第2章 一元二次方程 单元测试 2025--2026学年湘教版九年级数学上册

湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程 单元测试 一、选择题 1.下列方程是一元二次方程的是(　　) A.x2+x﹣y＝0 B.ax2+2x﹣3＝0 C.x2+2x+5＝x(x﹣1) D.x2﹣1＝0 2.方程2(x﹣1)2的根为(　　) A.x1＝1，x2＝1 B.x11，x21 C.x11，x21 D.以上都不对 3.一元二次方程x2+5x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　) A.1，5，﹣3 B.1，﹣5，﹣3 C.1，﹣5，3 D.1，5，3 4.方程(x+1)2＝4的解是(　　) A.x1＝﹣3，x2＝3 B.x1＝﹣3，x2＝1 C.x1＝﹣1，x2＝1 D.x1＝1，x2＝3 5.某商场销售某种水果，第一次降价60%，第二次又降价10%，则这两次平均降价的百分比是(　　) A.35% B.30% C.40% D.50% 6.方程x2﹣8x﹣10＝0变形时，下列变形正确的是(　　) A.(x﹣4)2＝26 B.(x﹣4)2＝﹣6 C.(x+4)2＝26 D.(x+4)2＝﹣6 7.一元二次方程x2﹣9＝0的根为（　　） A.3 B.﹣3 C.3或﹣3 D.0 8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则x满足的方程是(　　) A.1+x2＝81 B.(1+x)2＝81 C.1+x+x2＝81 D.1+x+(1+x)2＝81 9.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 10.三个连续偶数，其中两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数是(　　) A.﹣2，0，2或6，8，10 B.﹣2，0，2或﹣8，﹣8，﹣6 C.6，8，10或﹣8，﹣8，﹣6 D.﹣2，0，2或﹣8，﹣8，﹣6或6，8，10 11.已知一元二次方程(x﹣3)2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为(　　) A.10 B.10或8 C.9 D.8 12.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为(　　) A.3 B.7 C.7或3 D.3或4 二、填空题 13.目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2021年底有5G用户20万户，计划到2023年底该市5G用户数累计达到33.8万户，设该市5G用户数年平均增长率为x，则x的值是 　  　． 14.关于x的一元二次方程3x2+bx﹣1＝0(b为常数)的根的情况为 　           　 15.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根分别为x1、x2，则x1•x2的值为 　 　． 16.两个数的和为8，积为9.75，则较小的数是　  　． 17.下面是王磊同学用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：x2+4x﹣1＝0． x2+4x＝1…第一步 x2+4x+4＝1+4．…第二步 (x+4)2＝5．…第三步 x+4＝±第四步 ，x2．…第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据 　   　；②第 　 　步开始出现错误； 任务二：请直接写出该方程正确的根为 　    　． 三、解答题 18.用合适的方法解一元二次方程： (1)x2﹣9＝0； (2)x2﹣2x﹣3＝0； (3)2x2+3x﹣1＝0； (4)(2x﹣1)2＝4x﹣2． 19.关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，求m的取值范围． 20.选择合适的方法解一元二次方程： (1)4(x﹣5)2＝16； (2)x2﹣8x+15＝0； (3)3x2+2x﹣3＝0． 21.超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个．设销售单价定为x元． (1)超市从第二天起日销售量增加 　 　个，每个“冰墩墩”盈利 　 　元(用含x的代数式表示)； (2)针对这种“冰墩墩”的销售情况，该商店要保证每天盈利273元，同时又要使顾客得到实惠，那么“冰墩墩”的销售单价应定为多少元？ 22.阅读材料：若x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，求x、y的值． 解：∵x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0， ∴(x2﹣2xy+y2)+(y2﹣8y+16)＝0， ∴(x﹣y)2+(y﹣4)2＝0， ∴(x﹣y)2＝0，(y﹣4)2＝0， ∴x＝4、y＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知m2﹣4mn+5n2+4n+4＝0，求mn的值； (2)若△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长； (3)已知x+y＝6，xy﹣z2﹣4z＝13，求x2+y2+z2的值． 湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.下列方程是一元二次方程的是(　　) A.x2+x﹣y＝0 B.ax2+2x﹣3＝0 C.x2+2x+5＝x(x﹣1) D.x2﹣1＝0 【答案】D 【解析】A、x2+x﹣y＝0是二元二次方程，不符合题意； B、当a≠0时，ax2+2x﹣3＝0是一元二次方程，不符合题意； C、方程整理得：x2+2x+5＝x2﹣x，即3x+5＝0，是一元一次方程，不符合题意； D、x2﹣1＝0是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2.方程2(x﹣1)2的根为(　　) A.x1＝1，x2＝1 B.x11，x21 C.x11，x21 D.以上都不对 【答案】A 【解析】两边同时除以2得(x﹣1)2，开方得x﹣1＝±，即x1＝1，x2＝1． 故选：A． 3.一元二次方程x2+5x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　) A.1，5，﹣3 B.1，﹣5，﹣3 C.1，﹣5，3 D.1，5，3 【答案】A 【解析】方程x2+5x﹣3＝0的二次项系数是1、一次项系数是5、常数项是﹣3. 故选：A． 4.方程(x+1)2＝4的解是(　　) A.x1＝﹣3，x2＝3 B.x1＝﹣3，x2＝1 C.x1＝﹣1，x2＝1 D.x1＝1，x2＝3 【答案】B 【解析】开方得：x+1＝±2， 解得：x1＝﹣3，x2＝1. 故选：B． 5.某商场销售某种水果，第一次降价60%，第二次又降价10%，则这两次平均降价的百分比是(　　) A.35% B.30% C.40% D.50% 【答案】C 【解析】设这两次平均降价的百分比是x， 依题意得：(1﹣x)2＝(1﹣60%)×(1﹣10%)， 解得：x1＝0.4＝40%，x2＝1.6(不合题意，舍去)， ∴这两次平均降价的百分比是40%． 故选：C． 6.方程x2﹣8x﹣10＝0变形时，下列变形正确的是(　　) A.(x﹣4)2＝26 B.(x﹣4)2＝﹣6 C.(x+4)2＝26 D.(x+4)2＝﹣6 【答案】A 【解析】∵x2﹣8x﹣10＝0， ∴x2﹣8x＝10， ∴x2﹣8x+16＝10+16，即(x﹣4)2＝26. 故选：A． 7.一元二次方程x2﹣9＝0的根为（　　） A.3 B.﹣3 C.3或﹣3 D.0 【答案】C 【解析】移项得x2＝9，∴x＝±3． 故选：C． 8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则x满足的方程是(　　) A.1+x2＝81 B.(1+x)2＝81 C.1+x+x2＝81 D.1+x+(1+x)2＝81 【答案】B 【解析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， 根据题意，得：1+x+x(1+x)＝81， 整理得：(1+x)2＝81. 故选：B． 9.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】C 【解析】设参加会议有x人，依题意得， x(x﹣1)＝66， 整理，得x2﹣x﹣132＝0， 解得x1＝12，x2＝﹣11，(舍去) 则参加这次会议的有12人． 故选：C． 10.三个连续偶数，其中两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数是(　　) A.﹣2，0，2或6，8，10 B.﹣2，0，2或﹣8，﹣8，﹣6 C.6，8，10或﹣8，﹣8，﹣6 D.﹣2，0，2或﹣8，﹣8，﹣6或6，8，10 【答案】A 【解析】设三个连续偶数为2n，2n+2，2n+4， (2n)2+(2n+2)2＝(2n+4)2， n＝﹣1或n＝3， 当n＝﹣1时对应的偶数为﹣2，0，2， 当n＝3时对应的偶数为6，8，10． 故选：A． 11.已知一元二次方程(x﹣3)2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为(　　) A.10 B.10或8 C.9 D.8 【答案】A 【解析】∵(x﹣3)2＝1， ∴x﹣3＝±1， 解得，x1＝4，x2＝2， ∵一元二次方程(x﹣3)2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长， ∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2+2，此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时， ∴△ABC的周长为：2+4+4＝10. 故选：A． 12.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为(　　) A.3 B.7 C.7或3 D.3或4 【答案】D 【解析】当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0， 解得：k＝3， 当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∵1+3＝4，4＞3， ∴k＝3符合题意； 当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(﹣4)2﹣4×1×k＝0， 解得：k＝4， 当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0， 解得：x1＝x2＝2， ∵2+2＝4，4＞3， ∴k＝4符合题意． ∴k的值为3或4． 故选：D． 二、填空题 13.目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2021年底有5G用户20万户，计划到2023年底该市5G用户数累计达到33.8万户，设该市5G用户数年平均增长率为x，则x的值是 　  　． 【答案】30% 【解析】依题意得：20(1+x)2＝33.8， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3(不合题意，舍去)， ∴该市5G用户数年平均增长率为30%． 故答案为：30%． 14.关于x的一元二次方程3x2+bx﹣1＝0(b为常数)的根的情况为 　           　 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】∵Δ＝b2﹣4×3×(﹣1)＝b2+12＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 15.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根分别为x1、x2，则x1•x2的值为 　 　． 【答案】2 【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根分别为x1、x2， ∴x1•x22． 故答案为：2． 16.两个数的和为8，积为9.75，则较小的数是　  　． 【答案】1.5 【解析】设其中的一个数为：x，则另一个数为：8﹣x，由题意得： x(8﹣x)＝9.75， 即：x2﹣8x+9.75＝0， 解得：x1＝1.5，x2＝6.5， 当x＝1.5时，8﹣1.5＝6.5，符合题意； 当x＝6.5时，8﹣6.5＝1.5，符合题意， 即：这两个数为：1.5和6.5， 又1.5＜6.5， 所以，其中较小的数为：1.5． 故答案为：1.5. 17.下面是王磊同学用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：x2+4x﹣1＝0． x2+4x＝1…第一步 x2+4x+4＝1+4．…第二步 (x+4)2＝5．…第三步 x+4＝±第四步 ，x2．…第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据 　   　；②第 　 　步开始出现错误； 任务二：请直接写出该方程正确的根为 　    　． 【答案】任务一：①等式的基本性质一；②三 任务二： 【解析】任务一：①以上解题过程中，第二步是依据等式的基本性质一； ②∵x2+4x+4＝(x+2)2， ∴第三步开始出现错误. 任务二：x2+4x＝1， x2+4x+4＝1+4， (x+2)2＝5， x+2＝±， ∴ ． 故答案为：任务一：①等式的基本性质一；②三 任务二： ． 三、解答题 18.用合适的方法解一元二次方程： (1)x2﹣9＝0； (2)x2﹣2x﹣3＝0； (3)2x2+3x﹣1＝0； (4)(2x﹣1)2＝4x﹣2． 【答案】解：(1)x2﹣9＝0， x2＝9， x1＝3，x2＝﹣3. (2)x2﹣2x﹣3＝0， (x﹣3)(x+1)＝0， x﹣3＝0或x+1＝0， x1＝3，x2＝﹣1. (3)2x2+3x﹣1＝0， ∵Δ＝32﹣4×2×(﹣1)＝9+8＝17＞0， ∴x， ∴x1，x2. (4)(2x﹣1)2＝4x﹣2， (2x﹣1)2﹣2(2x﹣1)＝0， (2x﹣1)(2x﹣1﹣2)＝0， (2x﹣1)(2x﹣3)＝0， 2x﹣1＝0或2x﹣3＝0， x1，x2． 【解析】 19.关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，求m的取值范围． 【答案】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣12m≥0，且m≠0． 解得：且m≠0． 【解析】 20.选择合适的方法解一元二次方程： (1)4(x﹣5)2＝16； (2)x2﹣8x+15＝0； (3)3x2+2x﹣3＝0． 【答案】解：(1)2(x﹣5)＝±4， 即有2(x﹣5)＝4或2(x﹣5)＝﹣4， ∴x1＝7，x2＝3. (2)(x﹣3)(x﹣5)＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝3，x2＝5. (3)∵a＝3，b＝2，c＝﹣3， ∴Δ＝22﹣4×3×(﹣3)＝40， ∴x， ∴x1，x2． 【解析】 21.超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个．设销售单价定为x元． (1)超市从第二天起日销售量增加 　 　个，每个“冰墩墩”盈利 　 　元(用含x的代数式表示)； (2)针对这种“冰墩墩”的销售情况，该商店要保证每天盈利273元，同时又要使顾客得到实惠，那么“冰墩墩”的销售单价应定为多少元？ 【答案】解：(1)∵单价每降低1元，可多售出3个，且销售单价定为x元， ∴超市从第二天起日销售量增加3(25﹣x)个，每个“冰墩墩”盈利(x﹣15)元． 故答案为：3(25﹣x) (x﹣15). (2)根据题意得：(x﹣15)×[30+3(25﹣x)]＝273， 整理得：x2﹣50x+616＝0， 解得：x1＝22，x2＝28， 又∵要使顾客得到实惠， ∴x＝22． 答：“冰墩墩”的销售单价应定为22元． 【解析】 22.阅读材料：若x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，求x、y的值． 解：∵x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0， ∴(x2﹣2xy+y2)+(y2﹣8y+16)＝0， ∴(x﹣y)2+(y﹣4)2＝0， ∴(x﹣y)2＝0，(y﹣4)2＝0， ∴x＝4、y＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知m2﹣4mn+5n2+4n+4＝0，求mn的值； (2)若△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长； (3)已知x+y＝6，xy﹣z2﹣4z＝13，求x2+y2+z2的值． 【答案】解：(1)∵m2﹣4mn+5n2+4n+4＝0， ∴m2﹣4mn+(2n)2+n2+4n+4＝0， ∴(m﹣2n)2+(n+2)2＝0， ∴m﹣2n＝0，n+2＝0， ∴m＝﹣4，n＝﹣2， mn＝﹣4×(﹣2)＝8. (2)∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0， ∴a2﹣2a+1+b2﹣8b+16＝0， ∴(a﹣1)2+(b﹣4)2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣4＝0， ∴a＝1，b＝4， 根据三角形三边关系，3＜c＜5， ∵a、b、c都是正整数， ∴c＝4， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝1+4+4＝9. (3)∵x+y＝6， ∴y＝6﹣x， ∵xy﹣z2﹣4z＝13， ∴x(6﹣x)﹣z2﹣4z﹣13＝0， 整理得：x2﹣6x+9+z2+4z+4＝0， (x﹣3)2+(z+2)2＝0， ∴x﹣3＝0，z+2＝0， ∴x＝3，z＝﹣2， ∴y＝6﹣x＝3， ∴x2+y2+z2＝32+32+(﹣2)2＝22． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$