高2025级2026年春期期末模拟考试数学试题

'高2025级2026年春期期末模拟考试 数学试题 一、选择题：本大题共8小，，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请 把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.已知集合A={x2-x>0,x∈R},集合B={-1,0,1,2,则A∩B= A.{2 B.{-1,2 c.{-1, D.{-1,1,2 2.命题“x>1,x-2x+1≥0”的否定是 A.x>1,x2-2x+1<0 B.x≤1，x2-2x+1≤0 C.3x≤1，x2-2x+1<0 D.3x>1,x2-2x+1<0 3.在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近D的三等分点，则BE= A}+号cB}cc.函+cD.+c 4.记a=10g023,b=0.32,c=32,则 A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 5.已知a,B表示两个不同的平面，m,n,l表示三条不同的直线，则下列结论正确的是 A.若m/1a,nca,则m/1n B.若mca,nca,l⊥m,l⊥n,则l⊥a C.若mca,nca,m11B,n/1B,则a/1B D.若m⊥a,m//n,则n⊥a 6,已知锐角a的终边与单位圆相交于点Pm引，则m如+引} 1 24 A.- 25 B. 25 c.31v2 D.-17N2 50 50 7.在陕西汉中某明清古民居的修缮中，发现了一个用于梁架承重的木制方斗，其形状可被视为正四棱台. 经实测，该方斗的上口边长为16cm,下口边长为12cm,侧棱长为4√5cm,若忽略该方斗的厚度，则这个 方斗的容积为 A.1184v2cm3 B.11843cm3 C.1776cm3 D.1184cm3 8.已知函数f(x)= 1og(4-x),x<1 3-,x21 ，g(x)=-x2+2mx-10,若对任意xeR,存在x2∈R,使得 ∫(x)+g(x)=0成立，则实数m的取值范围是 A.[-3,3] B.（-∞，-3U[3,+∞）C.[-3,+o)D.（-o,3] 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 2 9.已知复数：二，则下列结论正确的有、 A.z的虚部是i B.z的共冤复数是1-i C.z在复平面内对应的点在第工象限 D.l2=2 10.将函数)=mx+》的图象上所有点的横坐标缩短为原来的；，纵坐标保持不变，再将所得图象向 右平移刀个单位长度，得到函数gx)的图象，则下列结论中正确的是、) 6 A.g(x)的最小正周期为4π B.8在0，写 上只有一个零点 C.8()在[0上单调递增 是g(x)图象的一个对称中心 11.如图，正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，点P在线段B,C上运动，则、) A.三棱锥P-ABD的体积为定值 D B.AD,与平面PAD所成角的正弦值随着点P从B,移动到C越来越大 B C.C,P+AP的最小值为√6+√2 D.当点P为B,C的中点时，过点P作正方体外接球的截面，所得截面面积的最 小值为2π 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12.已知f倒是定义在R上且周期为的得函数，当x0时，=x,则付得的值为 13.海面上有一座小岛C,一艘小船在观测点A测得小岛C在北偏西30°方向.小船从A出发，沿北偏东15° 方向匀速航行√6海里到达B处，此时发现小岛C正好在小船正西方向，则此时小船与小岛距离 海里。 I4,如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC(包括端点)上一点，则，B的取值范围为 D 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15、（本题13分) 己知向量a=(（1,2),6=(k,1). (I)若a+6与a-b垂直，求k的值： 2)若向量c=(2,3),若a+b与26-c共线，求a-7i. 16.(本题15分) 设向量a=(V3sinx,sinx,=(cosx,sinx),且函数f(x)=a·6 (1)求函数∫(x)的最小正周期及对称轴方程： (②若函数8()-f()-m在[0上有两个零点，求实数m的范围。 17.(本题15分) 如图所示，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点（异于A,B),PA=AB=2,AC=√2，P为圆O所在 平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面， (I)求证：平面PAC⊥平面PBC: (2)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值. B 18.(本题17分) 已知a,b,c分别为VABC三个内角A,B,C的对边，满足asinB=√5 bcosA, (1)求A. (2)若a=2,且VABC的面积为万，求VABC的周长： (3)若VABC是锐角三角形，且a=2,求VABC面积S的取值范围. 19.(本题17分) 已知函数f(x)=2+a·2. (1)若f(x)为偶函数，求实数a的值： (2)当a=-4时， (i)证明：函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称： (i)若关于x的方程f(x2+mx)+f(3-2x)=0在区间(-1,2)上有两个不相等的实数根，求实数m的取值 范围。·高2025级2026年春期期末模拟考试 数学试题参考答案及评分建议 一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 B D B C D D A B 二选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 题号 9 10 11 答案 BD BD ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 13.2 4] 8.【详解】对于∫(x)= lo,4-xx<1.当x<1时，4-x>3,则log,4->l: 3-,x≥1 当x21时，3-≥1，故函数∫(x)的值域为[1，∞)： 设h(x)=-g(x)=x2-2mx+10=(x-m)2+10-m2,则h(x)的值域为[10-m2,+o). 因对任意xeR,存在.xeR,使得f(x)+g(x)=0成立，即f(x)=h(x2)成立， 故函数∫()的值域是函数h(x)值域的子集， 故只需[山，+oo)s10-m2,+o),即10-m2s1,解得m∈(-o,-3]U[3,+∞). 11.【详解】对于A,在正方体ABCD-ABCD中，△ABD的面积为定值，而 BCI/AD, A,DC平面ABD,B,C￠平面ABD,则B,C/I平面ABD,即点P到平面ABD的距离为定值，因此三楼 锥P-ABD的体积为定值，A正确： 对于B,由CD⊥平面ADD4,AD,C平面ADDA,得CD⊥AD,而AD⊥AD, ADOCD=D,AD,CDc平面PAD,则AD,⊥平面PAD,即AD,与平面PAD所成角为仁，B错误： 对于C,将正△AB,C与等腰RtaB,CC置于同一平面，.连按AC∩B,C=E, 显然1G墨直平分C,MP+CP≤G=8+BC=259反6万 D C正确： 对于D,正方体的外接球的半径R=√万，当点P为B,C中点时，以点P为截面 圆心的截面面积最小， 又正方体的中心（即外接球球心）到点P的距离为1，因此裁面圆半径最小为√一1=√2， 所以截面面积的最小值为2元，D正确.故选：ACD 14.【详解】以A为原点建立如图所示坐标系， 则A(0,0,B,0),设P(x,y),则AP=(x,y),A丽=(1,0)，则亚A正=x, 由题意知，圆0的半径为， 2 因为点P在弧BC(包括端点)上，所以1≤x≤二+ 2 2 所以亚，B的取值范围， 是 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骠， 15.(1)a+6=(1+k,2+1),a-b=(1-k,2-), 由垂直关系：(a+(a-)=0→(1+k)1-k)+(2+(2-1)=0,解得：4-k2=0一k=2. (2)a+b=(1+k,2+1),26-c=(2k-2,2-3), 若ā+5与26-共线，则0+k-1)=3k-2)户1-k=6k-6-k=号， ā-76=(1-5,2-7)=(-4，-，所以a-7=V(-4)2+(-5)}2=4、 16.【详解】【详解】(1)因为f(x)=a-6=V5+sinx=5 sin2x+1-cos2 2 所以)-如(2x君)号所以最小正周期T-受- 令2x-+kez, 所以x=+低，keZ 32 2)因为函数8=-m在0引上有两个等点，所以个=m在0引上有两个根， 所以y=f(x)的图象与y=m的图象有两个交点，如下图所示： 3 y=/(x) 因为引所以2x-[号引 2 y=m 所以代(=如经+经子此时=子， 6 2 若y=冈的图象与)y=m的图象有两个交点，则m》 17.【详解】(I):PA⊥平面ABC,BCc平面ABC,.PA⊥BC, :AB是圆O的直径，C为圆上一点，.BC⊥AC. 又，PA∩AC=A,且PA,ACc平面PAC,BC⊥平面PAC. :BCc平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC. (2)如图所示，过点A作AD⊥PC于点D, :BC⊥平面PAC,ADC平面PAC,.BC⊥AD, 又PC∩nBC=C,PC,BCC平面PBC,∴.AD⊥平面PBC. D .∠ACD即为直线AC与平面PBC所成角. :PA=B=2,AC=V2,可得PC=V6.÷in∠ACD=PA=6 即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为 3 18.【详解】(1)由√3 bcos 4=asinB和正弦定理，可得5 sin Bcos A=sin Asin B, 其中B∈(O,),故sinB≠0.∴V5cosA=sinA,即tanA=√5， 因为A∈(0，，所以A= 3 2》因为9如n4-9e=5,所以c=4 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A=(b+c)2-3bc即4=(b+c)2-12,所以b+c=4, 所以△ABC的周长为a+b+c=2+4=6. (3)因为△M8C是锐角三角形，A=号 0<B<T 所以{ 2 ,解得工<B< 0< 6 2 2 a 2 4v3 b c 由正弦定理，A方yn日nC,则6=45inB.c=4W5。 2sin C, 3 3 2 所以8cA=车454如B血C=4百血Bs动 X 433 3 -32 由8引得2B-(任）所以sm2B-引， 所以m8-引+9：g 即△ABC面积S的取值范围为 19、【详解】【详解】(1)(x)为偶函数，·∫(x)=∫(-x),2”+a2'=2+a…2', 即(a-1(2-2)=0对任意的实数x恒成立，.a=1, (2)(i)a=4时，∫(x)=2-42,定义域为R, 而∫(x)+f(2-x)=2-4z+2--4220=2-2-+2-2=(, ∴∫(x)的图象关于点(1,0)对称. ()因为y=2是增函数，y=-42=-4 1-2 也是增函数， 所以函数∫(x)=2-42是单调增函数. 由(i)知，函数∫(x)的图象关于点(L,0)对称，所以由f(x2+mx)+f3-2)=0得： x2+mx+3-2x=2即x2+(m-2)x+1=0, 所以x2+(m-2)x+1=0在区间(-1,2)上有两个不相等的实数根， (m-22-4>0 1-m2<2 2 解得 2<m<0. (-1)2+(m-2)×(-)+1>0 22+(m-2)×2+1>0 所以实数m的取值范围是