河北衡水市第十五中学2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试卷

**基本信息** 2025-2026七年级数学期末卷以AI模型调用量、春晚“人机共武”等科技热点及秦九韶算法、杨辉三角等文化素材为情境，覆盖代数几何核心知识，通过基础巩固与创新探究的分层设计，考查抽象能力、推理意识及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题/36分|一元一次不等式、科学记数法、三角形三边关系|结合4.12万亿Token调用量考查科学记数法，三棱柱展开图关联空间观念| |填空题|4题/12分|因式分解、不等式组整数解、秦九韶算法|以《数书九章》算法改写多项式，渗透数学文化| |解答题|8题/52分|杨辉三角探究、图形面积关系、动态几何旋转|23题电脑销售方案设计考查模型意识，24题三角尺旋转问题培养几何直观与推理能力|

2025-2026年度七年级数学试卷 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（1-12每题3分，共36分） 1．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．全球最大的AI模型API聚合平台OpenRouter数据显示，2026年2月9日-15日，中国模型以4.12万亿Token的调用量，首次超过同期美国模型的2.94万亿Token的调用量．数据4.12万亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．若，则a的值为（    ） A．5 B．5或6 C．6 D．1或6 5．2026年央视春晚武术节目《武》以“人机共武”表演惊艳全球，首次实现机器人持武器动态操控，成为科技与传统文化融合的典范之作．如图1是机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，其中，，，则（     ） A． B． C． D． 6．在与的乘积中和的系数分别为和，则n的值为（   ） A． B． C．－ D． 7．在中,、E是边上的两点，且，下列四个推断中错误的是(    ) A．若是的高，则可能是的中线 B．若是的中线，则不可能是的高 C．若是的角平分线，则可能是的中线 D．若是的高，则不可能是的角平分线 8．已知，则的值为（     ） A．40 B．20 C．10 D．9 9．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 10．如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 11．关于x、y的方程组的解为，则方程组的解是（    ）． A． B． C． D． 12．如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（13-16每题3分，共12分） 13．若能用完全平方公式因式分解，则k的值为______． 14．已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是_________． 15．如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_____． 16．《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值为1008．请参考上述方法，将多项式改写为：__________，当时，这个多项式的值为__________． 三、解答题 17．计算（（1）-（4）每题3分；（6）题5分）： (1)； (2)； (3)解方程组： （4）解方程组：； （5）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 18（7分）．综合与实践 我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此题揭示了（n为正整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．   【问题探究】 (1)根据上面的规律写出的展开式：______； (2)已知，则n的值为____； 【知识应用】 (3)利用上述规律计算：． 19（8分）．如图1是一个长为．宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？_______________ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：_________________________________ 方法2：_________________________________ (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：，，_______________ (4) 两个正方形、如图3摆放．边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积． 20（6分）．如图，在中，是上一点，连接，是的中点，于点． (1)若平分，，，求的度数． (2)若，且的面积，求的值．（用含的式子表 21（8分）．分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3) 若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 22（6分）．在信息技术课上，王丽同学设计了如下运算程序： 按上述程序运行到“结果是否”时，称为一次“操作”． (1)若一次“操作”就输出结果，求x的最小值； (2)若，则输出结果是______； (3)若三次“操作”才输出结果，求x的取值范围． 23（10）．某电脑商店计划购进A，B两种型号的电脑进行销售．若购进2台A型电脑和3台B型电脑需23000元，而购进4台A型电脑和1台B型电脑则需21000元． (1)求A，B两种型号电脑每台的进价； (2)因正值高考录取季，电脑的销售情况较好，商店决定投入500000元全部用于购进这两种型号的电脑．预计销售时每台A型电脑可获利900元，每台B型电脑可获利1000元．商店计划购进A型电脑的数量不超过120部，且这批电脑全部售出后，利润不低于111000元，则商店有几种进货方案？ (3)商店最后按（2）中可获得最大利润的方案进货并将电脑全部售出，商店决定拿出5%的利润，购买甲、乙两种型号的空气循环扇捐献给敬老院（两种型号都有），如果甲型空气循环扇每台500元，乙种型号的空气循环扇每台400元，请直接写出捐献空气循环扇台数最多捐赠方案． 24．（10分）如图（1），将一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），________，________． (2)如图（2），现把三角尺绕点C顺时针方向旋转，此时点B恰好落在边上，交于点H，若，求的度数． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点B以每秒的速度沿逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的速度沿顺时针方向旋转得到射线（如图3）．当射线第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为t秒、在旋转过程中，当时，直接写出t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2026年七下期末试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D B A D D B C 题号 11 12 答案 C B 1．D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 2．B 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：4.12万亿． 3．A 【分析】熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3，利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3， 由三角形的三边关系，得，解得， 观察四个选项可知，m的值不可能为6． 4．D 【分析】运用同底数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或． 5．B 【分析】过点作，由平行和垂直可得，进而得出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．A 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则求出的展开结果，结合已知条件列出方程，求解即可得到的值． 【详解】解： ， ∵在与的乘积中和的系数分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．D 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线的性质，解题的关键是结合、的条件，分析各线段的位置关系． 根据三角形高、中线、角平分线的定义，结合边的长短关系，逐一分析各选项的合理性． 【详解】解：当时， A、∵是高，，当为中点时，可作为中线，如下图，此选项不符合题意，； B、∵是中线，则为中点，又，故在上，而，高应靠近侧（即侧），故不可能是高，此选项不符合题意； C、∵是角平分线，如下图， 又，当为中点时，可作为中线，此选项不符合题意； D、∵是高，，此时，符合题干条件， 因此有可能是角平分线，选项D推断错误，见下图， ∴此选项符合题意． 故选：D． 8．D 【详解】解：设， 则， ∴， ∴ ，即． 9．B 【分析】根据平方差公式，将进行因式分解，即可得出结论． 【详解】解： ， ∴能被65和63整除， ∴这两个整数是63和65． 10．C 【分析】根据平角的性质得到根据题意，得到再由图形翻折变换的性质得到，根据三角形的内角和即可得出结论． 【详解】解：∵ ，， ∴， 根据折叠的性质可得：， ， ∴ ． 11．C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，利用整体代换思想，将所求方程组变形，与已知方程组结构对应，即可求解． 【详解】解：将所求方程组两边同乘，得：， 已知方程组的解为， 对应可得： ， 解得： ． 12．B 【分析】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【详解】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 13．或 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式因式分解，，， 根据完全平方公式的结构特征可得， 解得或． 14．/ 【分析】本题考查了根据不等式的解的情况确定字母的取值范围．先分别解两个不等式得到，，根据不等式有5个整数解得到不等式的整数解是，即可得到，解得． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式有5个整数解， ∴不等式的整数解是， ∴， ∴． 故答案为： 15．4 【分析】由点E是的中点，判断出，即可得出的面积，由，可得，故通过等量关系可证出． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 16． 【分析】根据题干给出的秦九韶算法的改写规则，对目标多项式进行变形，再将代入变形后的代数式计算． 【详解】解：由秦九韶算法的改写方法可得： ， 当时，． 17． (1) (2) (3) (4) (5)，和为 18．(1) (2) (3)64 【分析】（1）根据给定的式子推导出的展开式即可； （2）与比较，即可得出结果； （3）根据算式的特点，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵ ， ∴ 19．(1) (2)； (3) (4) 【分析】（1）观察图2，阴影部分的边长就是长方形的长与宽的差，即； （2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积； （3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系； （4）根据题意可得，则可得到，据此可得，再根据（3）可求出，据此结合三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，图2中的阴影部分的正方形的边长等于； （2）解：方法1：图2中的阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为； 方法2：图2中的阴影部分的面积等于一个边长为的正方形面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，其面积为． （3）解：由（2）可得三个代数式之间的等量关系是：； （4）解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 20．(1) (2)m 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，三角形中线的性质． （1）根据三角形内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和得到，最后根据计算即可； （2）根据是的中点得到，根据得到，最后根据即可得到． 【详解】（1）解：，，， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）解：是的中点， ，． ， ． ， 21．(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】（1）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把整体提公因式； （2）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把看作整体，运用完全平方公式分解因式； （3）把方程左边分解因式，可得：，因为，，是的三边，不可能是，可得：，所以是等腰三角形． 【详解】（1）解： ；    （2）解： ；   （3）解：， ， ， ，     ，，是的三边， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 22．(1)x的最小值是19 (2)109 (3)x的取值范围为 【分析】本题考查了程序设计与有理数的运算、一元一次不等式（组）的应用，根据题意列出不等式（组）是解题的关键． （1）根据题意列出不等式即可求解； （2）把代入，再把再代入，把再代入，即可求出输出结果； （3）根据程序可以列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 解得：， 所以x的最小值19． （2）解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 输出结果是：109． 故答案为：109． （3）解：由题意可得： ， 化简得：， 解得：． 所以x的取值范围为． 23．(1)A种型号电脑每台的进价4000元，B两种型号电脑每台的进价5000元 (2)商店有3种进货方案：A型电脑110台，B型电脑12台；A型电脑115台，B型电脑8台；A型电脑120台，B型电脑4台 (3)捐献空气循环扇台数最多捐赠方案是甲型空气循环扇4台，乙型空气循环扇9台 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．判断出能解决问题的相等关系和不等关系是解决本题的关键；易错点是根据为正整数及a的取值范围得到a可取的正整数的值． （1）根据购进2台A型电脑和3台B型电脑需23000元，购进4台A型电脑和1台B型电脑则需21000元为相等关系列出方程组求解即可； （2）设购进A型电脑a台，则购进B型电脑台，根据A型电脑的数量不超过120部，这批电脑全部售出后，利润不低于111000元，列出不等式组，求得a的取值范围后进而根据为正整数可得a的正整数取值； （3）分别算出（2）中的利润，得到最大利润后，根据甲型空气循环扇的总价钱乙型空气循环扇的总价钱最大的利润得到二元一次方程，求得正整数解后取最多捐献方案的解即可． 【详解】（1）设A型电脑的进价是x元/台，B型电脑的进价是y元/台， 根据题意得：， 解得：． 答：A种型号电脑每台的进价4000元，B两种型号电脑每台的进价5000元． （2）设购进A型电脑a台，则购进B型电脑台． ． 解得：． ∵为正整数， ∴a可取的整数值为110，115，120． ∴当时，； 当时，； 当时，． 答：商店有3种进货方案：A型电脑110台，B型电脑12台；A型电脑115台，B型电脑8台；A型电脑120台，B型电脑4台． （3）A型电脑110台，B型电脑12台所获利润为：； A型电脑115台，B型电脑8台所获利润为：； A型电脑120台，B型电脑4台所获利润为：． ∵， ∴最大利润为112000． 设甲型空气循环扇m台，乙型空气循环扇n台． ． 整理得：． ． ． ∴或． ∵， ， ∴捐献空气循环扇台数最多捐赠方案是甲型空气循环扇4台，乙型空气循环扇9台． 24．(1)， (2) (3)12或48 【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质求出结果即可； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为12或48． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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