2025-2026学年苏科版七年级数学下册期末复习卷

**基本信息** 这份七年级数学期末复习卷以《孙子算经》分羊问题、环球飞车特技、校园寻宝等真实情境为载体，通过基础概念（如幂运算、轴对称）、能力提升（如折叠变换、新定义“奇差数”）、创新应用（如项目式拼图、多变换综合）的梯度设计，覆盖整式运算、图形变换等核心知识，培养抽象能力、模型意识与推理思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|轴对称与中心对称（1）、方程组建模（3）、真命题判断（4）|结合食品标识考图形性质（1），新定义“奇差数”考数感（7）| |填空题|8/24|完全平方公式（10）、旋转角计算（13）、公倍数应用（16）|以正方形面积和差考代数变形（15），含参方程组正整数解考运算能力（14）| |解答题|11/82|几何证明（21）、项目式拼图（27）、多变换综合（26）|环球飞车情境考方程与不等式（24），翻折平移旋转结合考空间观念（26）|

2026学年七年级数学下学期期末复习卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．） 1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有只羊，乙有只羊，可列出方程组是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．若实数a，b满足，则 D．两直线平行，同位角相等 5．在长方形内，将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为 （    ） A． B． C． D． 6．点点同学在学习“生活中的轴对称”之后，对图形的变换进行操作实践． P为长方形纸片的边上一点，点E，M分别为上的动点，如图，先把纸片沿对折，点A翻折至点F：再把纸片沿对折，点B翻折至点H．当点E，M运动时，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．如果一个数（n为整数），那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（   ） A．66 B．88 C．94 D．126 8．对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如：，，，给出如下结论：①；②若，则x的取值范围是；③当时，的值为1或2；④若且，则x的取值范围为．其中正确的结论有(    )个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．已知，，则的值为________． 10．如果是一个完全平方式，那么m的值为_______． 11．请举一个能说明命题“如果，那么”是假命题的x的值可以是_____． 12．已知方程组的解满足，则的值是______． 13．如图，是由绕点逆时针旋转而得，且，，平分，则________． 14．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则的值为________． 15．如图所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和 ，则图中阴影部分面积是______． 16．某段高速公路全长公里，交警部门在高速公路上距入口千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔公里处设置一块限速标志牌；此外，交警部门还在距离入口千米处设置了摄像头，并在以后每隔千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口____千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．） 17．（5分）计算： (1) (2) 18．（5分）先化简，再求值：，其中，． 19．（6分）解方程组及解不等式组． (1)解方程组：； (2)解不等式组：． 20．（6分）按如下要求作图： (1)如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点在小正方形的顶点上， ①的面积为 ②将向上平移4个单位长度得到 ③在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)如图2，在中，画出的角平分线，线段的垂直平分线．（要求：利用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；） 21．（6分）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，且． (1)求证：； (2)若命题“已知 ，则”是真命题，请填空，并说明理由． 22．（8分）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知， ，求的值． 解：将两边同时平方，得，即． 因为，等量代换，得 ，所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知 ，则 ； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，求的值． 23．（8分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，求y的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求t的值． 24．（8分）环球飞车是一种特技表演，其中多辆摩托车在一个球形的金属笼子里高速骑行．表演者会垂直、倒置或倾斜骑行，而不会相撞． (1)物理学原理：摩托车手能在球型铁笼内骑行而不下落需满足旋转产生的离心力重力G．已知离心力，重力（其中m为车手及摩托车总质量，v为骑行速度，r为半径，g为重力加速度且），摩托车手以6米/秒的速度在半径为3米的铁笼内表演，则___（填“有”或“无”）掉落的危险． (2)如图1，两位摩托车手在周长为16米的水平圆形轨道上匀速顺时针进行骑行表演（最低安全速度为5米/秒），开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），已知位于点A处的摩托车手速度为6米/秒，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为________． (3)如图2，甲、乙两位摩托车手分别在周长均为16米的水平和竖直圆形轨道上逆时针进行骑行表演，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒，两个表演轨道的交点分别为，开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，求最多可以安全表演多少秒． 25．（10分）阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，      又，，． 又， …………①． 同理可得…………②． 由①②得：． 的取值范围是． 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是___________； (2)已知关于，的方程组的解都是正数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若，，求的取值范围． 26．（10分）校园文化节开展“数学寻宝大闯关”活动，寻宝区域设定在长方形草坪中（如图），已知，，宝藏藏匿点与草坪内（包含草坪边界）一动点的位置息息相关，闯关规则需结合翻折、平移、旋转三种图形变换确定位置，闯关成功即可找到宝藏，具体变换规则如下： 1.将沿直线进行翻折，得到； 2.将翻折后得到的点沿着水平方向向右平移2个单位长度，得到新的点；闯关者需根据以上变换规则，完成闯关问题，解锁宝藏坐标： 闯关问题 (1)当动点恰好位于长方形草坪的边上时，在图中画出相应的示意图（无需尺规作图）并求线段的长度； (2)若动点可以在长方形草坪内部任意移动（包含草坪边界），连接，结合翻折、平移的图形性质，则线段长度的最小值_________； (3)在（2）的条件下，即取最小值时，连接，，将绕点B顺时针旋转，其中点A、点C的对应点分别为M、N，点Q为边上的动点，当点与点Q距离最近的时候，点Q所在的位置就是宝藏藏匿点的位置，请根据题意，在备用图中画出宝藏藏匿点的位置（只要画出示意图，不需要尺规作图），并直接写出此时线段的长度． 27．（10分）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 参考答案 一、选择题 1．D 解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意． 2．D A．，错误，不符合题意． B． ，错误，不符合题意． C．，错误，不符合题意． D．，正确，符合题意． 3．A 解：设甲有只羊，乙有只羊，根据题意得， ． 4．D 解：对于选项A，相等的角不一定是对顶角，例如两平行线截出的同位角相等但不是对顶角，故A是假命题； 对于选项B，只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项缺少“同一平面内”的前提，故B是假命题； 对于选项C，若，则或，例如满足但，故C是假命题； 对于选项D，“两直线平行，同位角相等”是平行线的基本性质，是真命题. 5．D 解：∵，， ∴ ∵， ∴． 6．B 解：设，， ∵， ∴， 由折叠性质得：，， ∵P为长方形纸片的边上一点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7．B 解：∵ ， ∴ “奇差数”是 8 的倍数. A. ，不能被 8 整除； B. ，能被 8 整除； C. ，不能被 8 整除； D. ，不能被 8 整除. ∴ 只有 88 是“奇差数”． 故选 B． 8．B 解：①、因为[x]表示不大于x的最大整数， ∴当时， ∴①不正确； ②、若，则x的取值范围是，故②是正确的； ③、当时，[， 当时，， 当时，，综上③是正确的； ④、∵， ∴， 解得：． ∵ ∴， 解得： ∴x的取值范围为 故④是错误的． 故正确的是：②③，共两个． 故选：B． 二、填空题 9．4 解：，， ∴ 又， ． 10． 解：∵是一个完全平方式 ∴ ∴ ∴． 11．（答案不唯一） 解：当时，成立，但不成立， ∴能说明命题“如果，那么”是假命题的x的值可以是． 故答案为： 12．1 解： 得：， ， ， 解得． 13． 解：是由绕点逆时针旋转而得，， ，， ， ， 平分， ， ， ． 14．3或15 解：， 由可得：， ∴， 将代入②可得：， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组有正整数解， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为3或15． 15． 解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可知，为线段上的一点，且， ， 两正方形的面积和 ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长与交于点，延长与交于点，则 ， 阴影部分的面积 ． 16．或或 解：依题意可知，第（为正整数）个限速标志牌距离入口的距离为公里，第（为正整数）个摄像头距离入口的距离为公里， ， ， ∵标志牌和摄像头重合， ， ， 又均为正整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∴离入口或或千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头． 三、解答题 17．（1）解：原式； （2）解：原式． 18．解：原式 ， 当，时，原式． 19．（1）解：， 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴方程组的解为：； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 20．（1）解：①， 故答案为：4； ②如图，即是所求作的三角形； ③如图，即是所求作的三角形； （2）如图所示，是所求作的的平分线，直线是所求作的线段的垂直平分线， 21．（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：命题“已知，则”是真命题，理由如下： 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：根据题意可得：图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ∴， 即， ∴图中阴影部分的面积． （3）解：设， 则， ， ， ． 23．（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（1）解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴无掉落的危险； （2）解：∵要使安全表演时间超过16秒 ∴当两车相遇时，表演时间超过16秒 当时，此时位于点A处的摩托车手速度大于位于点B处的摩托车手速度， ∵开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），周长为16米 ∴当两车相遇时，位于点A处的摩托车手比位于点B处的摩托车手多走了8米 ∴ 解得 ∴； 当时，同理可得， 解得 ∴ 综上所述，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为； （3）解：要求最多可以安全表演多少秒，即求相遇时最多可以安全表演多少秒 ∵两个表演轨道的交点分别为， ∴当甲乙相遇时，甲乙同时到达点P或Q ∵开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒， ∴甲第一次到达P的时间为（秒），乙第一次到达P的时间为（秒） ∴甲第一次到达Q的时间为（秒），乙第一次到达Q的时间为（秒） ∵周长均为16米 ∴甲转一圈的时间为（秒），乙转一圈的时间为（秒）， ∴设甲第n（n为正整数）次到达点P的时间为（秒），乙第m（m为正整数）次到达点P的时间为（秒）， ∴当甲乙相遇于点P时， ∴整理得， ∵m，n都为正整数 ∴当，时，等式成立 ∴此时甲到达P点的时间为（秒） ∴最多可以安全表演14秒． 25．（1）解：， ， ， ， ， 又， ①， 同理可得②， 由得：， 的取值范围是， 故答案为：； （2）解：， 解得：， ，， ， 解不等式组得：， 的取值范围为：； （3）解：∵， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴①， 又∵， ∴， ∵， ， ②， 由①②得：， 的取值范围是． 26．（1）解：根据题意画出图形如图所示：连接交于点， 由折叠的性质可得，， ∵四边形为长方形，， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴； （2）解：如图：当点与点重合时，由轴对称的性质可得点与点重合，再由平移的性质可得， 此时最小，为； （3）解：如图：由垂线段最短可得，当时，最小， 由旋转的性质可得：，，， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴此时线段的长度最小，为． 27．解：任务一： 由①得：， 把代入②，得：， 原方程组的解是； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得： ， 解得：， 则图2中阴影部分的面积； 任务三：由题意得：， 解得：， 且a、b、c均为正整数， ， 解得：， 或2， 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时不能放置； 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时能放置，放置方式如下图： 学科网（北京）股份有限公司 $