江苏苏州市某校2025-2026学年高二下学期期末模拟4数学试题

江苏苏州市某校2025-2026学年高二下学期期末模拟4数学试题 一、单选题 1. 已知事件相互独立，，，则（ ） A. 0.88 B. 0.9 C. 0.7 D. 0.72 2. 已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 在正三棱柱中, ,则与平面所成的角的正弦值为 A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 60． 7. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知 ，则 （ ） A. 8 B. 10 C. D. 二、多选题 9. 正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（ ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A. 已知，则 B. C. 按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D. 已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 10. 在棱长为的正四面体中，过点且与平行的平面分别与棱交于点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当分别为线段中点时，与所成角的余弦值为 C. 线段的最小值为 D. 空间四边形的周长的最小值为 11. 设是直线与曲线的两个交点的横坐标，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为_________． 13. 两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则______． 14. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知函数的图象与轴交于点，且在处的切线方程为，记．（参考数据：）． （1）求的解析式； （2）求的单调区间和最大值． 16. 某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，． （1）求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数； （2）已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率． 附：回归直线方程，其中． 17. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且. （1）求证平面； （2）若点为线段上的动点.当直线与平面所成角的正弦值最大时，求平面与平面所成角的大小. 18. 现有A，B两个不透明的盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为． （1）求，的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值． 19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：． （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中． ①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； ②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 江苏苏州市某校2025-2026学年高二下学期期末模拟4数学试题 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】0.86## 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）； （2）单调增区间为，单调减区间为和，最大值为． 【16题答案】 【答案】（1），14.99千人 （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明如下： 如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面， 因为平面，所以，又因为是底面圆的内接正三角形， 由，AC为直径，则，可得，而，解得， 又， 所以，即， 又因为，所以与相似，所以，即， 又平面，直线平面平面， 所以直线平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1）， （2） （3）由（2）得 第次操作后盒中恰有2个红球的概率，与第次的状态对应关系如下： ，①. ，②. ①②，得. 由（1）得，，，则； . 的可能取值是0，1，2. ； ； . 的分布列为 Xn 0 1 2 P . 的数学期望为定值1． 【19题答案】 【答案】（1）在曲线取一点． 过点作的切线分别交于， 因为， 可得， 即． （2）① 由函数，可得， 不妨设，曲线在处的切线方程为 ，即， 同理曲线在处的切线方程为， 假设与重合，则， 代入化简可得， 两式消去，可得，整理得， 由（1）的结论知， 与上式矛盾即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合； ② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $