14.3 角的平分线（第1课时 角的平分线的性质） 课件 2025-2026学年人教版 八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线的性质”，涵盖尺规作图与性质定理两大核心知识点。导入通过回顾定义，结合度量、折纸等方法引发思考，以问题链衔接旧知，搭建学习支架引导探究。 亮点在于以“猜想-验证-证明”为主线，通过尺规作图依据SSS、性质定理证明培养推理能力（数学思维），规范几何语言表达强化严谨性（数学语言），中考实例与随堂演练提升应用意识。课堂小结“一点二距两相等”简洁高效，助力学生构建知识体系，教师使用可提升教学针对性与学生参与度。

幻灯片 1：封面 标题：14.3.1 角的平分线的性质 副标题：探索角平分线的神秘特性 背景图：展示一个角的平分线，以及角平分线上的点到角两边距离相等的示意图，突出角平分线的关键元素。 幻灯片 2：学习目标 理解角的平分线的定义，掌握用尺规作一个角的平分线的方法。 探索并证明角的平分线的性质定理，能运用该性质解决简单的几何问题。 通过动手操作、观察分析和推理证明，体会数形结合的思想，培养逻辑推理能力和几何直观。 幻灯片 3：复习回顾 角的相关概念：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的边。 全等三角形的判定方法：包括 “SAS”“ASA”“AAS”“SSS” 以及直角三角形的 “HL”。 思考问题：如果把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做什么？这条射线具有哪些特殊的性质呢？ 幻灯片 4：角的平分线的定义 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 图形表示：如图，OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC = ∠BOC。 实例展示：生活中角平分线的例子，如三角形的角平分线、折扇展开过程中形成的角平分线等，帮助学生建立直观认知。 幻灯片 5：用尺规作角的平分线 已知：∠AOB。 求作：∠AOB 的平分线 OC。 作图步骤： 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA 于点 M，交 OB 于点 N。 分别以点 M、N 为圆心，大于\(\frac{1}{2}\)MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C。 画射线 OC，则射线 OC 就是∠AOB 的平分线。 作图依据：连接 MC、NC，在△OMC 和△ONC 中，OM = ON，MC = NC，OC = OC，所以△OMC≌△ONC（SSS），因此∠AOC = ∠BOC，即 OC 是∠AOB 的平分线。 动态演示：用动画分步展示作图过程，强调半径的选择和弧的交点位置。 幻灯片 6：探究角的平分线的性质 操作任务：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是 OC 上的任意一点，过点 P 分别作 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E。测量 PD 和 PE 的长度，你发现了什么？ 实验现象：经过测量，PD = PE。 小组讨论：改变点 P 在 OC 上的位置，重复上述操作，PD 和 PE 的长度仍然相等吗？由此可以得出什么结论？ 初步结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 幻灯片 7：角的平分线的性质定理 定理内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言表示：如图，∵OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD = PE。 定理证明： 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E。 求证：PD = PE。 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO = ∠PEO = 90°。 在△PDO 和△PEO 中， \(\begin{cases} ∠PDO = ∠PEO \\ ∠AOC = ∠BOC \\ OP = OP \end{cases}\) ∴△PDO≌△PEO（AAS）。∴PD = PE。 图形强调：标注出角平分线、点到两边的距离，明确定理的条件和结论。 幻灯片 8：角的平分线的性质的理解 条件分析：定理成立需要两个条件，一是点在角的平分线上，二是该点到角的两边的距离（即垂直距离）。 结论意义：表明角平分线上的点到角两边的垂直距离相等，这是角平分线的重要特性。 易错提示： 距离必须是点到角两边的垂直距离，非垂直距离不一定相等。 要注意点的位置，必须在角的平分线上，否则结论不成立。 幻灯片 9：例题解析（一）—— 性质的直接应用 例题 1：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 BD = CD。求证：BE = CF。 解题思路： 由 AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角的平分线的性质可得 DE = DF。 要证明 BE = CF，可证明 Rt△BDE≌Rt△CDF。 已知 BD = CD，DE = DF，在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，满足 “HL” 判定定理，因此两三角形全等，进而得出 BE = CF。 证明过程： ∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE = DF（角的平分线的性质）。 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， \(\begin{cases} BD = CD \\ DE = DF \end{cases}\) ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。∴BE = CF（全等三角形的对应边相等）。 幻灯片 10：例题解析（二）—— 性质的综合应用 例题 2：如图，∠AOB = 60°，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E。若 PD = 2cm，求 OP 的长。 解题思路： 由 OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB = 60°，可得∠AOC = ∠BOC = 30°。 因为 PD⊥OA，所以△OPD 是直角三角形，且∠AOC = 30°。 在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，已知 PD = 2cm，PD 是∠AOC 所对的直角边，OP 是斜边，所以 OP = 2PD = 4cm。 证明过程： ∵OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB = 60°，∴∠AOC = \(\frac{1}{2}\)∠AOB = 30°。 ∵PD⊥OA，∴∠ODP = 90°。 在 Rt△OPD 中，∠AOC = 30°，PD = 2cm，∴OP = 2PD = 4cm（在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半）。 幻灯片 11：课堂练习 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，若 CD = 3，AB = 10，求△ABD 的面积。 已知：如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A、B。求证：OA = OB。 如图，在△ABC 中，∠B = ∠C，AD 是∠BAC 的平分线，点 E、F 分别在 AB、AC 上，且 BE = CF。求证：DE = DF。 练习要求：学生独立思考完成，运用角的平分线的性质和全等三角形的判定方法解决问题，教师巡视指导，之后讲解解题思路。 幻灯片 12：角的平分线的性质与全等三角形的联系 内在联系：角的平分线的性质定理的证明依赖于全等三角形的判定（AAS），而性质定理又为证明线段相等提供了新的方法，不必再通过证明三角形全等来间接得出。 应用优势：当题目中涉及角平分线和点到角两边的距离时，使用角的平分线的性质可以简化证明过程，避免繁琐的全等证明步骤。 举例说明：对比用全等三角形和用角的平分线的性质解决同一问题的过程，体现性质的便捷性。 幻灯片 13：课堂小结 知识总结： 角的平分线的定义：从角的顶点出发，把角分成相等两个角的射线。 用尺规作角的平分线的方法及依据（SSS）。 角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 方法总结：在解决与角平分线相关的问题时，若涉及点到角两边的距离，可直接运用角的平分线的性质得出线段相等；作角的平分线时，要掌握尺规作图的规范步骤。 思想提炼：通过实验探究发现性质，再通过逻辑推理证明性质，体会从具体到抽象、从实验到理论的数学研究方法，以及数形结合思想的应用。 幻灯片 14：课后作业 基础作业：课本第 XX 页习题 14.3 第 1、2、3 题。 拓展作业：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，连接 EF，求证：AD 垂直平分 EF。 实践作业：利用角的平分线的性质，设计一个测量池塘宽度的方案，并说明理由。 2024人教版数学八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 14.3.1角的平分线的性质 第十四章 全等三角形 学习目标 理解角的平分线的概念，探索并证明角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 并能运用这个定理解决相关问题，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的推理能力. 能用尺规作图：作一个角的平分线，强化学生的分析与作图能力. 学习目标 回顾导入 我们学过的角的平分线的概念是什么？ 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 几何语言： 所以 OB 平分∠AOC. 如图，因为 情景导入 回顾导入 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 方法一：用量角器度量 方法二：用折纸的方法 在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？ 方法三：用角平分仪 探究新知 探究新知 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系. C A B O M N P 知识点1 角的平分线的作法 探究新知 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？ 知识点1 角的平分线的作法 C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON，那么△OPM ≌△OPN(SAS)， 就有 PM = PN. 探究新知 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP. 知识点1 角的平分线的作法 A B O M N OP = OP，OM = ON，PM = PN， 在△OPM 和△OPN 中， ∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON. P 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 探究新知 知识点1 角的平分线的作法 思 考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 1 先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. 2 在角的内部作出与这两点距离相等的点. 3 以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 探究新知 作法：如图，已知∠AOB. (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. 知识点1 角的平分线的作法 A B O (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. M N C (3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线. 探究新知 A B O M N 为什么以大于 MN的长为半径作弧： 知识点1 角的平分线的作法 以小于 MN的长为半径，两弧无交点； 以等于 MN的长为半径，不易操作. 探究新知 针对训练 已知：平角∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. A B O 【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 探究新知 知识点2 角的平分线的性质 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、 P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3 ······，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 探究新知 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 已知： 一个点在一个角的平分线上. 求证： 验证 这个点到这个角两边的距离相等. 探究新知 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D E P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. 可以通过证明△OPD≌△OPE得到 PD = PE. 探究新知 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D E P 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO ， OP = OP ， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS） ∴PD = PE 探究新知 提炼归纳：证明几何命题的一般步骤 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 必要时先将命题改写成“如果···那么···”的形式 注意可能存在不同情形 探究新知 如图，∵OC 是∠AOB 的平分线， P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E， ∴PD = PE. 角平分线上的点到角两边的距离相等 角的平分线的性质 C A B O D E P 知识点2 角的平分线的性质 几何语言： 探究新知 角平分线上的点到角两边的距离相等 C A B O D E P 知识点2 角的平分线的性质 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 探究新知 随堂演练 教材P50练习 第1题 3. 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等. 解：如图所示： 作∠AOB 的平分线与 MN 交于点 P，点 P 即为所求. A B O N M P 随堂演练 教材P50练习 第2题 4. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 点 F，G 分别在 OA，O B上，DF = EG，连接 PF，PG. 求证 PF = PG. C A B O G F D E P 在 △DPF 和 △EPG 中， 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE，∠PDF = ∠PEG = 90°. PD = PE， ∠PDF = ∠PEG， DF = EG， ∴△DPF≌△EPG（SAS）. ∴PF =PG. 随堂演练 教材P50练习 第2题 C A B O G F D E P 知识点1 角的平分线的画法 1.如图，作已知的平分线 ，合理的顺序是( ) C （第1题） ① 作射线；②在，上分别截取，，使 ；③ 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 内交 于点 . A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 返回 中考考法 22 （第2题） 2.如图，用直尺和圆规作 的平分线，根据作 图痕迹，下列结论不一定正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 23 3.如图，已知四边形，利用尺规作图法作的平分线交 于 点 .（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图所示. 返回 中考考法 24 知识点2 角的平分线的性质 4.如图，是的平分线，点在 上， 于点，于点，若 ，则 的长为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 返回 中考考法 25 （第5题） 5.如图，平分，点是射线 上一点， 于点，点是射线 上的一个动点， 连接.若，则 的长度不可能是( ) D A.18 B.7.2 C.6 D.4.5 返回 中考考法 26 6.［2025南京期末］如图，在中， ，平分 ， 交于点,于点.若，，则 的长为___. 3 （第6题） 返回 中考考法 27 7.如图,，，垂足分别为,， 与 相交于点，且.求证： . 证明： , 为 的平分线. , ， , . 又 , , . 返回 中考考法 28 角平分线 尺规作图 性质 添加 辅助线 依据：SSS 一个点： 二距离： 两相等： 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段相等 过角平分线上一点向两边作垂线段 课堂小结 谢谢观看！ $