10.5 异面直线间的距离（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

**基本信息** 高中数学“异面直线间的距离”同步练，分层设计基础巩固、中档应用、提升拓展三阶路径，覆盖概念辨析至复杂情境综合应用，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|公垂线定义、简单距离计算|选择/填空题考查定义辨析（如公垂线命题判断）、正方体中距离计算| |中档|公垂线证明、距离求解|解答题结合正四面体、长方体证明公垂线并求距离| |提升|复杂情境综合应用|折叠问题、动态点面距离等情境（如直角梯形折叠后异面直线距离）|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.5异面直线间的距离 A 基础达标题 1.已知命题：“若a、b为异面直线，平面过直线a且与直线b平行，则直线b与平面的距离等于异 面直线a、b之间的距离”为真命题.根据上述命题，若a、b为异面直线，且它们之间的距离为d,则 空间中与a、b均异面且距离也均为d的直线c有() A.0条 B.1条 C.多于1条，但为有限条 D.无数多条 2.在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 BCD-4BCA中.M=2,异面直线4B与D所成角 的余弦值为5，则直线AD与直线B,C的距离为() A.2 B.1 C v3 D.② 3.有如下命题，其中正确的命题个数是() (1)和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线： (2)任意两条异面直线有且只有一条公垂线： (3)两条异面直线的公垂线段是分别联结两条异面直线上两点的线段中最短的一条； (4)两条异面直线的距离是两条异面直线的公垂线段的长度. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在底面边长为1、 侧棱长为的正四棱柱 BCD-A8G0中，直线80与CC之间的距装为 AA BC 5.长方体 BCD-ABCD中，AB和DD的公垂线段是一 和的公垂线段是 6.空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2,BC=CD=3,延长BC到E,使得BC=CE,F为BD中 点，则异面直线AF和DE的距离为 7.P是正角形ABC所在平面外一点，M,N分别是AB和PC的中点，且PA=PB=PC=AB=a. 116 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：MN是AB和PC的公垂线： (2)求异面直线AB和PC之间的距离 8.所有棱长都为1的四面体ABCD中，找到异面直线AB和CD的公垂线，求出AB和CD的距离. B 能力提升题 ABCD-ABC D 1.如图，正方体 的棱长为a,动点B、F在棱上，且F=b, ,动点P、Q分别在棱 AB、CD上.现有两个命题：①△EF的面积为定值；②点P到平面EFQ的距离为定值.则有()， D B A.①②都真： B.①真、②假： C.①假、②真： D.①②都假. 2.已知菱形ABCD中，∠BAD- 3,沿对角线BD折起，使二面角A-BD-C的平面角为9，若异面直线 3 AC与BD的距离是菱形边长的4，则9=() A.6 B.4 C.3 D.2 3.定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取 的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是： 216 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ABCD-ABCD 分别连接两异面直线上两点，正方体 的棱长为1，M 是异面直线4C与CD的公垂线 段，则MN的长为() A D B C A M B 2 3 5 A.3 B.2 C.3 D.2 4.边长为1的正方体 BCD-ABCD中，直线4P和BC之间的距离为 5、如图所示，在直角梯形BCD中 中， BCUAD AD1CD、BC=2.AD=3,CD=5,边4D上-点 E满足DE=1.现将△4BE沿BE折起到△AB A,BE⊥ 的位置，使平面 平面BCDE,如图所示，则异 面直线4C与E的距离是 D A B DB 6.在棱长为1的正方体 BCD-4BCD中，B为DB的中点，M为AC上一点，N为DB上一点，N的 最小值为 7.如图，在长方体 BCD-4BCD巾，M=3cm,MB=4cm,D=5cm.求异面直线4B和AD的距 中， 离 316 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 8.如图，在棱长为的正方体 BCD-ABCA中，B 分别是4cC 和的中点 D C B M B (I)求异面直线EF与AB所成角的余弦值： Q在棱88上是否存在一点P,使得二面角P-AC-8的大小为30？若存在，求出即的长，若不存在， BB 请说明理由； (3)求异面直线EF与AB之间的距离 拓展培优题 1.空间和两条异面直线同时都垂直且相交的直线() A.不一定存在 B.有且只有1条 C.有1条或不存在 D.有无数条 ABCD-ABCD AA BD 2.如图，正方体 的棱长为1，则异面直线与的距离为() D A B D 416 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 2 A.1 B.2 C.2 D.2 3.已知二面角CAB-D的大小为120°，CALAB,DB⊥AB,AB=BD-4,AC-2,M,N分别为直线BC,AD MN 上两个动点，则最小值为() 3W5 35 45 4v5 A.5 B.5 c.5 D.5 2π 4.边长为1的两个正方形ABCD和CDEF构成大小为3的二面角，则异面直线AE和CD之间的距离为 5.正方体 BCD-ABCA中，边长为4，则异面直线4D与BD 的距离为一· 6.四面体SABC中，SA=BC=13,SB=AC=14,SC=AB=15,则异面直线AS与BC的距离为 ABCD-ABCD A4=2 7.如图，己知 是底面边长为1的正四棱柱，高 A B A B ①求异面直线BD与4B所成角的大小， CD B.C (2)求异面直线 与 的距离。 8.在空间四边形ABCD中，AB=CD,AC=BD,E、F分别是AD、BC的中点.求证：线段EF是异面 直线AD,BC的公垂线. 516 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ABCD-ABCD 9.如图，设正方体 的棱长为1，求下列异面直线之间的距离： D B D B BB )AD与 ②)1B与DC 616 10.5异面直线间的距离 1．已知命题：“若a、b为异面直线，平面过直线a且与直线b平行，则直线b与平面的距离等于异面直线a、b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a、b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a、b均异面且距离也均为d的直线c有（　　） A．0条 B．1条 C．多于1条，但为有限条 D．无数多条 【答案】D 【分析】作平行于直线a且与直线a距离为d的平面以及平行于直线b且与直线b距离为d的平面，易知平面与平面的交线即满足条件，即可求解. 【详解】易知平行于直线a且与直线a距离为d的平面有无数多个， 平行于直线b且与直线b距离为d的平面有无数多个，当平面不平行于平面时， 设平面与平面相交于直线，直线满足与a、b均异面且距离也均为d，故有无数条. 故选：D. 2．在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，异面直线与所成角的余弦值为，则直线与直线的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线与所成角的余弦值为求出底面正方形的边长，进而可求解. 【详解】 如图，该四棱柱为长方体，因为, 所以为异面直线与所成角， 设底面正方形边长为，则， 在中，， 解得， 因为该四棱柱为长方体，所以平面，平面， 所以,同理, 所以直线与直线的距离为， 故选:B. 3．有如下命题，其中正确的命题个数是（    ） （1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线； （2）任意两条异面直线有且只有一条公垂线； （3）两条异面直线的公垂线段是分别联结两条异面直线上两点的线段中最短的一条； （4）两条异面直线的距离是两条异面直线的公垂线段的长度． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据异面直线的公垂线的定义、异面直线公垂线段的定义进行判断． 【详解】（1）（4）就是相关定义，正确； 异面直线的公垂线是与异面直线均垂直相交的直线，只有一条，（2）正确； 两条异面直线的距离是两条异面直线的公垂线段的长度可知（3）正确． 故选：D． 4．两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在底面边长为、侧棱长为的正四棱柱中，直线与之间的距离为______． 【答案】 【分析】分别取中点，由等腰三角形三线合一性质可得，由异面直线间距离的定义可知所求距离为，结合勾股定理可求得结果. 【详解】分别取中点，连接， ，， 由两条异面直线之间距离的定义可知：直线与之间的距离即为的长， 又，. 故答案为：. 5．长方体中，和的公垂线段是______，和的公垂线段是______． 【答案】 / / 【分析】利用公垂线的定义可得出结果. 【详解】如下图所示： 在长方体中，，，故和的公垂线段是， 平面，平面，， 又因为，则和的公垂线段是. 故答案为：；. 6．空间四边形中，，，延长到，使得，为中点，则异面直线和的距离为______． 【答案】1 【分析】根据异面直线距离的定义，找到异面直线和的距离为，即可求解. 【详解】 如图，，为中点，所以， ，为中点，则，又，因此，有， 所以是异面直线和的距离，故它们的距离等于1， 故答案为:1. 7．是正角形所在平面外一点，分别是和的中点，且.    (1)求证：是和的公垂线； (2)求异面直线和之间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明即可求证是和的公垂线； （2）由（1）知在等腰三角形中，直接求出异面直线和之间的距离. 【详解】（1）连接，如下图所示：    易知与是全等的正三角形， 又是的中点，所以； 又是的中点，可得； 同理可证 又； 所以是和的公垂线； （2）在等腰三角形中， 易知， 所以 即异面直线和之间的距离为. 8．所有棱长都为1的四面体中，找到异面直线和的公垂线，求出和的距离． 【答案】取AB中点，中点，则为公垂线， 【分析】取中点，中点，连接，证明是与的公垂线，求出线段的长即得． 【详解】如图，取中点，中点，连接， 由已知，∴，同理， 所以是与的公垂线，与的距离即为线段的长． 且， 所以与的距离即为． 1．如图，正方体的棱长为a，动点E、F在棱上，且，动点P、Q分别在棱AB、CD上．现有两个命题：①的面积为定值；②点P到平面EFQ的距离为定值．则有（    ）． A．①②都真； B．①真、②假； C．①假、②真； D．①②都假． 【答案】A 【分析】根据线线平行和线面平行的判定定理与性质依次判断命题即可. 【详解】对于①，因为，所以Q到直线的距离h为定值， 而EF为定值，故的面积为定值，所以①真． 对于②，因为，平面EFQ，所以平面EFQ， 故点P到平面EFQ的距离为定值，所以②真． 故选：A 2．已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到二面角的平面角为，再证明是异面直线与的距离，在中求解. 【详解】如图，设菱形的边长为，连接两条对角线 易得， 菱形沿对角线折起，连接，得到三棱锥 在菱形中，，翻着后垂直不变，即 所以是二面角的平面角，即 又因为 所以平面，取中点，连接 又因为平面 所以 在中，，并且为的中点， 所以 故是异面直线与的距离 又因为异面直线与的距离是菱形边长的 所以 在中， 所以，又因为 所以 故选：C 3．定义:与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是:分别连接两异面直线上两点，正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，根据向量共线得出坐标，再根据向量垂直得到具体数值，最后求出模长即可. 【详解】 解:以A为原点，，所在直线分别为x轴，y轴，轴，如图所示: ， ， ， ， ， 设，， 所以 ∵是异面直线与的公垂线段， ∴，解得， ∴，． 故选:C． 4．边长为1的正方体中，直线和之间的距离为______. 【答案】1 【分析】把直线和之间的距离转化为公垂线问题，即可求解． 【详解】如图所示，连接， 因为平面，平面，所以， 又， 则直线和之间的距离为，又， 即直线和之间的距离为1. 故答案为：. 5．如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是___________． 【答案】/ 【分析】作的中点，连接，，，过作于点，由条件证明平面，进而得到，即得出为异面直线与的公垂线段，通过解直角三角形得到的线段长度即可. 【详解】作的中点，连接，，， 因为，，，所以， 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形， 因为，，， 所以，且， 所以平行四边形为边长为2的菱形，且， 所以和都是正三角形， 所以，， 又因为，、平面， 所以平面， 过作于点， 因为平面，所以， 则为异面直线与的公垂线段， 因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，平面，则， 又因为，所以为等腰直角三角形， 所以，即异面直线与的距离为， 故答案为：. 6．在棱长为1的正方体中，E为的中点，M为AC上一点，N为DE上一点，MN的最小值为______． 【答案】 【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后，再画出正方体，把各个点的位置标出，然后在图中找出各条线段，根据直角三角形的斜边大于直角边可知：最小值就是异面直线的距离，最后在三角形中解出高即可 【详解】 如图，正方体中，平面又平面，又中平面 平面上所有直线；过作于 ， ，为所求 在中， 故答案为： 7．如图，在长方体中，，，．求异面直线和的距离． 【答案】 【分析】作于点，利用长方体的性质结合线面垂直的性质定理可证明就是异面直线和的距离，解直角三角形即可求得答案. 【详解】如图，作于点， ∵在长方体中,平面，平面， ∴， ∴就是异面直线和的公垂线． ∴就是异面直线和的距离． 又在中， ，， , 故，∴异面直线和的距离是． 8．如图，在棱长为的正方体中，分别是和的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求出的长，若不存在，请说明理由； (3)求异面直线与之间的距离. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】(1)做出异面直线所成的角，解三角形求解即可； (2)假设存在，利用二面角的大小为求解即可； (3)利用线面垂直，找到公垂线，然后借助相似来计算即可. 【详解】（1）取的中点，因为是的中点， 所以，又，所以， 所以异面直线与所成角也就是与所成角， 由正方体得平面，平面， 所以，， 所以，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）假设存在点符合题意，连接与交于点， 所以，因为是正方体，所以， 又是的中点，所以， 所以就是二面角的平面角， 故假设成立，存在这样的点. 又因为，， ，所以. （3）连接，因为是的中点， 所以，如图第一个， 又因为平面，平面，所以， 即，又，所以平面， 又平面，所以， 接着取的中点，连接，延长交延长线于点， 连接，交于点，交于点， 过作的平行线交于点，连接，如下图， 由，得为与的公垂线， 易得与相似，又因为是中点， 则是的中点，所以， 所以，又，所以. 1．空间和两条异面直线同时都垂直且相交的直线（    ） A．不一定存在 B．有且只有1条 C．有1条或不存在 D．有无数条 【答案】B 【分析】利用平行平面确定有都垂直的直线，再利用垂直平面说明有与两条异面直线都垂直且相交的直线，然后用反证法说明这样的直线只有一条． 【详解】如图，是异面直线，过上一点作直线，则相交，设确定的平面为，当直线与平面垂直时，则直线与都垂直，从而也与垂直，因此有与异面直线都垂直的直线， 过与直线平行的平面是唯一的， 设是在平面内的射影，在平面内（即），，是过点的直线，因此，从而与相交，直线是与既垂直又相交的直线， 若与既垂直又相交的直线有两条为，不可能平行（否则共面）， 若不相交，过与的交点作直线，相交， 由确定的平面为（图中未画出）（若相交，则平面就是由确定的平面），可得与平面都是垂直，从而，这是不可能的， 因此与既垂直又相交的直线只有一条， 故选：B． 2．如图，正方体的棱长为1，则异面直线与的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明平面，故问题可转化为求直线与平面的距离，再证明平面，由此可求结论. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 所以异面直线与的距离与直线与平面的距离相等， 即点到平面的距离，如图连接，交于，则， 因为平面，平面，所以    又因为，平面， 所以平面，所以线段长为点到平面的距离， 又因为，所以异面直线的距离为，则C正确. 故选：C 3．已知二面角C-AB-D的大小为120°，CA⊥AB，DB⊥AB，AB=BD=4，AC=2，M，N分别为直线BC，AD上两个动点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将二面角放到长方体中，根据二面角的定义得到，根据几何知识得到最小值为异面直线，的距离，然后将异面直线，的距离转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，最后利用等体积求点到平面的距离即可. 【详解】 如图，将二面角放到长方体中，取，过点作面交面于点， 由题意可知，，所以为二面角的平面角，即， 因为，分别为直线，上的两个动点，所以最小值为异面直线，的距离， 由题意知，，所以四边形为平行四边形，， 因为平面，平面，所以∥平面，则异面直线，的距离可转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离， 设点到平面的距离为，则，， 在直角三角形中，，，所以，，，， 直角梯形中，，，， 因为，，所以，，，， . 故选：D. 【点睛】方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离. 4．边长为1的两个正方形和构成大小为的二面角，则异面直线和之间的距离为______． 【答案】/0.5 【分析】说明是二面角的平面角，过作于，证明是异面直线和的公垂线，求出线段的长即可． 【详解】如图，由，知是二面角的平面角，因此， 且因为，平面，所以平面， 过作于，则， 所以是异面直线和的公垂线，的长即为异面直线和之间的距离． 中，，，则，， 所以异面直线和之间的距离为． 故答案为：． 5．正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为______． 【答案】/ 【分析】异面直线与分别在平行平面和平面内，因此求出平行平面和平面的距离即可得，再证明是平行平面和平面的公垂线，然后求得公垂线段的长即可得． 【详解】如图，正方体中，，，是平行四边形， ∴，同理， 分别是上下底面对角线的交点，，分别与交于点，连接相应的线段， 平面，平面，∴平面，同理平面， 又，平面，∴平面平面， 由于与平行且相等，因此是平行四边形，∴，而分别是中点， 因此， 正方体棱长为4，则对角线，， 平面，是在平面内的射影，，平面， ∴，同理，，平面，所以平面，∴平面， ∴平面与平面的距离为， 而平面，平面，且与是异面直线， 所以异面直线与的距离等于平面与平面的距离为， 故答案为：． 6．四面体中，，，，则异面直线与的距离为______． 【答案】 【分析】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接，推导出，，并计算出的长，即可得解. 【详解】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接， 则、分别为、的中点， 由已知可得，可得， 因为且，故四边形为平行四边形，则且， 又因为、分别为、的中点，所以，且， 故四边形为平行四边形，故且， 平面，平面，，即， 同理可得，故异面直线与的距离为. 故答案为：. 7．如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，高． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求异面直线与的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，，，由，可得异面直线与所成角为，进而求解； （2）连接，过作，垂足为，再由平面，可得，则是异面直线与的公垂线，进而求解. 【详解】（1）连接，，，，如图所示： 在正四棱柱中，，，， 所以异面直线与所成角为或其补角，记， 则， 所以异面直线与所成角为． （2）连接，过作，垂足为，如图所示： 在正四棱柱中，平面，平面， 所以， 即是异面直线与的公垂线， 在中，有， 即， 所以异面直线与的距离为. 8．在空间四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形全等得，进而可得，同理可证，即可得证. 【详解】连接AF、DF、BE、CE． 在△ABD和△ACD中，，，． ∴．又E是AD中点， ∴． 在△BEC中，又F是BC的中点， ∴． 同理， ∴EF是异面直线AD、BC的公垂线． 9．如图，设正方体的棱长为1，求下列异面直线之间的距离： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）依据题意找到公垂线，求解公垂线长度即可. 【详解】（1）由正方体性质得，， 又，，所以是与的公垂线， 由题意得，所以与的距离为. （2）由正方体性质得，， 又，， 所以是与的公垂线， 由题意得，所以与的距离为. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $