精品解析：云南文山州马关县第一中学校2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试卷

马关县第一中学2026年春季学期高二年级第二次月考试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得， 解，得，则， 故， 故. 2. 复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】设，则， 因为，所以， 整理得， 所以，解得，即， 所以在复平面内，复数对应的点为，位于第二象限. 3. 如图，在正方形中，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，，所以，， 所以. 4. 函数在区间内的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】可化为， 当时，，所以， 所以函数在区间内的取值不可能为. 5. 不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为、、，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可． 【详解】设李明选择的项目是电子游戏为事件，李明选择的项目是看小说为事件，李明选择的项目是追网剧为事件，李明在下一次考试中成绩下降为事件， ． 6. 已知函数与的图象在 处的切线重合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，两函数在处的切线斜率相等，即导数相等，结合均过公共点求解 【详解】由题意知，，且， 因为，， 所以，，解得， 当时，代入，得， 又，所以， 所以. 7. 已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求双曲线的渐近线，再应用点到直线距离及几何法求弦长即可. 【详解】双曲线:的渐近线方程为， 圆，圆心，半径， 因为双曲线、圆的对称性，故取其中一条渐近线， 圆心到的距离， 故所求的弦长为. 8. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，，， 令，得， 又可得， 所以 ， 当时也符合上式，所以，则， 所以. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各叙述正确的为（ ） A. 数据，，，，的第40百分位数为4 B. 甲乙等5个人站成一排拍照，则甲乙不相邻的站法数为72种 C. 若随机变量，则， D. 已知函数和的定义域相同，则“函数与均为增函数”是“函数为增函数”的充要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据百分位数的定义、插空法、二项分布的数学期望和方差的运算公式，结合数学期望和方差的性质、增函数的性质、充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为，则数据的第40百分位数为，故A正确； B：先将除甲乙外的三人全排，有种方法，再将甲乙在三人形成的四个空中插空有种方法， 所以甲乙不相邻的站法数为种方式，故B正确； C：因为，所以，， 所以，，故C正确； D：因为函数和的定义域相同，且函数与均为增函数，则函数为增函数，充分性成立； 若取，，显然是增函数，但是减函数，即必要性不成立，故D错误. 10. 已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（ ） A. 的坐标为 B. C. 的最小值为3 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】A根据抛物线的性质求焦点坐标可判断，B设直线，联立方程组结合根与系数的关系求可判断，C结合抛物线焦点弦公式求弦长的表达式，再求其最小值可判断，D根据抛物线定义利用表示，进一步计算可判断. 【详解】A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为，则， 故的坐标为，故A错误； B，设直线，联立，得， 方程的判别式，，， ，， 故，故B正确； C，因为， 所以时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； D，由，得，故D正确. 11. 若数列满足：存在正整数 ，使得时，恒有（为常数），则称数列为“阶等和数列”，其中为该数列的“阶和”．已知无穷数列是“阶等和数列”，，，，且“阶和”，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 任给正整数 ，都有 C. 存在无穷多个正整数，使得 D. 当，且的前 项和为时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，根据题设定义得，，即可求解；对B，根据条件直接得数列的前项，再由数列的周期性，即可求解；对C，利用数列的前项可得，即可求解；对D，根据条件可得的前3项，再利用数列的周期性，即可求解. 【详解】对于A，由题意知，，两式相减，得，故A正确， 对于B，数列的前6项依次为，均不为 ，又，故B正确， 对于C，由B中分析可得，即均有，故C正确， 对于D，因为，且的前3项依次为， 记的前项和为，则由周期性可得，， 当的前 项和为时，，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答） 【答案】10 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可． 【详解】由的展开式的通项公式为，， 令，得， 所以展开式中的系数为． 故答案为：10． 13. 已知随机变量,且，若,则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为， 又，，即． 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，为正三角形，， ，平面平面，则三棱锥外接球的体积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意证明三棱锥外接球的球心即是正三角形的中心，计算得解. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为为正三角形，所以，又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，则， 设为正三角形的中心，则， 因为，所以，又， 所以， 所以，则，即为三棱锥外接球的球心， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积为. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知内角，， 的对边分别为 ， ，，若，且． （1）求角 及边的值； （2）求的最大值． 【答案】（1）， （2）8 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可； （2）利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理得． 因为，解得． 由，结合正弦定理得， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 两边都加上，可得， 即，当且仅当时等号成立， 所以时，取得最大值为8． 16. 某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同． （1）求该考生恰好选到2所985高校的概率； （2）若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先求出从10所高校中任取4所的总数，再求出恰有2所985高校的取法，再用古典概型的概率公式计算即可； （2）先分析出该考生选到985高校的个数取值为0，1，2，3，再利用超几何分布计算出取不同值时的概率，进而列出分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 从10所高校中，任取4所，共有种取法， 恰有2所985高校的取法为：， 该考生恰好选到2所985高校的概率为； 【小问2详解】 设为该考生选到985高校的个数，则的取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 则 0 1 2 3 . 17. 如图，已知平面，底面为矩形，，， 分别为,的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）如图所示，取的中点，连接，， 又为、的中点，底面为矩形， 所以且， 又且， 所以且，则为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用几何关系可得，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再面面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，底面为矩形由题意，可构建如3图示的空间直角坐标系， 根据题意可得： ，，，， ，，． 设是平面的一个法向量， 则，取，则，所以， 又是平面的一个法向量， 所以， 故平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）若在上单调递增，求实数 的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 【答案】（1）极小值0，无极大值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【小问1详解】 ，求导得，， 因为时，，所以在上单调递增． 因为时，，所以在上单调递减． 又，故在处取极小值0，无极大值． 【小问2详解】 函数， 求导得， 由在单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立， 因此，． 设，，， 则在上单调递增，于是， 即， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 若对任意的，总存在，使得， 则当时，． 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得． 由，得，函数在上单调递减， 则． 因此，解得， 所以 的取值范围为． 19. 已知椭圆C： （）的离心率为，且点在 上， 为坐标原点． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若点 的坐标为，证明：； （ⅱ）若，当时，求弦长的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）如图，当直线 与 轴重合时，显然成立； 当直线 与 轴不重合时，设直线 为，，， 联立那么可得， 根据韦达定理可得，， 那么根的判别式． ， 由于， 因此， 因此， 的倾斜角互补，因此． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）分直线是否与 轴重合，设，与椭圆方程联立，根据韦达定理求证即可； （ii）化简求出其范围，再利用韦达定理化简得出即可求出的范围，利用弦长公式化简，令即可. 【小问1详解】 根据已知条件可得，解得， 所以椭圆C为 ． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由，那么． 那么可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以． 又由于， 因此，， ． 令，那么， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2026年春季学期高二年级第二次月考试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，在正方形中，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. -2 D. 2 4. 函数在区间内的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 5. 不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为、、，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数与的图象在 处的切线重合，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各叙述正确的为（ ） A. 数据， ，，，的第40百分位数为4 B. 甲乙等5个人站成一排拍照，则甲乙不相邻的站法数为72种 C. 若随机变量，则， D. 已知函数和的定义域相同，则“函数与均为增函数”是“函数为增函数”的充要条件 10. 已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（ ） A. 的坐标为 B. C. 的最小值为3 D. 11. 若数列满足：存在正整数 ，使得时，恒有（为常数），则称数列为“阶等和数列”，其中为该数列的“阶和”．已知无穷数列是“ 阶等和数列”，，，，且“阶和”，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 任给正整数 ，都有 C. 存在无穷多个正整数，使得 D. 当，且的前 项和为时， 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答） 13. 已知随机变量,且，若,则的最小值为_________． 14. 在三棱锥中，为正三角形，， ，平面平面，则三棱锥外接球的体积为_____． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知内角，， 的对边分别为 ， ，，若，且． （1）求角 及边的值； （2）求的最大值． 16. 某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同． （1）求该考生恰好选到2所985高校的概率； （2）若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望． 17. 如图，已知平面，底面为矩形，，， 分别为,的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）若在上单调递增，求实数 的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 19. 已知椭圆C： （）的离心率为，且点在 上， 为坐标原点． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若点 的坐标为，证明：； （ⅱ）若，当时，求弦长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $