精品解析：湖南省永州市道县朝阳学校2022-2023学年九年级下学期数学《一元二次方程》 单元复习

道县朝阳学校2022年下期九年级数学 《一元二次方程》 单元复习 1. 下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 2. 把一元二次方程化为一般形式为______________________ 3. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是____． 4. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______． 5. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为___________． 6. 若a是方程x2－x－1＝0的一个根，则2a2－2a＋5＝________． 7. 用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 8. 判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________ ②_____________________ ③____________________ ④________________________ 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 10. 已知关于x的一元二次方程(x+1)2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是________． 11. 已知三角形的两边的长分别为2和8，第三边是方程的两根之一，则此三角形的周长是___________； 12. 当x=_______时，代数式x2+4x的值与代数式2x+3的值相等． 13. 规定：，如：，若，则＝__. 14. 已知关于x的方程的两个根是0和，则______，_______． 15. 如果一元二次方程的两个根互为相反数，那么______________ 16. 将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 17. 已知方程的两个实数根分别为m，n，则 ______________________． _____________________． ______________________． _______________________． _________________________； ________________________． 18. 解方程 ： （1）； （2） （3） （4）； （5）． （6） 19. 已知：关于x的方程．求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 20. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为______________． 21. 某水泥厂一月份总产量为吨，第一季度的总产量为吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为______． 22. 某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，设该校八年级有x个班级，依题意可列方程为：__________________________________． 23. 如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________ 24. 如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 25. 商场某种商品进价20元每件，售价70元每件，平均每天可销售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．每件商品定价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ （1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整： 小明：设每件商品降价元，由题意，可列方程为： ． 小红：设每件商品定价为a元，由题意，可列方程为： ． （2）请写出一种完整的解答过程． （3）降价多少元时可获得最大利润？最大利润为多少？ 26. 某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？ 27. 如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空： ， ． （用含t的代数式表示）； （2）如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． （4）点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 28. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 道县朝阳学校2022年下期九年级数学 《一元二次方程》 单元复习 1. 下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④##④① 【解析】 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 2. 把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【解析】 【详解】解：， ∴， ∴. 3. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是____． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方的定义最高指数是2，二次项系数不为零求解即可． 【详解】∵是关于的一元二次方程 ∴ 解得 故答案是-2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，准确理解并记住它是解题关键． 4. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义，把，代入方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：把，代入方程，得：， 解得：， ∵， ∴； 故答案为： 5. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出两根之和，从而求出结论． 【详解】解：设关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0的两个根为x1，x2，令x1=-1 ∴x1＋x2==2 ∴x2=2－（-1）=3 即另一个解为x=3 故答案为：3． 【点睛】此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握根据一元二次方程根与系数的关系求两根之和是解决此题的关键． 6. 若a是方程x2－x－1＝0的一个根，则2a2－2a＋5＝________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入方程x2-x-1=0，列出关于a的一元二次方程，通过解方程求得a2-a的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可． 【详解】根据题意，得a2-a-1=0，即a2-a=1； ∴2a2-2a+5=2（a2-a）+5=2×1+5=7，即2a2-2a+5=7． 故答案是：7． 【点睛】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 7. 用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 8. 判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________ ②_____________________ ③____________________ ④________________________ 【答案】 ①. 有两个不相等的实数根 ②. 有两个相等的实数根 ③. 有两个不相等的实数根 ④. 没有实数根 【解析】 【分析】对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，先确定每个一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再计算根的判别式的值，根据判别式与0的大小关系判断根的情况． 【详解】解：①方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ②方程中，，，， ，因此该方程有两个相等的实数根； ③方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ④方程中，，，， ，因此该方程没有实数根． 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：， ， ， 的取值范围为且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 10. 已知关于x的一元二次方程(x+1)2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是________． 【答案】m≤0 【解析】 【分析】根据直接开平方法进行求解即可． 【详解】解：∵（x+1）2+m＝0， ∴（x+1）2＝﹣m， ∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解， ∴﹣m≥0， ∴m≤0． 故答案为m≤0． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 11. 已知三角形的两边的长分别为2和8，第三边是方程的两根之一，则此三角形的周长是___________； 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、三角形的三边关系等知识点，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 先解一元二次方程得到两根，再根据三角形的三边关系判断哪个根可以作为第三边，最后计算周长即可． 【详解】解：， ， ，． 当第三边为7时，三边分别为2、8、7，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，如；任意两边之差小于第三边，如）． 当第三边为10时，三边分别为2、8、10，但，不满足两边之和大于第三边，故不成立． 综上，第三边为7，周长为． 故答案为：17． 12. 当x=_______时，代数式x2+4x的值与代数式2x+3的值相等． 【答案】1或-3 【解析】 【分析】先根据题意列出方程，解得方程的解即可． 【详解】x2＋4x＝2x＋3，整理得，x2＋2x−3＝0，解得，x1＝1，x2＝−3， ∴当x＝−3或1时，代数式x2＋4x的值与代数式2x＋3的值相等． 故答案为：1或-3． 【点睛】本题考查了简单的列一元二次方程和解一元二次方程，解题的关键是熟知． 13. 规定：，如：，若，则＝__. 【答案】1或-3 【解析】 【分析】根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可． 【详解】依题意得：（2+x）x=3， 整理，得 x2+2x=3， 所以 （x+1）2=4， 所以x+1=±2， 所以x=1或x=-3． 故答案是：1或-3． 【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 14. 已知关于x的方程的两个根是0和，则______，_______． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得答案. 【详解】解：关于x的方程的两个根是0和， ∴ ∴ 故答案为： 15. 如果一元二次方程的两个根互为相反数，那么______________ 【答案】 【解析】 【分析】利用相反数的性质得到两根之和为0，结合一元二次方程根与系数的关系列式求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根为，， ∵两根互为相反数， ∴， 该方程中，，根据根与系数的关系可得， 因此得， 解得． 当时， ，方程有两个实数根， ∴． 16. 将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【答案】 【解析】 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 17. 已知方程的两个实数根分别为m，n，则 ______________________． _____________________． ______________________． _______________________． _________________________； ________________________． 【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到与的值，再将所求代数式变形，利用整体代入法计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，． 方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系得：，． 计算：． 计算：． 计算：． 计算：，． 18. 解方程 ： （1）； （2） （3） （4）； （5）． （6） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 或， 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解： 可得或 19. 已知：关于x的方程．求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】证明：∵关于的方程为， ∴ ， ∵不论取何实数，总有，即， ∴不论取何实数，该方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】计算方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证得结论． 【详解】略． 20. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据增长率问题的列式方法进行列式，前年(1+增长率)2=今年． 【详解】解：根据题意，2007年的投入(1+增长率)2=2009年的投入， 列式． 故答案是：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握增长率问题的列式方法． 21. 某水泥厂一月份总产量为吨，第一季度的总产量为吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平均月增长率分别表示出二月和三月的产量，再根据第一季度总产量等于三个月产量之和列出方程即可． 【详解】解：∵一月份总产量为吨，平均每月的增长率为， ∴二月份的产量为吨 ，三月份产量为吨， ∴可列方程． 22. 某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，设该校八年级有x个班级，依题意可列方程为：__________________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据每两班之间赛一场，共进行了28场，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 23. 如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用长方形的面积公式，依据已知条件，找出平行于墙的一边的长度，列出方程即可，再根据长方形的长度范围即可求出取值范围． 【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，根据题意得， ， ，， ，， ． 24. 如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据草坪的总面积为长为，宽为的长方形的面积，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 25. 商场某种商品进价20元每件，售价70元每件，平均每天可销售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．每件商品定价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ （1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整： 小明：设每件商品降价元，由题意，可列方程为： ． 小红：设每件商品定价为a元，由题意，可列方程为： ． （2）请写出一种完整的解答过程． （3）降价多少元时可获得最大利润？最大利润为多少？ 【答案】（1） 小明：；小红： （2） 解：小明的方程：， 整理得，， 解得，，， ∵为了尽快减少库存， ∴每件商品降价元，则每件售价为（元）， ∴每件商品定价为45元时，商场日盈利可达到2000元； 小红的方程：， 整理得，， 解得，，， ∵为了尽快减少库存， ∴每件商品定价为45元时，商场日盈利可达到2000元； （3） 降价元时可获得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）小明：设每件商品降价元，则商场平均每天可多售出件，由利润等于每件利润乘以销售件数即可列式；小红：设每件商品定价为a元，则每件的利润为元，每件降价为元，结合数量关系即可求解； （2）根据题意，解一元二次方程即可； （3）设每件商品降价元，则商场平均每天可多售出件，设利润为，根据数量关系列式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴小明：设每件商品降价元，则商场平均每天可多售出件， 列方程为：，即； 小红：设每件商品定价为a元，则每件的利润为元，每件降价为元， 列方程为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设每件商品降价元，则商场平均每天可多售出件， ∴每件利润为（元），销售件数为件， 设利润为， ∴， ∵， ∴当时，可获得最大利润， ∴降价元时可获得最大利润，最大利润为元． 26. 某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？ 【答案】（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元 【解析】 【分析】（1）设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，即可求解； （2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于的一元二次方程，通过解方程即可求解． 【详解】解：（1）设与销售单价之间的函数关系式为：， 将点、代入一次函数表达式得：， 解得：， 故函数的表达式为：； （2）由题意得：， 整理，得． 解得，（舍去）． 所以． 答：这种消毒液每桶实际售价43元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润总利润得出一元二次方程是解题关键． 27. 如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空： ， ． （用含t的代数式表示）； （2）如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． （4）点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）；； （2）1秒后 （3）解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； （4）当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【解析】 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【小问1详解】 解：由题意，得， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 28. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当秒或2秒时，的长度等于 （2）存在，当秒时，使得五边形的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，理解题意，正确找到相应关系是解题的关键； （1）先求出，，再利用勾股定理得到，即可建立方程，解方程即可得到答案； （2）由长方形的面积是：，五边形的面积等于，得到的面积为，即可得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：从点开始沿边向终点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动 ， ， ， 由长方形得， ∴， ∵， ∴， 解得：，； 当秒或2秒时，的长度等于； 【小问2详解】 解：存在，当秒，能够使得五边形的面积等于． 理由如下： ∵长方形的面积是：，五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，． ∵当点Q运动到点C时，两点停止运动，此时， ∴， ∴， 即当秒时，使得五边形的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $