，从点射出后，光线．若，求的长．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】（1） （2）的长约为． 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，，，进而勾股定理求得的长； （2）延长交于点．解求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ． 在中，， ． 在中，， ∴ ． 【小问2详解】 如图，延长交于点． ． ， ， ． ， 在中，， ． 21. 请认真阅读以下材料，并完成相应任务． 探索正交四边形的性质 【定义】如果一个凸四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个凸四边形为正交四边形． 【性质探索】根据定义，探索正交四边形的性质，得到如下结论： 性质1：正交四边形的面积等于两条对角线长度乘积的一半． 性质2：正交四边形对边的平方和相等． 性质2的证明过程（不完整）如下： 已知：如图1，四边形 是正交四边形． 求证：． 证明：如图2，设交于点， …… 任务： （1）①下列图形中一定是正交四边形的是__________． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 ②补全材料中性质2的证明过程． （2）尺规作图：如图3，以 为边作正交四边形 ，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图4，在中，弦分别是优弧 和劣弧 上的动点，且四边形是正交四边形．若四边形面积的最大值为，则当四边形的面积最大时，直接写出的长． 【答案】（1）①CD ②四边形 是正交四边形， ， ， ，， ， ， ． （2）如图，正交四边形即为所求； （3）． 【解析】 【分析】（1）①根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质判断即可； ②根据勾股定理即可证明； （2）由作图可得，，若连接，则根据线段垂直平分线的判定可得，； （3）先确定故当四边形的面积最大时，为的直径，然后求出，解直角三角形可得，则，最后根据弧长公式求解． 【小问1详解】 解：①∵菱形和正方形的对角线互相垂直， ∴菱形和正方形是正交四边形； ②略 【小问2详解】 解：先截取，过点作直线的垂线，在直线的垂线上截取，然后分别以为圆心，为半径作弧，两弧在的内侧交于点，连接即可； 【小问3详解】 解：连接． 四边形是正交四边形， ． 四边形面积的最大值为， 的最大值为． 故当四边形的面积最大时，为的直径，如图2， 的半径为． 设交于点，连接． ， ， 长为． 22. 光伏农业大棚通过在农业大棚上架设不同透光率的太阳能电池板，实现满足不同作物的采光需求．数学小组设计了一种对称式双抛物线光伏农业大棚，其纵截面由左右两条抛物线组成，如图所示，以地面所在水平线为x轴，经过两抛物线的交点P且与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知右侧抛物线的最高点B距离地面7米（即米），两条抛物线最高点间的距离为8米（即米），点P距离地面6米． （1）求右侧抛物线的函数表达式； （2）为加固大棚，在两条抛物线上找到关于y轴对称的点E和点F，分别安装竖直支架和（点M，N在地面上），同时在E和F之间安装支架，若支架的总长度为28米，求竖直支架的长． 【答案】（1） （2）6米 【解析】 【分析】（1）根据对称性确定顶点的坐标，再设出顶点式，利用待定系数法求解即可； （2）设交轴于点，根据关于轴对称求出与的长度之和，从而设出点的坐标，再代入右侧的函数表达式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，轴，，点关于轴对称， ∴设右侧抛物线的函数表达式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得， ∴右侧抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设交轴于点， ∵关于轴对称， ∴ ∵ ∴ ∴ 设，代入， 得 解得 ∵ ∴ ∴ 即竖直支架的长为米． 23. 综合与探究 【问题情境】 活动课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．小星拿出两张全等的矩形纸片 和，重叠放置，矩形纸片 固定不动，将矩形纸片绕点 逆时针旋转．已知 ，． （1）如图1，当点 落在边 上，点落在线段 的延长线上时，连接，，，试判断的形状，并说明理由． 【思考探究】 （2）如图2，当点落在边上时，连接交于点 ，求证：是的中点． 【拓展延伸】 （3）在矩形纸片旋转的过程中，当时，直线与直线 ，分别交于点 ， ，请直接写出的长． 【答案】（1）等腰直角三角形 理由：由题意知，，，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． （2）证明：由题意可得， ， ， 如图1，过点 作于点 ，连接， ． ， ， ． 又，， ， ． 在和中， ， ， 是的中点． （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，则，，证明，即可得到结论； （2）由题意可得， ， ，如图1，过点 作于点 ，连接，证明 ，即可得到； （3）分点在 的延长线上和点在 的延长线上两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点在 的延长线上时，如图3， ， ， ，即， 解得， ． ∵， ， ， 即， 解得， 在中，由勾股定理得 ． ②当点在 的延长线上时，如图，同①可得 ， ，即， 解得 ． ∵ ∴， ． ∵ ， ，即， 解得， ，． 在中，由勾股定理得． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $