重庆市2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学试卷（三）

**基本信息** 立足高一必修内容，通过基础概念与创新情境的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|幂函数、集合、分层抽样等|基础概念辨析，如第3题分层抽样结合实际生产情境| |多选|3/18|不等式、向量、函数性质|多维度能力考查，如第11题函数奇偶性与单调性综合| |填空|3/15|复数、解三角形、函数奇偶性|核心知识应用，如第13题解三角形体现数学建模| |解答|5/77|统计图表、立体几何、幂函数综合、向量新定义|综合素养落地，如15题统计图表分析数据意识，19题新定义变换考查创新思维与逻辑推理|

2025-2026学年重庆市高一期末模拟考试卷（三） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集的运算求解即可． 【详解】由，， 所以． 3．某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为.现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有8件，则样本容量（    ） A．80 B．40 C．60 D．100 【答案】B 【分析】按分层抽样比例，列出，求解即可. 【详解】某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为.现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有8件，则有，解得. 故选：B. 4．已知函数的周期为2，且在上单调递减，则可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明函数的单调性不满足要求，排除AC；结合函数定义域，排除B；求函数的周期，结合余弦函数的单调性判断D； 【详解】对于选项A：因为，， 所以函数在上不单调递减，不符合题意，故A错误； 对于选项B：函数的定义域为，， 所以函数在上不单调，不符合题意，故B错误； 对于选项C：因为，， 所以函数在上不单调递减，不符合题意，故C错误； 对于选项D：因为的最小正周期为， 又因为，则，且在内单调递减 所以函数在上单调递减，符合题意，故D正确. 5．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用是上的偶函数可知，，再根据在区间上单调递增即可判断大小. 【详解】利用是上的偶函数可知，， 由于，又在区间上单调递增， 则, 故. 6．下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 【答案】D 【分析】先判断各命题的量词类型筛选出全称量词命题，再验证命题真假即可得解 【详解】选项A：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且对任意实数，均有，故，该命题为假命题，排除； 选项B：含全称量词“所有的”，为全称量词命题；但素数2是偶数，不是奇数，存在反例，故该命题为假命题，排除； 选项C：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，不可能与两条相交直线同时平行，该命题为假命题，排除； 选项D：含全称量词“每个”，为全称量词命题；任意四边形均可分割为个不重叠的三角形，结合三角形内角和为，可得四边形内角和为，该命题为真命题，符合要求 7．已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先由球的表面积求出半径，结合球心在上可知为直径、为直角三角形，分别求出的最大面积和点到平面的最大距离，代入三棱锥体积公式即可得最大值. 【详解】设球的半径为， 则有，解得， 又因为球心在棱上， 所以为直径且， 所以为直角三角形，且, 要使棱锥的体积最大， 则的面积最大，且点到平面的距离也要最大， 当平面时，最大，此时, 又, 当且仅当时，等号成立； 设三棱锥的体积为， 所以， 所以. 8．不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：由，得， 所以，即， 即，所以， 所以不等式的解集是. 方法二： ，得或， 解得或， 所以不等式的解集是. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 【答案】ABD 【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确； 当时，，当，即时，等号成立，故B正确； 当时，， 当，即时，等号成立，故C错误； 当时，， 当，即时，等号成立，故D正确. 10．已知向量，，则下列结论中正确的是（     ） A． B．与可以作为所在平面的一组基底 C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，因为，则，故A错误； 对于B，若两个向量可作为基底，则这两个向量不共线.因为，， 对于与，因为，所以与不共线，则与可以作为所在平面的一组基底，故B正确； 对于C，根据向量夹角余弦值的计算公式，所以，故C错误； 对于D，因为，， 根据两向量垂直，则它们的数量积为0.因为， 所以，故D正确. 11．已知函数，以下结论正确的有（   ） A．为奇函数 B．对任意的，，都有 C．的值域是 D．对任意的都有 【答案】ABC 【分析】对于A，根据奇偶性的定义进行判断即可；对于B，先判断时函数的单调性，再根据奇偶性判断 时的单调性即可；对于C，根据函数的单调性及奇偶性求值域即可判断；对于D，举出反例进行判断即可. 【详解】对于A，，所以函数为奇函数，故A正确； 对于B，当时，， 由反比例函数性质可知，函数在上为增函数，且， 又为上的奇函数，函数在上为增函数，在上单调递增， 对任意的，，都有，故B正确； 对于C，当时，， 函数在上为增函数，在上的值域为； 当 时，， 函数在上为增函数，在上的值域为， 综上所述，的值域是，故C正确； 对于D，令，则，， ，即，故D不正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若为实数，且复数为纯虚数，则的值为______． 【答案】2 【分析】由纯虚数的概念知，实部为0，虚部不为0，取交集即可得的值. 【详解】由纯虚数的概念知，可得 故答案为：2 13．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角B的大小为________． 【答案】 或 【分析】利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合两角和的正弦公式化简求出，再根据三角形内角范围确定角的取值。 【详解】由正弦定理，对进行边角互化， 可得 ， 因为，所以， 所以 ， 得，即，即， 所以或. 14．函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性的定义和对数的运算性质，结合恒成立思想，可得的值，由不等式有解，结合函数的奇偶性和单调性和双钩函数的性质得值域，求出的范围. 【详解】若函数是定义在实数集上的奇函数， 可得， 即， 即， 由，可得； 所以， 任取，设则 ， ， ， 则 所以则函数为上的增函数， 又因为函数为上的奇函数，所以函数为上的增函数， 所以不等式有解， 转化为， 即有解， 所以有解，即， 令，因，则，即， 则 ，当且仅当时取等号， 由双钩函数的单调性知：，函数单调递减， ，函数单调递增， 当时，，当时， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查了城区若干名同学和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图： (1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图①. (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②. (3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？ 【答案】(1)400 (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据条形图和扇形统计图中的信息，计算相关比例，进行计算即可. 【详解】（1）由条形图可知，无所谓的家长有80人，根据扇形统计图可知，无所谓的家长占，家长总人数为人；反对的人数为人. 如图所示： （2）表示“赞成”所占圆心角的度数为：； （3）由样本知，持“无所谓”态度的学生人数有30人，所以抽到的概率为：. 16．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线证得平面. （2）通过证明平面平面，证得平面. 【详解】（1）如图： 连接，交于，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）连接，由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于平面,平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 17．已知在中，内角，，对应的边分别是，，，，． (1)求的大小； (2)已知的周长为，求边上的中线的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据三角函数值求角； （2）利用正弦定理和三角形的周长求出外接圆半径和，再利用余弦定理求解. 【详解】（1），由正弦定理可得， ，，，， ，解得； （2）由（1）可得， 设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，， 则周长，解得，则，， 由余弦定理可得边上的中线的长度为：. 18．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 【答案】(1) (2) (3)当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为 【分析】（1）根据幂函数的定义可求解析式； （2）根据对称轴的位置可求参数的取值范围； （3）就分类讨论后可求不等式的解. 【详解】（1）由题意得，所以或， 因为为偶函数，所以，所以. （2）由(1)可得， 在上不是单调函数，所以对称轴，即， 所以，实数a的取值范围为. （3）由（1）可得，而即为，故. 若，则即不等式解集为， 若，则即不等式解集为. 综上，当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为. 19．对于平面向量，定义“ 变换”： ，其中，，表示、中较大的一个数，表示、中较小的一个数．若，则．记． (1)若，求及； (2)已知，将经过次变换后，最小，求的最小值； (3)证明：对任意，经过若干次变换后，必存在，使得． 【答案】(1) (2)1349 (3)对当，时，当，时，当，时， 三种不同的情况进行分析， 当，时，显然存在，使得， 当，时，，即， 存在，使得． 同理，当，时，存在，使得． 当，时，若，则， 存在，使得． 若，设， 假设对任意，所以、均不为0． 因为、，所以． 如果，则， 如果，则，所以， 所以，即． 因为， 所以，所以， 与矛盾，故假设错误，存在，使得， 综上所述，对于任意，经过若干次 变换后，必存在，使得． 【分析】（1）根据定义即可求得，从而求得； （2）根据定义求得，即可求得，然后分析得到，由题意即可求得答案； （3）分别当，时，当，时，当，时，三种不同的情况进行分析，利用假设法及题目定义即可证明结论. 【详解】（1）因为， ，，， ，，， 所以． （2）因为， 令是方程的两根，即， 所以或， 所以，， 即， 由题意得，， 由规律分析得且， 由且可以得到的最大值为674，所以， 所以，此后进入循环， 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以最小时，的最小值为1349． （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年重庆市高一期末模拟考试卷（三） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为.现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有8件，则样本容量（    ） A．80 B．40 C．60 D．100 4．已知函数的周期为2，且在上单调递减，则可以是（     ） A． B． C． D． 5．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 6．下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 7．已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 8．不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 10．已知向量，，则下列结论中正确的是（     ） A． B．与可以作为所在平面的一组基底 C． D． 11．已知函数，以下结论正确的有（   ） A．为奇函数 B．对任意的，，都有 C．的值域是 D．对任意的都有 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若为实数，且复数为纯虚数，则的值为______． 13．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角B的大小为________． 14．函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查了城区若干名同学和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图： (1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图①. (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②. (3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？ 16．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 17．已知在中，内角，，对应的边分别是，，，，． (1)求的大小； (2)已知的周长为，求边上的中线的长度． 18．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 19．对于平面向量，定义“ 变换”： ，其中，，表示、中较大的一个数，表示、中较小的一个数．若，则．记． (1)若，求及； (2)已知，将经过次变换后，最小，求的最小值； (3)证明：对任意，经过若干次变换后，必存在，使得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $