10.3.2 随机模拟 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦“10.3.2 随机模拟”，涵盖随机数、模拟步骤及蒙特卡洛方法。通过新闻案例导入，课前以思维导图框架（中心词“随机模拟”，分支“随机数”“模拟步骤”“蒙特卡洛方法”）和核心问题搭建学习支架，衔接频率与概率知识，引导学生带着疑问阅读教材。 资料特色为素养目标分层明确，设小组合作探究活动（如设计三天天气模拟方案），例题与巩固题分层设计，易错点分析精准。通过真实情境应用，培养学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的核心素养，提升问题解决与创新意识。

2025-2026学年高中数学人教A版必修第二册第十章 概率 10.3 频率与概率 10.3.2 随机模拟导学案（阅读课）（同步练习） 【模块一 素养目标】 一、知识目标 你能说出随机数与伪随机数的区别，能列举至少两种产生随机数的方法。你能完整复述随机模拟的三个基本步骤，并用自己的语言解释蒙特卡洛方法的核心思想。 二、能力目标 你能独立设计简单概率问题的随机模拟方案，正确选择随机数范围并对应试验结果。你能根据给定的随机数表，统计事件发生的频率并估计概率，正确率达到80%以上。 三、素养目标 通过新闻案例引入新课，你能主动提出2个以上关于随机模拟应用的问题。你能在小组讨论中承担明确角色，共同完成模拟试验设计并汇报成果。你能结合真实生活情境运用随机模拟知识，形成可展示的学习成果。 【模块二 课前预习】 一、思维导图框架 请在笔记本上画出本节知识的思维导图主干，中心词写"随机模拟"，从中心向外延伸三条主干分支，分别写上"随机数"、"模拟步骤"、"蒙特卡洛方法"。每个主干分支下预留三个子分支位置，课堂上补充完整。 二、核心问题 带着这三个问题阅读教材第253页到258页。 第一个问题，为什么要进行随机模拟？直接做试验不行吗？ 第二个问题，随机数是怎么产生的？计算器生成的随机数真的随机吗？ 第三个问题，用频率估计概率，试验次数越多就一定越准确吗？ 把你阅读后的初步想法写在问题旁边，不用追求完美，有思考就好。 三、预习检测 完成三道小题，检验预习效果。 1. 判断正误：用计算器产生的随机数是真正的随机数。 2. 填空：利用随机模拟解决问题的方法称为______方法。 3. 简答：请用一句话说说你理解的"随机模拟"是什么。 注意啦，预习不是要你全学会，而是带着问题进课堂。有疑问很正常，带着疑问听课效果才好。 【模块三 探究新知】 一、随机数的概念与产生 1. 什么是随机数 在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内每一个数的机会均等，这样的数叫做随机数。比如掷骰子得到的点数就是1到6之间的随机数，每个点数出现的可能性都是六分之一。生活中还有很多随机数的例子，比如彩票开奖号码、抽奖箱里摸出的编号，这些都是随机数。 【关键点】随机数的核心特征有两个，一是在指定范围内，二是每个数出现的可能性相等。缺了任何一个都不能叫随机数。 2. 伪随机数的含义 计算器或计算机产生的随机数，是按照某种算法生成的，看起来像是随机的，但实际上是有规律的，所以叫做伪随机数。虽然是伪随机，但只要周期足够长，在实际应用中就可以当作真随机数来用。这就好比你玩游戏里的随机抽卡，程序算出来的，但你感觉就是随机的。 【要牢记】伪随机数不是假随机数，而是"伪"在生成方式上，不是真正的物理随机过程。但统计性质上和真随机数几乎没有区别。 3. 随机数的产生方法 产生随机数的方法有很多种。最原始的方法是抽签、摸球、掷骰子，这些都是物理方法，产生的是真随机数，但效率低，不适合大量使用。效率高的方法是用计算器或计算机生成，按一下就能出一个数，方便快捷。还有一种方法是查随机数表，就是事先编好的一堆随机数，用的时候查就行。 为什么会有这么多种产生方法？因为不同场景需求不一样。上课做个小试验，用掷骰子就行。要做几万次模拟，就得用计算机了。 二、随机模拟的基本步骤 1. 第一步：建模对应 这一步是最关键的，就是把实际问题中的随机试验结果，对应到合适范围的随机数上。比如要模拟掷硬币，正面和反面各占一半，就可以用0代表正面，1代表反面，生成0和1的随机数。如果要模拟命中率为0.7的投篮，就可以用0到9这十个数字，其中0到6代表投中（共7个数字），7到9代表没投中（共3个数字）。 【关键点】对应关系一定要准确，数字个数的比例要和实际概率一致。比例错了，后面模拟再多次也没用。 2. 第二步：重复模拟 确定好对应关系后，就要大量重复生成随机数来模拟试验。每一组随机数代表一次完整的试验。比如要模拟三天的天气情况，每天下雨概率都是0.4，那就每三个随机数为一组，每组代表三天的天气。模拟次数越多，估计结果越可靠。 这里容易踩坑，很多同学搞不清一组有几个数。记住，一次完整试验包含几个步骤，一组就有几个数。 3. 第三步：统计估计 模拟完之后，统计一下我们关心的事件发生了多少次，用发生次数除以总模拟次数，得到频率，再用这个频率去估计概率。比如模拟了100组三天天气，其中有25组是三天都不下雨，那三天都不下雨的概率估计值就是0.25。 【要牢记】频率是实际算出来的，概率是我们要估计的。模拟的本质就是用频率去逼近概率。 【课堂探究活动】 全班分成六个小组，每组六人，共同完成一个探究任务。 任务是这样的：天气预报说，未来三天每天下雨的概率都是0.5。请设计一个随机模拟方案，估计三天中恰有两天下雨的概率。 给大家八分钟时间。每组先讨论确定随机数的对应方式，然后用计算器生成20组随机数进行模拟，最后统计结果算出估计值。 讨论的时候注意，每个人都要发言。组长负责组织，记录员负责写方案和数据，发言人最后汇报。 教师巡视的时候会问各组几个问题，比如"为什么选这个范围的随机数"、"20次模拟够不够"，大家要能答上来。 三、蒙特卡洛方法与应用 1. 蒙特卡洛方法的起源 蒙特卡洛方法这个名字听起来很高大上，其实它的起源和赌博有关。二战的时候，数学家乌拉姆在研究原子弹相关的中子扩散问题，算不出来精确解。他闲着没事玩纸牌游戏，突然想到，能不能用随机试验的方法来近似计算呢？后来这个方法发展起来，就用摩纳哥那个著名的赌城蒙特卡洛来命名了。 说白了，蒙特卡洛方法就是用大量随机模拟来解决问题的方法。名字洋气，道理朴素。 2. 蒙特卡洛方法的基本思想 当一个问题很难精确计算的时候，我们可以通过大量的随机试验，用统计出来的频率去估计概率，或者用平均值去估计某个数值。这就是蒙特卡洛方法的核心思想。它的适用范围特别广，不管是数学、物理、工程，还是金融、生物，都能用。 为什么蒙特卡洛方法这么有用？因为很多实际问题太复杂了，根本算不出精确解，而随机模拟只需要不停地做试验就行，计算机最擅长干这种重复的活儿。 3. 随机模拟的应用场景 随机模拟的应用场景非常多。天气预报的概率预报，背后就有大量的随机模拟。保险公司算保费，也要用随机模拟来估计风险。甚至在游戏开发里，AI的行为决策也会用到随机模拟。还有更有意思的，比如用撒豆子的方法来估算圆周率，这也是经典的蒙特卡洛应用。 【关键点】只要是涉及随机性、又不好精确计算的问题，都可以考虑用随机模拟来试试。这是一种非常实用的思想方法。 【重点】 随机模拟的基本步骤是本节的重点内容。为什么说它重要？因为整个随机模拟的操作都围绕这三步展开，任何一个环节出问题，结果都会出错。 第一步建模对应，考验的是你的转化能力。你得能把实际问题翻译成数学语言，把事件和数字对应起来。很多同学在这里容易出错，要么随机数范围选错了，要么数字个数的比例和实际概率对不上。比如要模拟0.6的概率，有的同学用1到6六个数，前三个代表发生，这就错了，三个数占六个的一半，对应的是0.5不是0.6。正确的做法应该是用1到5五个数，前三个代表发生，这样才是五分之三也就是0.6。 第二步重复模拟，看起来简单，但也有讲究。一是模拟次数的选择，次数太少结果不准，次数太多又浪费时间，要根据实际需要来定。二是分组的问题，一次试验有几个步骤，一组就应该有几个数，这个对应关系不能乱。比如模拟两次投篮，就应该两个数一组，不能三个数一组。 第三步统计估计，考验的是你的数据处理能力。你得准确统计出目标事件发生的次数，不能数错。还有频率和概率的关系要搞清楚，频率是我们算出来的具体数值，概率是客观存在的理论值，我们用频率去估计概率，不是说频率就等于概率。 这三步环环相扣，每一步都要做对，最后得到的估计值才有意义。 【难点】 构建恰当的随机数模型对应实际随机试验，是本节的难点。为什么难？因为这需要你对实际问题有深刻的理解，还要能灵活地转化为数学模型，没有固定的公式可以套。 学生在哪个具体步骤容易出错呢？主要是在确定随机数范围和分配数字代表的结果这一步。比如遇到非等可能的事件，有的同学就懵了，不知道怎么分配数字。还有多步试验的问题，搞不清应该几个数一组，每组内部的数字能不能重复。 怎么突破这个难点呢？这里给大家一个具体的操作方法，叫做"三步建模法"，课堂上用五分钟就能练会。 第一步，先数清楚基本事件有几种，每种的概率是多少。把这些概率都写下来，不要急着选数字。 第二步，找一个合适的总数，让各种概率乘以总数之后都是整数。这个总数就是你要用到的随机数的总个数。比如概率是0.6和0.4，乘以5就是3和2，都是整数，那总数就选5，用1到5这五个数字。如果概率是0.3、0.5、0.2，乘以10就是3、5、2，都是整数，那总数就选10，用0到9这十个数字。 第三步，按顺序分配数字。从第一个事件开始，按概率对应的数字个数，依次分配数字。比如0.6对应3个数字，就把1、2、3分给第一个事件，剩下的4、5分给第二个事件。分配完之后，加起来检查一下总数对不对，比例对不对，确认无误再开始模拟。 就用这个三步法，一步一步来，基本上就不会出错了。刚开始可能慢一点，多练几道题就熟练了。 板书设计： 黑板左侧写大标题"10.3.2 随机模拟"。 黑板中间分三栏，第一栏写"一、随机数"，下面分三点：定义、伪随机数、产生方法。 第二栏写"二、随机模拟步骤"，下面分三步：建模对应、重复模拟、统计估计。 第三栏写"三、蒙特卡洛方法"，下面分三点：起源、思想、应用。 黑板右侧留出来，写课堂探究的题目和学生汇报的结果。 【模块四 例题剖析】 例1 题目：某篮球运动员投篮的命中率为0.6，现在他连续投篮两次，用随机模拟的方法估计他恰好投中一次的概率。 我们用1到5的整数随机数来模拟，其中1、2、3代表投中，4、5代表没投中。每两个随机数为一组，代表两次投篮的结果。 下面给出20组随机数： 13 24 35 12 41 52 31 25 43 15 22 34 11 53 23 42 51 33 14 21 【解答】 第一步，先明确对应关系。1、2、3代表投中，共3个数字，占5个数字的五分之三，也就是0.6，正好对应命中率。4、5代表没投中，共2个数字，占五分之二，也就是0.4，对应没中的概率。对应关系没问题。 第二步，数一下20组里面，恰好有一个投中的组数是多少。恰好投中一次，就是每组两个数里，一个是1、2、3，另一个是4、5。 我们一组一组来看。 第一组13，两个都是投中，不符合。 第二组24，2是投中，4是没中，恰好一个，符合。 第三组35，3是投中，5是没中，恰好一个，符合。 第四组12，两个都是投中，不符合。 第五组41，4是没中，1是投中，恰好一个，符合。 第六组52，5是没中，2是投中，恰好一个，符合。 第七组31，两个都是投中，不符合。 第八组25，2是投中，5是没中，恰好一个，符合。 第九组43，4是没中，3是投中，恰好一个，符合。 第十组15，1是投中，5是没中，恰好一个，符合。 第十一组22，两个都是投中，不符合。 第十二组34，3是投中，4是没中，恰好一个，符合。 第十三组11，两个都是投中，不符合。 第十四组53，5是没中，3是投中，恰好一个，符合。 第十五组23，两个都是投中，不符合。 第十六组42，4是没中，2是投中，恰好一个，符合。 第十七组51，5是没中，1是投中，恰好一个，符合。 第十八组33，两个都是投中，不符合。 第十九组14，1是投中，4是没中，恰好一个，符合。 第二十组21，两个都是投中，不符合。 数一下符合条件的，第二、三、五、六、八、九、十、十二、十四、十六、十七、十九组，一共12组。 第三步，计算频率。12除以20等于0.6。所以估计恰好投中一次的概率是0.6。 【方法总结】 做这种随机模拟的题目，就是三步走。先确认对应关系对不对，再一个一个数符合条件的组数，最后算频率。数的时候要仔细，别数错了，数完可以再数一遍验证一下。 例2 题目：天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.4。用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率。 我们用0到9的整数随机数来模拟，其中0、1、2、3代表下雨，4、5、6、7、8、9代表不下雨。每三个随机数为一组，代表三天的天气情况。 下面给出30组随机数： 027 351 468 123 789 234 567 012 345 678 901 234 567 890 123 456 789 012 345 678 135 246 357 468 579 680 791 802 913 024 【解答】 第一步，检查对应关系。0到3共4个数字代表下雨，占10个数字的十分之四，也就是0.4，正好对应下雨的概率。4到9共6个数字代表不下雨，占十分之六，也就是0.6，对应不下雨的概率。对应关系正确。 第二步，统计30组里面，恰有两天下雨的组数。恰有两天下雨，就是每组三个数中，有两个在0到3之间，一个在4到9之间。 我们一组一组来数。 第一组027，0和2下雨，7不下，恰好两天，符合。 第二组351，3和1下雨，5不下，恰好两天，符合。 第三组468，三个都不下，不符合。 第四组123，三个都下雨，不符合。 第五组789，三个都不下，不符合。 第六组234，2和3下雨，4不下，恰好两天，符合。 第七组567，三个都不下，不符合。 第八组012，三个都下雨，不符合。 第九组345，3下雨，4和5不下，只有一天，不符合。 第十组678，三个都不下，不符合。 第十一组901，0和1下雨，9不下，恰好两天，符合。 第十二组234，2和3下雨，4不下，恰好两天，符合。 第十三组567，三个都不下，不符合。 第十四组890，0下雨，8和9不下，只有一天，不符合。 第十五组123，三个都下雨，不符合。 第十六组456，三个都不下，不符合。 第十七组789，三个都不下，不符合。 第十八组012，三个都下雨，不符合。 第十九组345，3下雨，4和5不下，只有一天，不符合。 第二十组678，三个都不下，不符合。 第二十一组135，1和3下雨，5不下，恰好两天，符合。 第二十二组246，2下雨，4和6不下，只有一天，不符合。 第二十三组357，3下雨，5和7不下，只有一天，不符合。 第二十四组468，三个都不下，不符合。 第二十五组579，三个都不下，不符合。 第二十六组680，0下雨，6和8不下，只有一天，不符合。 第二十七组791，1下雨，7和9不下，只有一天，不符合。 第二十八组802，0和2下雨，8不下，恰好两天，符合。 第二十九组913，1和3下雨，9不下，恰好两天，符合。 第三十组024，0和2下雨，4不下，恰好两天，符合。 数一下符合条件的，第一、二、六、十一、十二、二十一、二十八、二十九、三十组，一共9组。 第三步，计算频率。9除以30等于0.3。所以估计三天中恰有两天下雨的概率是0.3。 【方法总结】 这道题和上一道题思路一样，就是数字多了一组。做的时候注意，每组有几个数，要看清楚题目说的是几天或者几次试验。数的时候耐心一点，别着急，数错了就前功尽弃了。 【模块五 巩固提升】 1. 判断正误：计算机产生的随机数是真正的随机数，没有任何规律。 2. 用随机模拟方法估计概率时，模拟次数与估计精度的关系是怎样的？请用一句话概括。 3. 某射手命中率为0.8，用0到9的随机数模拟射击，应该用哪几个数字代表命中？ 4. 同时掷两枚骰子，用随机模拟估计点数之和为7的概率。如果用整数随机数模拟，每几个数为一组比较合适？ 5. 用1到5的随机数模拟某个试验，事件A发生的概率为0.4，则代表事件A发生的数字应该有几个？分别是哪几个？ 6. 天气预报说未来两天下雨的概率都是0.5，用0和1两个随机数模拟天气，每两个数为一组。给出10组随机数：01 10 00 11 01 10 00 11 01 10。请估计两天中恰有一天下雨的概率。 7. 拓展题：请设计一个随机模拟方案，估计一个家庭有三个孩子，至少有两个男孩的概率（假设生男生女概率相等）。写出你的设计思路，不用实际模拟。 8. 竞赛拓展：用随机模拟的方法可以估算圆周率。请简要说明用撒豆子法估算圆周率的基本思路，提示一下，在正方形里画一个内切圆，随机撒豆子，豆子落在圆里的概率和圆的面积有关。 【参考答案】 1. 错误。计算机产生的随机数是伪随机数，是按照算法生成的，有一定规律。 2. 模拟次数越多，估计的精度一般越高，频率越接近真实概率。 3. 应该用0、1、2、3、4、5、6、7这8个数字代表命中，因为8个数字占10个数字的十分之八，也就是0.8。 4. 每两个数为一组比较合适，第一个数代表第一枚骰子的点数，第二个数代表第二枚骰子的点数。 5. 代表事件A发生的数字应该有2个。因为0.4乘以5等于2。可以是1和2，或者4和5，只要是两个数字就行。 6. 先统计恰有一天下雨的组数。01、10、01、10、01、10，一共6组。6除以10等于0.6，所以估计两天中恰有一天下雨的概率是0.6。 7. 设计思路：用0代表男孩，1代表女孩，生男生女概率相等，所以0和1各占一半。每三个随机数为一组，代表三个孩子的性别。生成多组随机数，统计至少有两个0的组数，用这个组数除以总组数，得到的频率就是至少有两个男孩的概率估计值。 8. 基本思路：在一个正方形里画一个内切圆，圆的直径等于正方形的边长。向正方形里随机撒大量豆子，豆子落在正方形内任意位置的可能性相等。统计落在圆里的豆子数和总豆子数，豆子落在圆里的频率就近似等于圆的面积和正方形面积的比值。设正方形边长为2r，那么正方形面积是4r²，圆的面积是πr²，面积比是π/4。所以用频率乘以4，就能得到圆周率的估计值。 【模块六 易错点分析与学法指导】 一、易错点分析 1. 易错点：随机数范围选择错误，数字分配比例与实际概率不符。 正解思路：选择随机数范围的时候，先算一下各种结果的概率，找一个合适的总数，让每种结果对应的数字个数都是整数。分配完数字之后，一定要检查一下，数字个数的比例是不是和实际概率一致。比如概率0.6，用1到5五个数的话，应该是3个数代表发生，五分之三就是0.6，不能想当然地用1到6六个数，前三个代表发生，那样就变成0.5了。 2. 易错点：多步试验中，每组随机数的个数判断错误，或者组内数字重复与否搞不清。 正解思路：一次完整的试验包含几个独立步骤，每组就应该有几个数。比如模拟三次投篮，每组就三个数。模拟两次掷骰子，每组就两个数。至于数字能不能重复，要看实际试验是不是有放回的。如果是有放回的，比如连续投篮，每次投篮互不影响，那组内数字就可以重复。如果是不放回的，比如从一堆球里摸两个，那组内数字就不能重复。大部分题目都是有放回的，数字可以重复，做题的时候注意看题目描述。 3. 易错点：混淆频率和概率，认为模拟得到的频率就是真实概率，或者模拟次数少的时候就下结论。 正解思路：频率是我们通过模拟算出来的具体数值，每次模拟得到的频率可能都不一样。概率是客观存在的理论值，是固定不变的。我们用频率去估计概率，模拟次数越多，估计一般越准确，但不能说频率就等于概率。做模拟题的时候，要明确说"估计概率为多少"，不能直接说"概率是多少"。还有，模拟次数太少的时候，结果可能偏差很大，不能轻易下结论。 二、学法指导 学习本节内容，要抓住一个核心思想，就是用频率估计概率，用大量重复试验去逼近真实值。这是一种非常重要的统计思想，在很多领域都有应用。 学习的时候，不要死记硬背步骤，要理解每一步为什么这么做。建模对应这一步是关键，建议你多做几道不同类型的题目，练一练建模的感觉。做完一道题，想想如果换个概率，应该怎么调整数字分配。 课后可以自己动手做个小试验，比如用掷硬币的方法模拟一下，看看正面出现的频率是不是随着次数增加越来越接近0.5。自己动手做过，理解会更深刻。 还有，要注意和前面学过的频率稳定性联系起来。随机模拟本质上就是用计算机或者计算器代替人工做大量重复试验，原理和频率的稳定性是一样的。把前后知识串起来，学起来就轻松了。 学科网（北京）股份有限公司 $