精品解析：翔宇教育集团江苏省淮安外国语学校2024～2025学年度第二学期七年级数学期末试题

翔宇教育集团江苏省淮安外国语学校2024～2025学年度第二学期期末考试初一数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列是软件的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年6月4日，嫦娥六号携带由玄武岩磨粉、融化、经高科技拉成直径约为米的丝线织布制作而成的五星红旗在月球背面冉冉升起，经受恶劣环境也能万年不朽，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 不等式的最小整数解是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 若多项式是完全平方式，则常数 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在 中，点D、E分别在 、上，已知， ，， ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在 中， ，，D是 的中点，，交的延长线于点E， 与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A. 27 B. 12 C. 24 D. 36 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24 分） 9. 命题“若，则”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”）． 10. 已知一个多边形的内角和为，则它的边数为____． 11. 已知关于x，y的方程组的解满足，则______． 12. 关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围为______． 13. A，B两块长方形板材的规格如图所示（为正整数），设板材A，B面积分别为，，比较，的大小，则_____．（填“”或“”或“”） 14. 如图，在中，， ，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 15. 如图，在锐角 中，D是的中点，，E是 上的一点，且 ，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 16. 已知两个形状完全相同的直角 、 ，如图放置，点B、D重合，点F在上，与交于点G，，，现将图中的 绕点G按每秒的速度沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中， 恰有一边与平行的时间为_____秒． 三、解答题（本大题共11小题，共102分） 17. 计算 （1） （2） 18. （1）解二元一次方程组 （2）解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AE∥BF，且AE=BF．求证：AC=BD． 21. 观察下列等式： ①；②；③；④… （1）请按以上规律写出第8个等式______； （2）猜想并写出第n个等式（n为正整数）； （3）证明你猜想的正确性． 22. 如图，在 中，，点 在 上，满足 ，过点 作 交 于点． 的周长为 ， 的周长为 ，求的长． 23. 如图，在正方形网格中有 ，直线直线n，垂足为O． （1）请画出将 先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的；在平移的过程中，线段扫过的面积为______； （2）请画出 以点O为对称中心的对称图形； （3）与成中心对称，请画出它们的对称中心M． 24. 某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元，每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品，总收入为2496元． （1）请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？ （2）学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的．请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案． 25. 数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：． （1）由图2可以得到：______； （2）利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，则的值为______； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 26. 若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； （1）下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是______（填字母序号）； A． B． C． D． （2）若关于x的不等式被“容纳”，求m的取值范围； （3）若关于x的不等式 被 “容纳”，若 且， ，求M的最大值． （4）已知 ，，，，且k为整数，关于x的不等式 ， ，若存在k，使得P和Q存在“容纳”关系，且Q被P“容纳”，请直接写出k的值． 27. （1）在一节数学课上，王老师给出一道题：如图1，在 中，，点 是线段 上一点，连接，在延长线上取一点，使，作垂足为点．求证：． ①如图2，小明认为：在上截取，连接，只要探究线段和线段之间的数量关系即可． ②如图3，小强认为：作交 延长线于点，只要探究线段 和线段之间的数量关系即可． 请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程． （2）如图4，在中，，，平分交 于点 ，作交于点．试探究线段、和 之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图5，在四边形中，，，平分，在上取一点，使，连接．若，，，求的长．（用含，，的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 翔宇教育集团江苏省淮安外国语学校2024～2025学年度第二学期期末考试初一数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列是软件的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念对各选项判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方 ）和合并同类项法则，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．本题需依据幂的运算性质（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方 ）以及合并同类项法则，对每个选项逐一判断． 【详解】解：，故A错误． ，故B错误． ，故C正确． ∵合并同类项时，只有所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项才能合并， 与 所含字母不同，不是同类项，无法合并， ∴，故D错误． 故选：C ． 3. 2024年6月4日，嫦娥六号携带由玄武岩磨粉、融化、经高科技拉成直径约为米的丝线织布制作而成的五星红旗在月球背面冉冉升起，经受恶劣环境也能万年不朽，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此求解即可． 【详解】解： 故选：C． 4. 不等式的最小整数解是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在解答此类题目是要注意，不等式的两边同时除以一个负数时不等号的符号要改变，这是此类题目的易错点．先移项得出不等式的解集，在此范围内确定不等式的最小整数解可得． 【详解】解：∵， ， 则不等式的最小整数解为0， 故选：B． 5. 若多项式是完全平方式，则常数 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，先根据两个平方项确定出这两个数，再根据即可确定k的值． 【详解】解：是完全平方式， ， 常数 的值为， 故选C． 6. 如图，在 中，点D、E分别在、 上，已知， ，， ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用证明，得出对应角相等，结合平角定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和 中， ， ， ， ， 点 在上， ， ， ， ， 在 中， ． 7. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 8. 如图，在 中， ，，D是的中点，，交的延长线于点E， 与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A. 27 B. 12 C. 24 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】先证，再求出 长，根据面积公式可得的面积． 【详解】解： ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 又点 为中点 ， ， ， ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24 分） 9. 命题“若，则”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查的是真假命题的判断，写命题的逆命题，先写出逆命题为：若，则；再举反例说明逆命题是假命题即可． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是：若，则； 当时，，而， ∴这个逆命题是假命题； 故答案为：假． 10. 已知一个多边形的内角和为，则它的边数为____． 【答案】 【解析】 【分析】 边形的内角和公式为 ，根据已知内角和列出一元一次方程，解方程即可得到多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为 ， ∴ 解得． 11. 已知关于x，y的方程组的解满足，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查根据方程组的解的情况，求参数，将两个方程相加后，整体代入法得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 12. 关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定不等式组的解集，再根据整数解的个数得到关于的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，不等式组的解集为， 不等式组恰好有个整数解， 满足条件的整数解为 ， ． 13. A，B两块长方形板材的规格如图所示（为正整数），设板材A，B面积分别为，，比较，的大小，则_____．（填“ ”或“ ”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式及整式的大小比较，熟练掌握多项式乘多项式及整式的大小比较是解题的关键． 由题意及图形可得，进而运用作差法求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ∵， ， 故答案为： ． 14. 如图，在中，， ，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】过点E作交延长线于点F，证明，得到，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 15. 如图，在锐角 中，D是 的中点，，E是上的一点，且 ，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 【答案】9 【解析】 【分析】连接，由 得到 ，得出 ，，由D是 的中点推导得出 ，得出 的面积，从而求出 边上的高，根据垂线段最短得出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， D是 的中点， ，， ， ∴ ， ， ， 设 边上的高为h， ， ， ， ， 的最小值为9． 16. 已知两个形状完全相同的直角 、 ，如图放置，点B、D重合，点F在 上，与交于点G，，，现将图中的 绕点G按每秒的速度沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中， 恰有一边与平行的时间为_____秒． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情形讨论：当 时，当时，当 时，分别求出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 如图1，当 时， ∵ ， ∴，此时旋转了， ∴； 如图2，当时， ∵当与重合时，， ∴，此时旋转了， ∴； 如图3，当 时， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴旋转了， ∴； 综上所述，旋转时间为或或时， 恰有一边与平行． 三、解答题（本大题共11小题，共102分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将每项单独求出来，再进行有理数加减运算； （2）先将每项单独求出来，再进行同底数幂乘除运算 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 【点睛】本题考查幂的乘方，积的乘方，有理数加减法，同底数幂乘除，负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键． 18. （1）解二元一次方程组 （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）-1≤x＜2 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解即可． （2）根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， ①×3+②×2，得13x=65， 解得x=5， 把x=5代入①，得15-2y=11， 解得y=2， 故原方程组的解为：； （2）， 解不等式①得：x＜2， 解不等式②得：x≥-1， ∴不等式组的解集为-1≤x＜2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．也考查了用数轴表示不等式的解集． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AE∥BF，且AE=BF．求证：AC=BD． 【答案】 证明:∵AE∥BF, ∴∠A=∠B, ∵ED⊥AB，FC⊥AB， ∴∠FCB=∠EDA 在△ADE和△FCB中: ∴△ADE≌△FCB(AAS), ∴AD=BC, ∵CD=DC, ∴AC=BD. 【解析】 【分析】先证明△ADE≌△FCB,由此得出AD=BC,进而可证AC=BD. 【详解】略 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质,关键在于熟练掌握基础知识. 21. 观察下列等式： ①；②；③；④… （1）请按以上规律写出第8个等式______； （2）猜想并写出第n个等式（n为正整数）； （3）证明你猜想的正确性． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）仿照所给式子，写出即可； （2）根据所给式子的规律，用n表示即可； （3）将（2）中等式左边开展，再化简即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： 第8个等式为：； 【小问2详解】 由题意可得： 第n个等式为：； 【小问3详解】 证明： ； 故猜想正确． 【点睛】本题考查了数字型规律，解题的关键是从所给的式子中找到规律，并能用式子表示出来． 22. 如图，在 中，，点 在 上，满足 ，过点 作 交于点 ． 的周长为 ， 的周长为 ，求 的长． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据三角形全等证明 ，再根据三角形周长计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵在 ，， ， ， ∴ ， 在 和 中， ∴， ∴ ， ∵ 的周长为 ， 的周长为 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 23. 如图，在正方形网格中有 ，直线直线n，垂足为O． （1）请画出将 先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的；在平移的过程中，线段 扫过的面积为______； （2）请画出 以点O为对称中心的对称图形； （3）与成中心对称，请画出它们的对称中心M． 【答案】（1）6；作图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画图，线段 扫过的部分为四边形 ，再利用网格法求面积即可； （2）利用中心对称的性质进行画图即可； （3）连接，此时的交点即为对称中心为． 【小问1详解】 解：连接，如图， 由图可得，线段 扫过的图形为四边形 ， ∴面积为 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元，每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品，总收入为2496元． （1）请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？ （2）学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的．请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案． 【答案】（1）纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个 （2）制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设纸艺花销售了x个，手工编织挂件销售了y个，根据卖出了150件手工艺品，总收入为2496元．再建立方程组解题即可； （2）设制作纸艺花m件，则制作手工编织挂件件，根据总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的建立不等式组求解的范围，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：设纸艺花销售了x个，手工编织挂件销售了y个， 由题意得： 解得： 答：纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个． 【小问2详解】 解：设制作纸艺花m件，则制作手工编织挂件件， 由题意得： 解得： ∴ ∵m是整数 ∴，35 当时，，利润是元 当时，，利润是元 ∵ 方案：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件； 答：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大． 25. 数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：． （1）由图2可以得到：______； （2）利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，则的值为______； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 【答案】（1）； （2）①45；② 【解析】 【分析】（1）边长为的大正方形，整体面积为；将其分割为9个小长方形，各部分面积和为．由面积相等可得等式； （2）①由公式变形得，将，代入计算解；②先将等式全部化为以2为底的幂，由同底数幂乘除法则得，即，再利用（1）的公式代入求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得，图2的大正方形的边长为， ∴其面积为， 又∵该大图形面积可分为9个小长方形的面积， ∴ ； 【小问2详解】 解：①由（1）可得， ； ②∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得， ， ∴ 解得． 26. 若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； （1）下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是______（填字母序号）； A． B． C． D． （2）若关于x的不等式被“容纳”，求m的取值范围； （3）若关于x的不等式 被 “容纳”，若 且， ，求M的最大值． （4）已知 ，，，，且k为整数，关于x的不等式 ， ，若存在k，使得P和Q存在“容纳”关系，且Q被P“容纳”，请直接写出k的值． 【答案】（1）C （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）A解集为，存在不满足的解；B解集为，与无包含关系；C解集为 ，所有解都满足且有解，符合要求；D不等式组无解，不符合前提； （2）先解不等式，得，该不等式被“容纳”，说明的所有解都满足，则可得 ，进行求解即可； （3）由 被 容纳，可得 且 ，解得．通过方程组消元得 ，，代入 化简得 ．因随增大而增大，故时取最大值； （4）由解得，，结合、得 ，整数 为．解得 ，解得 ，由被容纳，即 的所有解都满足，逐一验证得和符合要求． 【小问1详解】 解：A、 解得， ∵解集中存在如 这样不满足的数， ∴不能被容纳，故该选项不符合题意； B、 解得， 解集与无容纳关系， ∴不能被容纳，故该选项不符合题意； C、 解得 ， 解集中所有都满足，且不等式有解， ∴能被容纳，故该选项符合题意； D、， 解得，此不等式组无解． ∵不等式（组）需均有解， ∴不符合要求，故该选项不符合题意； 【小问2详解】 解： 解得， ∵该不等式被容纳，即解集中所有都满足， ∴ 解得； 【小问3详解】 解：∵不等式 被 容纳， ∴ ，且 ， 解得，且， ∴的取值范围为， ∵， ∴ 解得 ， 将 代入中， 得 解得， 将 ，代入中， 得 ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大为 ； 【小问4详解】 解：∵， ∴ ，代入 中， 得 解得， ∴， ∵，， ∴且 解得 ， 又∵ 为整数， ∴ 的可能值为， 由题意得，： 解得 ， ： ∴ ， ∴当时， 解得 ， ∴所有实数对恒成立， ∴的所有解都满足，符合要求； 当 时， 解得 ， ∵的解集中存在这样不满足 的数，不符合要求； 当时， 解得， ∵的解集中存在这样不满足的数， ∴不符合要求； 当时， 解得， ∴的所有解都满足，符合要求； 综上所述，符合条件的 的值为 和 ． 27. （1）在一节数学课上，王老师给出一道题：如图1，在 中，，点 是线段上一点，连接，在延长线上取一点，使，作垂足为点．求证：． ①如图2，小明认为：在上截取，连接，只要探究线段和线段之间的数量关系即可． ②如图3，小强认为：作交 延长线于点，只要探究线段 和线段之间的数量关系即可． 请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程． （2）如图4，在中，，，平分交于点 ，作交于点 ．试探究线段、和 之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图5，在四边形中，，，平分，在 上取一点 ，使，连接．若，，，求的长．（用含，，的代数式表示） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）①使用角边角的证明方法证明与全等，即可得，即可得为等腰三角形，再由等腰三角形的性质可得，即可证明； ②使用角角边的证明方法证明与全等，即可得，再由一条直角边和一条斜边可证明与 全等，即可得，再由边的关系即可证明； （2）通过构造辅助线，使用角边角的证明方法证明与全等，即可得，再由等腰三角形的性质可得，再由边的关系即可证明； （3）通过构造辅助线证明与 全等，与全等，与全等，设出，，通过边的关系即可求解． 【详解】（1）证明：①小明的思路：在上截取，连接， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴≌， ∴， 即 为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； ②小强的思路：作交 延长线于点， 由①可知，，即， ∵，， ∴， ∵， 在与中， ， ∴≌， ∴，， 在与 中， ， ∴≌ ， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即为等腰三角形， ∵， ∴，即， ∵； （3）解：过点A作 交的延长线于点F， 在的延长线上截取，连接，如图， ∵ ，即， 且 ， ∵平分， ∴ ， 在与 中， ， ∴≌ ， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴≌， ∴ ，， 在四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴≌， ∴， 设，， ∵， 即， 即，① 又∵， 即， 即，② 由①－②得，， 整理可得， 即， 即 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形外角和性质，四边形内角和性质，解决本题的关键是通过构造辅助线，即构造垂直或线段相等来判定三角形全等，使用全等三角形的性质等量代换角度或边长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $