2025-2026学年北师大版八年级下册数学期末自编练习试卷

**基本信息** 以窗花、芦笙、中秋节等文化与生活情境为载体，覆盖八年级数学核心知识，通过基础巩固、规律探究、综合实践的梯度设计，考查几何直观、运算能力、模型意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形（第1题）、分式方程解（第3题）|结合窗花图案考查图形性质，体现文化传承| |填空题|5/15|角平分线性质（第11题）、坐标与对称（第14题）|以棋盘棋子位置考对称，渗透空间观念| |解答题|8/75|分式方程与不等式应用（第21题）、旋转探究（第23题）|月饼购买问题考查模型意识，旋转综合题发展推理能力|

2025~2026学年第二学期八年级期末学科素养模拟监测 （科目：数学 时间：120分 满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 2.C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】选项A、属于整式乘法，右边是多项式的差，不是整式积的形式，故A不符合题意； 选项B、结果为，不是几个整式积的形式，故B不符合题意； 选项C、将多项式化为两个整式与的积，符合因式分解的定义，故C符合题意； 选项D中，左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，故D不符合题意． 3.C 【分析】将方程的解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】是分式方程的解， 将代入原方程，可得， 整理得， 解得． 4.D 【分析】解不等式组，再进行解集表示即可； 【详解】， 由得：， 由得：， 不等式组的解集为：，解集表示如下： 5.D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，又由的周长等于15，可得，继而求得答案； 【详解】解：∵点D在边的垂直平分线上， ∴， ∵，的周长为15， ∴， ∴． 6.B 【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由，，根据“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”可以判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； B．由，不能判定四边形是平行四边形，故B符合题意； C．由，，根据“两组对边分别平行的四边形为平行四边形”可以判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； D．由，，根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”可以判定四边形是平行四边形，故D不符合题意． 7.D 【分析】利用坐标平移规则：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，列等式求解即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点， ∴横坐标：，解得， 纵坐标：，解得， ∴点的坐标为． 8.C 【分析】根据垂直得出直角，根据余角定理得出，证明得出相等的边，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9.A 【分析】先根据B型单价表示出A型芦笙的单价，再根据“数量=总价÷单价”表示出两种芦笙的购买数量，最后根据数量相等列出方程． 【详解】解：由题意可知：A型芦笙单价为元，则可列方程为． 10.B 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分的性质得到是的中点，结合垂直，得出是的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等得，再根据和，计算出、和的长度，然后在中，利用勾股定理的逆定理判定其为直角三角形，得到，进而推出邻补角，最后在等腰直角三角形中，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴， 在中，， ∴． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 114 【分析】过点D作于点E，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到两边的距离相等”，即可进行解答． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴，即点到的距离为4． 12. 【详解】解：由图可知，当时，直线在直线的上方， 故关于x的不等式的解集是． 13.且 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程的解为正数且分式有意义，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘，得 整理得 ∵方程的解是正数， ∴，即， 解得， ∵分式有意义时分母不为零， ∴，即，解得， ∴的取值范围是且． 14. 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解决问题的关键． 根据题意建立平面直角坐标系，根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可． 【详解】解：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系如图，当接下来的棋子■下在位置时，图上的所有棋子构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故答案为：． 15.3 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分. 16.，所有整数解：，0，1 【分析】先分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后结合整数的概念进行作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 这个不等式组的所有整数解：，0，1． 17.化简为；值为； 【详解】解：原式 ， ，且且且，x为整数． ∴只取， 当时， 原式． 18.证明：∵于，于， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【分析】证明即可求证． 【详解】略 19.【计算】（1）（2）（3）（4）【归纳】；【应用】（1）（2） 【分析】【计算】（1）（2）（3）（4）利用拆项的方法计算即可； 【归纳】由上述解答可总结，前面计算中的每个分数可以拆分为形如这个结果的两个分数的差； 【应用】（1）利用总结的规律将每个式子进行拆分，然后进行加减运算即可； （2）利用总结的规律将每个式子进行拆分，合并后得到，解这个分式方程即可，最后要检验得出的解是否为分式方程的增根． 【详解】解：【计算】（1）； （2）原式； （3）原式； （4）原式； 【归纳】原式； 这个结果与上面的计算是有联系的，上面计算中的每个分数可以拆分为形如这个结果的两个分数的差； 【应用】（1）原式．．． ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴． 20.(1) (2) 【分析】（1）根据题意作的角平分线，即可求解； （2）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义可得，根据等角对等边可得，进而解，求得，再根据三线合一可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， ∵是的角平分线， ∴ 又∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ 21.(1)A型月饼的单价为45元，B型月饼的单价为30元 (2)购买A型月饼67盒，B型月饼33盒时费用最少，最少费用是4005元 【分析】（1）设B型月饼的单价为x元，则A型月饼的单价为元，根据题意列分式方程解答即可； （2）设该商店准备购买A型月饼m盒，则购买B型月饼盒，设购买费用为y元，根据题意列不等式，求出m的取值范围，再表示出y的表达式，根据增减性求解即可． 【详解】（1）解：设B型月饼的单价为x元，则A型月饼的单价为元． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合实际意义． ∴． 答：A型月饼的单价为45元，B型月饼的单价为30元． （2）解：设该商店准备购买A型月饼m盒，则购买B型月饼盒，设购买费用为y元． ∵A型月饼的数量不少于B型月饼数量的2倍， ∴， 解得． 由题意，得． ∵， ∴y随着m的增大而增大． ∵，且m为整数， ∴当时，y有最小值，最小值为． 此时． 答：该商店购买A型月饼67盒，B型月饼33盒时费用最少，最少费用是4005元． 22.任务一：对，理由见解析；任务二：等腰三角形的面积；任务三：长度的最大值为米． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、一次函数的实际运用、不等式的实际运用. 任务一，证明，根据全等三角形的性质即可解题； 任务二，利用三角形面积公式，即可建立等腰三角形的面积关于x的函数表达式； 任务三，利用总费用为三角形所需费用加上矩形所需费用，根据总费用不超过180元，建立不等式求解，即可解题． 【详解】任务一：解：他的说法对，理由如下： 四边形是长方形， ， ， 在与中， ， ． 最高点B到地面的距离就是线段长． 任务二：解：该打卡板是轴对称图形，四边形是长方形，且点A到的距离为米，米， ， 等腰三角形的面积为（平方米）； 任务三：解：米，米． 长方形的面积为（平方米）， 甲材料的单价为80元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米． 又甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形， ， 解得， 长度的最大值为米． 23.（1），，；（2）；（3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识． （1）证明，可以得到，，根据，即可得到； （2）由（1），，根据等边三角形性质求出，，进而求出，根据勾股定理即可求出； （3））连接， 证明得到，，进而得到，根据勾股定理得到，即可得到． 【详解】解：（1）如图1， 与均为等边三角形 ，， 又， ， 在与中， ， ， ，， 又∵， ∴． 故答案为：，，； （2）由（1）可知，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理可得； （3）．理由如下： 如图③，连接， ，，； ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期八年级期末学科素养模拟监测 （科目：数学 时间：120分 满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.窗花是中国民间传统剪纸艺术，以对称构图、吉祥寓意为核心，融生活情趣与美好祈愿于一纸一刀，是春节里最具烟火气的文化符号．下列四种窗花图案，属于中心对称图形的是（     ） A．B． C． D． 2.下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3.若是分式方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 4.不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（     ） A． B． C． D． 5.如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（     ） A．5 B．6 C．3 D．7 6.如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（     ） A．， B．， C．， D．， 7.在平面直角坐标系中，将点A先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得点，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 8.如图，，于点E，于点D．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 9.芦笙是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为元，根据题意列出正确的方程是（     ） A． B． C． D． 10.如图，平行四边形中，对角线，相交于，过点作交于点，若．，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.如图，在中，，平分，，，则点到的距离为______． 12.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是___________． 13.已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是__________． 14.如图是两位同学正在下棋的部分对弈图，若A棋子的位置用表示，B棋子的位置用表示，那么接下来的棋子■下在位置________处时，图上的所有棋子构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 15.如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分. 16.解不等式组：，并写出它的所有整数解． 17.先化简，再求值：，其中 是满足的整数． 18.如图，已知中，，于，于，相交于点．求证：． 19.探索并解决问题． 【计算】 请你计算下列算式，观察并归纳其中的规律： （1） ； （2） ； （3） （4） 【归纳】 - ． 这个结果与上面的计算有什么联系吗？ 【应用】 （1）计算： ⋯； （2）解分式方程： 20.如图，已知在 中， (1)实践与操作：用尺规作图法过点 作的平分线，交边于点 ．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，，求 的长． 21.中秋节是我国的传统佳节，人们赏月吃月饼，寄托着思乡、思念亲人的情感．中秋节来临前夕，某商店准备从某品牌月饼厂家购买A，B两种类型的月饼用于销售．已知每盒A型月饼比每盒B型月饼贵15元，且用540元购买A型月饼的数量和用360元购买B型月饼的数量相等． (1)求A，B两种类型月饼的单价． (2)该商店计划购买A，B两种类型的月饼共100盒，且A型月饼的数量不少于B型月饼数量的2倍，请计算该商店购买两种类型月饼各多少盒时费用最少，最少费用是多少元？ 22.根据以下素材，探索完成任务． 如何确定拍照打卡板 素材一 设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰三角形组成，且点B，F，G，C在同一直线上．其中，点A到BC的距离为米，米，米． 素材二 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为80元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米． 解决问题 任务一 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与长相等，过点B作于H，那么最高点B到地面的距离就会等于线段长”．他的说法对吗？请判断并说明理由． 任务二 探究等腰三角形ABC面积 假设长度为x米，求等腰三角形的面积（结果用含x的代数式表示）． 任务三 确定拍照打卡板 小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用恰好等于180元，请你帮他确定长度． 23.综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】 王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，与的数量关系是 ；与的数量关系是 ；的度数是 度． （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】 （3）如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $