第三章 函数及其性质（知识讲解&例题分析）-高考数学强基计划专题精讲与能力强化

参考答案与解析 对于0≤k≤9且k∈Z.则区间[2,2+1一1]中共有2个 2f(0)+f(-1)=1, 数值. 6.C分别令x=0,1,-1,可得2f(1)+f(0)=1, 对于k=10,则区间[21°，2025]中共有2025-1024+1= 2f(-1)+f(0)=1, 1002个数值， 所以觉[1og:n]=之k·2+10×102, 解得f0)=f1)=f(-1)=3,再令x=一E, 令M=∑k·2=1×2+2×22+…+9×2,则2M=1× 可得2f(-2)+/=1,从而1(-2)=子 k=1 22+2×23+…+8X2+9×219,所以-M=2+22+…+2 评析：典型的抽象函数问题，解决抽象函数问题，最直接的利 -9×210=2(2°-1)-9×210=-8194，则M=8194, 器就是赋值. 7.D由“糖水不等式”可得： 所以2[1og2n]=8194+10020=18214. s=- 之十x+y 第三章函数及其性质 当x=0,之=1，y→十时，s→2，故无最大值； 一、选择题 1.B运用映射建立递推关系，为计算S:1,考虑两种情形： (1)三边长均大于1，这样我们可以将三边长均减去1，得到 x+y+交=1， 个S2o15的情形，并且容易看出这个映射是个双射： 当x=0,y=1,x·十o时，s→1，故无最小值，故选D (2)至少有一条边长为1，那么剩下两条边长之和为2017，但 8.D首先判断1og,(m十1)和”十史的大小关系： n 此时不满足构成三角形的条件. 综合以上两方面知道S214=S1,故选B. 利用换底公式，只需要比较l血n+1)和”十」的关系，即 Inn 2.D。本题主要考查函数的概念与性质.因为定义在R上的奇 函数f(x)在（一∞，0）上单调递减，根据奇函数的性质可得， ln(n十》和m的关系. n+1 n f(x)在(0，十co)上单调递减， 设f()=1严(x>0),则f'(x)=1=ln,解()=0，得z 且f(-x)=-f(x),所以f(-2)=-f2)=0. 由xf(x-1)≥0可得， =e. ①当x≥0时，f(x-1)≥0，因为f(2)=0,由单调性可得x 当0<x<e时，f'(x)>0,f(x)单调递增：当x>e时，f(x) 1≤2，解得x≤3.又因为x-1≥0，所以x≥1， <0,f(x)单调递减 所以x∈[1,3]. 从而当m>e时，nmD<,即1og.u+1)<”十1. ②当x0时，f(x一1)≤0， n十1 n 因为f(-2)=0,由单调性可得x-1≥一2， 然后判断log(n十1)和log+1(n十2)的关系： 解得x≥-1，所以x∈[-1,0].综上所述， 设g(0=n+D(x>0,则 满足xf(x一1)≥0的x的取值范围是[一1,0]U[1,3] Inz 故本题正确答案为D. Inz In(2+1) 3.C方法1：利用图象及绝对值含义可得x≥0： g(x)=2+1 无=nx-(x+1ln(z+D<0. In'x x(z+1)Inx 方法2：|x+2+|x+|1一x=kx+b, 从而logn(n十1)>logn+1(n十2).综上，答案选D. k=一3，一1,1,3.仅当x≥0时递增； 评析：在一些我们不熟悉的表达式之间比较大小，关键在于 1一3x-1,x-2, -x-3,-2<x≤0， 将问题转化为统一的函数表达式，利用导数这一工具解决 方法3：|x+2+|x+|1一x= x十3,0<x≤1， "; 问题. 3.x+1,x>1. 9.B由f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x)(x2+3.x+ 故选C. 2)=(z2+3.x+1)-1, 4.CWx+11-6Wx+2=√x+2-6√x+2+9 知f(x)在x2+3x十1=0时能取到最小值-1. 而x2十3.x十1=0显然有实数解.故选B. =√(x+2-3)=√x+2-3, 评析：f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)=(x+3.x)(x2+3x+ 同理√x+27-10√x+2=√+2-5， 2)=(x2+3x+1)2一1是一种特殊的代数变形技巧，需要 故√x+11-6√x+2+√x+27-10√x+2 牢记. 10.B一共2种(f(n)=n或f(n)=0). |√x+2-3+|√x+2-5, 在f(a十b)=f(a)+f(b)中取b=0,得到f(0)=0: 表示数轴上√x十2到3,5的距离和，故大于等于2， 在f(ab)=f(a)f(b)中取b=1,得f(n)=0或f1)=1.对 所以原方程无解，选C. 于后一种情况，有f(n+1)=f(n)十f(1)=f(n)+1,即 5.D满足x∈0，D且/)>)的x的个数为1，分别为2， f(n)=n.选B. 1213123415 11.A不妨设a>0, 3'344'555'566 ,f(x)=x无解，.f(x)>x 评析：这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于 ∴fn(x)>f-1(x)>…>f(x)>x 学生要求很低，只希要准确理解题意即可，问题本身并不 知Hn,f,(x)=x无解. 因难. 评析：与不动点理论相关的题目，需要学生注意！ 287 强基数学·巅峰突破 12.D本题比较容易，关键的讨论点在于该等差数列是递增的 评析：本题的方法很明确，与零点存在定理有很强的相似 等差数列还是递减的或是常数列.（千万别忘了常数列） 性，其实质还是一个画图题.另外强调两点： 选D. 1.遇到带参数的直线，先观察其是否过定点· 13.AC首先我们可以意识到对于条件②，我们可以通过赋值 2,记住|x|十y≤2的图象，（因为均带绝对值，所以一定中 来判断函数的奇偶性.令y=一，可得：f(x)十f(一x) 心对称) f(0),再令x=y=0,可以得到f(0)=0,所以原函数为奇函 16.ABC (a)-1 ,且sinπx以2为 数，对于抽象函数我们证明其单调性时，常常无法求导，只 (-)+ 能用最“朴素”的方法也即设出x1,x,的相对大小，再去看 f(x1)一f(x)的正负，所以我们可以自然的想到去用条件 周期，？是它的一个对称轴，因北？既是分子的对称轴也是 ①来判断单调性，因为条件①中给出了“大于零”这个条件， 分母的对称轴，故曲线y=f(x)存在对称轴，C正确.当x= 但注意到条件②中给出的是加号，而非减号.所以我们可以 利用奇偶性来人为地“造”出减号：不妨设一1<x1<x2≤0， 之时，分子取其最大值，分学拾好取美最小值，故f( 则可以得到f(x1)+f(-x)=f(x1)一f(x)= (臣)》>0所以原西数为发高能接下来后D选项， f合）=合A正确.而f1≤号snxa≤号xa≤ 5x(利用|sinx|≤|x|),B正确.又知当x→+o及x→ 注意到下面两件事：1.若x,y∈(0,1)，则 x十义>x同时也 1+zy 一©时f(x)0,故其对称中心可只可能在x轴上：然而其 最大值和最小值不互为相反数，所以D错误.选ABC 大于y;2.若使<1，只需（前提当x,y∈（一1,1） 17.AC方法1：将y=1-2x代入x十√+y,即得 xy一x一y>0台(1一x)(1y)>0,那么这意味着我们可以 x+√5x2一4x+1,而x,y均为非负实数，故 无穷尽的加下去了： 17 x∈[02]令f)=x+5x=4x+T.则 取0<x1<1,则f2)+f(2 f'(x)=1+ 5.x-2 √5x-4x+I :可求出了()=0有一根品于 x1十2 是f)有最小位（品）=专且f)在[0，]内单调递 令x= ，则有x1x,<1,再重复这样的操作， 1+马 减，在[品，]内单调递增.取瑞点值有f(0)=1 1 )+f(2)= ,令x3= ,则 f(号）=1，故)有最大值1.所以选AC 1+2 1+号 方法2：x十Wx+y的几何意义为： x2<x3<1,那么重复n次之后可以得到0<xw+1<1,f(xm+1) 线段2x十y=1(x≥0，y≥0)上的，点(x,y)到原点和到y轴的 =)+n(2）,而f(3)是一个国定的常数且小于0，所 距离之和，问题可以轻松解决. 评析：本题解法十分自然，将其中一个变元消去化为单变量 以当n趋近于正无穷时便可知f(x+1)一∞，所以函数 问题，用导数的知识即可解决，需要指出的是，题目要求是 f(x)无界.选AC. 求最值，因此最大值和最小值两种情况都得予以考虑， 评析：本题的前3个选项可以说是高考的套路可以解决的，18.BC由a+b十c=1得c=1-a-b,故a十b+c=1有a+ 但第4个选项需要学生自已的观察与验证. b-a-b+ab=0,整理得： 14.BCF(x)=f(x)一kx与直线和曲线上横坐标相同两点的 距离有关，所以只需看图就可以判断了，共有3个极大值、2 (6+号)+8a+1a-D=0. 4 个极小值，所以选择BC. 评析：此题难度不大，而且由于是选择题，只需根据图象直 因此8a+1》a-D≤0，解得：-子<a≤1.C正确， 4 接判断即可.容易弄错的两点是：1.可能有同学只看到相切 A错误，再设x=a十b,由a2+b-a-b十ab=0, 的两个极大值点，而漏了最右边的极大值点.2.考虑F(x)的 得ab=x2-x,又c=1-a-b=1-x, 正负号 因此abc=(x2-x)(1-x)=-x(x-1), 15.ABD本题的A、B选项的判断在于运用“零点存在定理”： 就是说我们把这条直线（过定，点（一1，一2）)从=0开始不 由-=b≤()=（号）解得0<营。 断往正无穷方向增大，增大过程中我们通过画图和稍微的 结合x的取值范围以及abc=一x(x一l)2可求出(abc)mx= 计算来观察其面积的变化，具体操作如下：首先k=0时，面 0.选BC. 积为0，当k从0开始增大时，我们发现面积是逐渐增大的， 19.ABD 直到k·十，此时面积·7，所以中途有且仅有一个k,其对 应的面积为4.那么再观察k从负无穷增大至0的过程，首 10 先k·一○的时候，面积→1，且k逐渐增大时面积都在变小， 所以这个过程中没有k满足其对应的面积为4，所以A正 A.考虑x,直线y=kx与正弦曲线y=sinx在x,处相切， 确，用同样的方法可以知道B也正确：在这个过程中我们可 所以西满足的关系式为si血二‘所以A中名=m 以发现选项D正确，而选项C不正确，因为k<0时也有可 cos z;=k, 能为三角形.选ABD. 是正确的.B.考虑，即直线y=x和正切曲线y=tanx在 288 参考答案与解析 (2x,号)内的交点的谈坐格，由子m器x=m品=2计 24.B设g(x)=x+f(x)十xf(x).将x=-1,0,1代入表达式 中，有g(-1)=-1+f(-1)-f(-1)=-1,g(0)=f(0), <器所以x(器号】 g(1)=1+2f(1).也就是说，无论f是什么映射，g(-1)与 g(1)一定是奇数.故只需让g(0)=f(0)为奇数即可， C.容易知道，x:=0,且2和x关于原点对称，所以x2x, 由分步计数原理，满足条件的映射的种数为2×5×5=50 西成等差敛列等价于x=3,即，=in西 ,将第 (种). 3kx =sin 3x 评析：此题乍一看很扑朔迷离，但将一1与1代入式子后发 个方程代入第二个方程得到，3sinx,=sin3x,又因为由三 现它们一定是奇数.于是种数易求. 倍角公式，sin3.x,=3sinx:一4sin3x4,所以sinx:=0,不 可能 25.A设f(z)=simx+2019,gx)=7g(4038)=2019, D.由正弦函数和过原，点的一次函数都是奇函数可知正确， 4038在1285π和1286r之间；由于x∈(1284x,1285π)时， 评析：函数图象题目，同时需要挖掘函数的奇偶性，总体来 f(x)>2019,显然二者的图象只有一个交点，在点(4038， 说不难 2019)的左侧： 20.AC根据题意，f(1,n):1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13, x∈(4038,1286π)时，f(x)<2019,二者没有交，点， 14,…,f(2,n):1,3,7,13,21,31,43,57,73,91,111,…, 当x>1286π时，通过估计g(x)的值，我们可以判断在此区 f(3,n):1,3,8,18,35,61,98,148,…,设am=f(2,n),bn= 间上二者无交点，综上，二者只有一个交点，选A f(3,n), 26.AB把f(x)的解析式代入性质P中即可， 则有递推公式an=2(n-1)十a,-1b=n-1十a,-1十b.-1,于 我们不妨设a≤b≤c. 是可以得到通项公式为： 对选项A,即证：a十b>c时，√a十√b>√c,两边平方， a.=i-n+1,6=+合a-1n(2-1 显然成立. 对选项B,取一个直角三角形边长为3,4,5， AB中f(2,n)≥100的n的最小值为11，CD中f(3,n)≥ 2016的n的最小值为19. 有f(3)十f(4)=f(5),不构成三角形三边长，故选AB. 评析：用函数皮套着的数列题.乍一看非常难算，但将其化 27.D原方程化为：|√x+1一2+|/x+1一1|=1，所以只要 成数列后就成为熟悉的知识点，通过数列的知识将其解决· 1√/x十1≤2即可，所以满足0x≤3的x均是原方程的 21.ABf(x+t)≤3x台(x+t)2+2(x+t)≤3.x 根.选D. x+(2t-1)x+t+2t≤0， 记g(x)=x2+(2t-1)x++2t,而当x∈[1，m)时g(x)≤0 28.B分离4≥5x+12 5十12Nx(*)(此式恒成立) 恒成立台/g1)≤0， x十y 1+ g(m)≤0 2 t+4t≤0， ,+(2m十2)1+m-m≤0.也就是说要选取合适的m,使 =心0. 5+13臣5+12：=j和令为P.所 1+2 1+t 得这两个方程中t的解集有交集即可.经试验AB可以，CD 不行，故答案选AB. 以关于t的二次方程Ft-12t+F-5=0有正解.由△≥0 评析：二次函数分类讨论的题目，细心分析即可. 22.ABDf(x)是二次函数，最值在顶点和端点上取到，先考虑 得-4<P<9.当F=9时，可得1=号>0，符合P=9即 端点，有|f(1)|≤2及|f(一1)川≤2， (￥)的右边最大值为9.所以（￥）恒成立，需a≥9.选B. 得到|a+b十1≤2及|1-a十b≤2，进而 20.A周为F)=f)-1=千+imr为[-2,2上的 a=22a+1+6-1-b1≤2a+b+1+211+b-a≤2， 奇函数.所以F(x)x十F(x)mn=M-1十m-1=0,所以M 因此AB均对：同时知道对称轴在[-11门上(-号) 十m=2.选A. 30.C不妨设0≤x1≤x≤…≤x1≤1. 2代入得到b-引<21a+6+1≤21-a+6≤2 剥是是医一=一+国一十国-+叶 对a∈[-2,2]均成立得到b∈[-2,1]，因此D对； =1k=1 |x1-x21+lz-x+lx一x2+lz2-z+…+lx-x2+ 再看C,取f()=x十x-是便知C错。 |x-x|+lxg-|+xg-2飞|+…+|x-x1|+…+x1 评析：二次函数最值在顶点和端点取到，先从简单的端点处 x1+|x21-x+|x1-x+…+|x21-x21|=2[(x2-x)+ 入手，运用绝对值不等式，同时否定答案时举出反例 (x一x1)+(x,-x1)+…+(x21-x1)+(x3-x)+(x, 23AC注意到(+)+子y=1,作三角替换有 x2）+…+(x21-x)+…+(x21-x0)]=2[-20x1 18.2-…-2x10+0·z1十2x1e+4z13十…+20x21],只需取 2y=cos0,号y=sin0,进而x=cos0- 3 3 sin 0, 1=x=…=x1o=0.1∈[0,1门，x12=x13=…=x21=1,就 有原式的最大值为：2(2十4十…十20)=220.选C. 2十y=cos0+3sin9.日∈0,2]·可得za=(x十Jy)号 31.BC令a十b十c=t(t>0),下面分别证明B、C选项正确 25,故答案为AC 1)证明B选项正确，若6>青1，皓论已经成立：若b<号。 3 评析：合理运用三角换元解决问题。 由公-4ac≥0得ac≤6<D.又a+c=1-6>1-吉 289 强基数学·巅峰突破 9,所以c> 号-a,由①得>ac>a(号-a小，即a D错误：取f(2)=x1-x,期A,=0)-f(2)十 吾加+>0，解得a<或a>音若a>音，结 f(3）-)= 1 A o-(号)+ 论已经成立：若a<日1，则c>哥1-a>号，结论亦成立。 f(号）-（号）+（号）-=此时A>A则B (2)证明C选项正确.若a<1,培论已成主，若a>1,6 选项错误：由绝对位不华式得/（骨）-（充） -c≥0得6≥4ac>4,即6>a@:又6什c=1-a<是， (景)-（川+(）-()因光A 即6<是-c⑧.由回回得是t-c>a,即 含()-（川≤含((）-()川+ (E+多F)(E-2E)<0,则E<2E,即c<t结论亦 ）-(器ù 成立. 综上，max(a,6,c}≥号(a+b十c):mina,bc}≤ 盘（品）-（会川=A,国此选项A正确，故 选：A (a+b+c.选B,C. 36.B由三次方程的韦达定理 /a+B+Y=0, 2A国为[]，[]·[]∈周人 8+ay+m=a,西（日+日）+（日+）+（号+日） 因光[引]+[]+[]-=营+学+后-品 a3y=-b, (公+日+）=2.+立= b 即{}+{〉+{}=茹 对选项逐个用韦达定理检验，只有选项B适合. 因为{受}的可能取值为0和2，号}的可能取值为0，宁 二，填空题 37.解析：一方面，我们先证明：对于曲线上任意两点A,B,|AB引 号后}的可能取位为0，日号号号 1234 ≤5，注意到|AB≤|AO1+|OB1(O是坐标原点)，所以我 们只需证明，对于任意曲线动，点A, 因此品的可能取值有2×3×5=30（种）可能性. 考虑30（分+号+号）=15a+106+6c,其中a,bceZ oA< 记A的坐标为(xy),OA=√6+y% 因为2,3,5两两互质，容易得到15a+10b+6c=a(mod2), 15a+10b+6c=b(mod3),15a+10b+6c=c(mod5). 1(-)+<9 因此方程解的组数为30. 另一方面，我们能找到两点A,B使得|AB|≤√5； 33.B原函数的图象为一段圆孤，a的极值如图所示， A9)(-号-9)】 综上所述，该曲线的直径为√. 答案w5 0 点评：此题看似简单，但综合考查了解题人对于图象性质、 2 函数最值、不等式放缩的能力，实际很不好做，此题需要解 3.-2) 题人观察到，曲线是关于原点中心对称的，由此猜想直径取 计算可得a=arctan3 到应当在关于原点中心对称的点对，进一步猜出答案⑤（而 不是2).最后在证明时，一个明显的难点在于，此题的最值 补充说明： 表达式是多变量的（两个动点），因此借助原点放缩，消去多 2009年上海高考第14题. 变元的步骤，实属精彩 34.ACD构造f(x)=x十lnx一4，易得f(x)在(0，+oo)上单 38.解析：由f(x)为奇函数，得出f(x)=一f(一x)①： 调递增，而f(e)=e+lne-4=e-3<0,f(3)=3+ln3-4= 由f(x+1)为偶函数，得出f(x+1)=f(-x+1)②；（注 In3一1>0，所以f(x)=0有唯一的正根，且该根位于区间 意不是f(x+1)=f(-x-1),f(x+1)=f(-x-1)说明f (e,3),因为a十e“=b十lnb=4,所以f(e)=f(b)=0,则e“= (x)是偶函数) b∈(e,3),故a∈(1，ln3),b∈(e,3).所以ab>1·e=e,故D 在①中，令x=x一1，得到f(x一1)=一f(一x+1),结合②， 正确；而e"=b,a十e=4,故a十b=4,而b>e>ln3>a,所以 推出f(x十1)=一f(x一1)，于是f(x)以4为周期.故 有b=[a+6-a-6)]<a+6=子×=4，故 r(2g)=(侵)=-(-)是 C正确；由a,b>1,知a,b,lna,lnb∈(0，十o). 从而alnb+blna>alnb>1·lne=1,故A正确，B错误， 答案： 点A取)=周有A=-含月引==1则 39.解析：考虑参变分离法，但是注意定义域跨0，需要分类 讨论. Anm=1,则2An>A,故C错误；A+m=1,则2An>A+m,故 (1)x=0,不等式成立： 290 参考答案与解析 (2z>0时，不等式等价于a<x+2.由均值不等式，x+ 1+p+q=2, 2 故可列方程 9+3p+q=一2，→ p=一6：则答案为9， 2=x+1十≥3，当且仅当x=1时，等号取到，故不等 25+5b+g=2 {q=7. x x 答案：9 式等价于a<3: 评析：考查对二次函数形状的理解，从而得出唯一的可能。 (③)<0时，不等式等价于>+兰记 45.解析：考虑式子5+1(2x2+y)=(5+2λ)x2十（入-1）y2 f()=r+2(红<0)，不难发现此时函数单调递减， 4xy,将该式右侧看作以x为自变量的二次函数，令判别式△ 于是a>f(-1)=-1. =16-45十2)a-1)=0,解得入=-3或入=号，代回原 综上所述，a的取值范围为（一1,3） 式有2x+y≥号，当且仅当x=一2y时取得最小值 答案：(-1,3) 点评：参变分离是解决恒成立问题的基本方法，但是注意定 5 答案：3 义域跨0的易错点， 评析：此题非常难想到，看起来像是在运用柯西不等式，但 40.解析：由于f(x)为增函数，且f[f(.x)一3]=4，推出f(x) 事实上所求式最小值并不能通过条件用不等式直接放缩】 一3=t,其中t是使得f(t)=4成立的自变量.在f(x)= 需要用参数去调整，再用二次函数判别式等于0的条件 3十t中，令x=t得到3十t=f(t)=4,方程等号左边是关 去找。 于t递增的，且有特殊解t=1,于是f(x)=3”十1，即得答案 是10. 46.解析：题目等价于只需要考虑函数g(x)=[2x]-2[x]在 答案：10 评析：不太因难的函数方程问题，找到单调性关系，推出 [0,1)的取值情况.g(x)= f(x)一3=t为定值后问题便可迎刃而解】 解都红 x2+1 评析：当x酸大时，[]，[]显然都小于1款只青考患 答案所给情况即可， 只需求x十上的单调遂增区间即可. 答案：{0,1} 答案：（一∞，一1）和(1，+∞) 47.解析：记a=t,则f(x)=a2一4a一1=(t一2)2一5，结合f(x)最 42.解析：对于①，不难验证f(x)+f(一x)=2b成立，于是f(x) 小值为一5，知a可取到2，结合x∈(-∞，-1]U[2,十∞)， 关于(0，b)中心对称： 知ae[zua 对于②，f(x)=ax+b=Q。+b,注意到x十二在(0， r2+c 2+ x 答案：[合)U1回 十∞)上先减后增(c>0),于是f(x)不可能在(0，十∞)上单 48.解析：因式分解可得(a十c)(b十d)=1. 调递增； 对于③，f(x)|= 。+661+≤61+ 根据柯西不等式可得(a+3)(1+子)≥(a+c), 即a2+3c2≥3(a十c)2, a=b+a成立，故f(x)有界： |2√xl 12V1 同释地，(26+4d)(合+)≥6+d 对于④，令a=3,c=2,b=0,即可验证其正确性， 答案：①③④ 评析：清华近两年考试的新热点一一在不借助导数的情况 即26+4d≥言h+d 下分析函数的性质，此题的难点在于④，答案的构造思路是 因光a+26+3x2+46d≥2(a+0+告b+d 这样来的： ≥2(a+c)(b+d)=2. 因为f(x)关于(0，b)中心对称，f(x)=士1的根是关于0对 等号成立条件为a:b:c:d=3:2:1:1,其中c=d 称的四个数，所以想到令b=0.于是再令f(x)=1的根是1 和2即可（从面f(x)=-1的根是-1和一2），得到a=3, c=2,b=0,满足题意. 答案：2 43.解析：3x,使得[x0,x。十2]二{xf(x)0},即f(x)≤0解 49.解析：先证明a、b、c均不为0，若否，不妨设a=0,则由a=ab 集的长度不小于2，亦即f(x)=0的两根之差不小于2 故/4公0， 十c可得c=0,同理可得b=0,与a、b、c不全相等矛盾.所以 解得a∈(-o,-1)U[1,+∞). a、b、c均不为0.题目中三式相加容易得到ab十bc十ca=0, 公≥2， 又因为题目中三式等价于a(1一b)=c,b(1一c)=a,c(1一a) 答案：(-∞，-1]U[1,+o∞) =b, 评析：非常基础的二次函数问题，略有难度的地方在于题干 此三式相乘得到abc(1一a)(1一b)(1-c)=abc.由abc≠0， 条件的转化. 所以(1-a)(1-b)(1-c)=1,即1-(a+b+c)+(ab+bc+ 44.解析：如图，因为函数的二次项系 ca)-abc=1. 数已确定为1，且其在x∈[1,5] 由于ab十bc十ca=0,所以abc=一(a十b十c), 时绝对值2，则函数必为如图形 状.（二次项系数决定二次函数 又因为题目中三式等价于ac=abc+c,ab=abc+a,bc= abc+b, 的形状》 此三式相加得到ab+bc十ca=3abc十a2+b2+c2, 291 强基数学·巅峰突破 即3(ab+bc+ca)=3abc+(a+b+c)2.由ab+bc+ca=0 53.解析：由题意可知a(x一x1)2(x一c,)=0, 及abc=一(a+b+c)得到-3(a+b+c)+(a+b+c)2=0, 2十=-6」 因为a十b十c=一abc≠0，所以a十b十c=3. 答案：3 则 x1(2x+x1)= ,又a0, 50.解析：由条件知：x)+f1-x)=1>f(3)+f(1-2】 a 1 ziz:=-a =1→(2）=2 则xi4=-1>0→，>0→1>0， f(x)=2f(若)→f0)=2f0)→f0)=0. 此时x1(2x2+x1)+xix2=0→x1x+2x2+x1=0→= 2x2 设0≤≤1，则f(x)=1-f(1-x)=2f(号）= x+1' b 1-2(） 又 a 2x十x,a= 1 1 于是有2（号）=1-2(）(）+()-2· 4x2 当，=0时，别有f(日)+f(0)=之台f(日)=之，且 则a+b=2十2-1 2+7+-1 xxiTx 4x f2)=2 (x:+1)Xx: 当号≤≤号助x)=:又(22)=(2) 时器周花()（器）-动 答案：(-0，） 54.解析：由题意等价于三次方程x3十a.x十2=0存在一个二重 答案成 根与一个单根，设其二重根为m,另一实根为， 51.解析：由f(-2)=0,可设f(x)=(x+2)(ax+b)=ax2+ 2m十n=0, (2a+b)x+2b, 则由韦达定理可知m2十2mn=a,解得a=一3. 则由f(x)≥2x得a.x2+(2a+b-2)x+2b≥0， m2n=-2, 所以a>0且(2a+b-2)≤8ab,4a2+b≤4ab+8a+4b-4, 答案：一3 由)2生得a-1Dr+4a+26x+46-40. 55.解析：将f(x)=x2+√/x一3x2十2x十5变形可得f(x)=x +√/(x2一2)+（x+1),设P(x,x2),则P(x,x2)的轨迹方 若2a-1=0则必有4a+2b=0,此时与(2a+b-2)2≤8ab 矛盾， 程为y=x2,设A(-1,2), 所以2a-1<0且(4a+2b)2≤4(2a-1)(4b-4), 则f(x)表示抛物线y=x上的，点 4(-1,2) 整理后为4a2十b≤4ab-8a-4b十4， 到点A和x轴的距离之和，过P 与4a2+b≤4ab+8a十4b-4相加即得4a2+b≤4ab, 点作PB⊥x轴于，点B,过A点作 即(2a-b)2≤0，所以2a=b, AC⊥x轴于点C,交抛物线y=x 所以f(x)=(x+2)(ax+2a)=a(x+2)2, 于点P。,故有|PA|+IPB|≥ 又由于在原不等式中令x=2可得4≤f(2)≤4， IP。A|+IPCI=|AC=2, 所以f(2)=4,由此解得a=车 所以f(x)∈[2，+∞). BC 答案：[2，十c∞) 0 所以x)+2y,10)=36 56.解析：令x=0可得f(0+f(y))=f(f(y))=f(f(0))+y ①， 答案：36 根据①且令y=f(y),从而f(f(f(y))=f(f(0))+f(y): ⑤2.解析：作出函数y=sin y=cos2y=二z十门的图象如 根据题设及①有f(f(f(y)=f(f(f(0)+y)=f(f(y) +f(0)②，联立①②， 图，刻西教/)=min sin,os,-+1在[0.闲上取 有f(f(0))+f(y)=f(f(y))+f(0)=f(f(0))+y+f(0), 最大值时，sinx=cosx,即tanx=l, 即f(y)=y+f(0). 所以x=，sin=cos= 令y=1可得f(0)=2023,因此f(2024)=2024+f(0)= 2 2024+2023=4047. 答案：4047 57.解析：由题意可知，方程十au十b一2=0有实数根，将关于u 的方程看成关于a,b的直线方程au十b十2一2=0，则2十b可 视为直线上的点(a,b)到原点的距离的平方，其最小值即为原点 到直线的距离的平方，所以距离的平方止=(-是)】 √+1) 答案：2 (-2)_(+1)-6(2+1)+9 2+1 +1 292 参考答案与解析 =着十1十。6，令m=以十1，别d=n+是 9 65.解：不难验证g(x)=f(x)一10是一个奇函数并且单调递 m 6，因为 增.原不等式等价于g(3x十1)+g(x)>0,也等价于 所以a=z+☆≥2，当且仅当引z=即 4=x+L g(3x十1)>g(-x),从而所求解集即为3x+1>-x的解. x=士1时取等号，则m≥5 故解集为(-，+0) 由对约函数的单调注可知，画教y=m十是-6在[5，十6∞)上 评析：此题难度不大，已经属于这套测试题中相对好拿分的 问题了.这类函数的奇偶性加单调性的分析应该在高考课 单调递增， 内的训练中都非常常见. 所以(d)nn=5+9 5 ，所以a+公的最小值为号 -6=5 66.解：方法1：直接求导即可. 方法2：利用柯西不等式，[(x-6)+(31-x)刀[1+1]≥ 答案：号 （√x-6+√31一z),得到√x-6+√31-x的最大值为 58.解析：令f(x)=√-2x+10 5厄最大位取到时当且收当，即号 1 1 W√x-4x+5=√/(x-1)+(0-3) 评析：较为基础的函数最值问题，可用函数方法求解，也可 -√(x-2)2+(0-1), 用不等式的思路解决 设A(1,3),B(2,1),C(x,0),如图所示， 67.解：依题意4，=，进而十2018_+2018，根据对勾画 则f(x)=|AC|-IBC||AB|=√5 当且仅当C在线段AB的延长线上时 o C 数的性质，最小值在n取44和45中产生，计算比较知在 取等号；当x→一co时，直线AC,BC可 1=45时取最小值4043 45 近似看作平行关系，此时f(x)·一1. 68.解：分情况讨论 综上，目标式的范围是（一1，W5]. 答案：(-1，√5] （①D加>1时，原不等式⊙。<号<a,显然无解 59.解析：因为(x十y十)2=x2+y十2+2(xy十xg+yz)≥0， 所以xy+x+≥-亡土y十 (2)0<a<1时，原不等式d<号<as0<a<号 2 所以-工++这++y+≤2+y+2+xy十yx+ 故a的取值范周为0<a<号. 2 69.解：设g(x)=√x+5,那么g1(x)=x2-5(定义城为x> x≤1， 0), 所以x十y+之2≤2， 当x=1,y=-1,之=0时等号成立， 若f(x)=W/+5+5+5+5=g(x,f(x)= 所以x十y十之2的最大值为2. (((x2-5)-5)2-5)-5=g-(.x), 答案：2 若x>g(x),由g(x)=√x+5单调递增， 三、解答题 知g(x)>g2(x),以此类推有g(x)>g(x), 60.解：对数函数的值域为（一c∞，+o),因此x2一2ax十a必须 又g1(x)=x2-5单调递增， 取遍(0，+co)上的所有值，此△=4a2一4a≥0→a≤0或a≥1. 故x>g(x)台g1(x)>x, 评析：考查函数的值城问题，十分基础，做出来问题不大. 同理有g-(x)>g-(x)>…>x, 61.解：要求log1（一x十x十2)的单调增区间，由log1x是在 于是g-”(x)>g0(x),矛盾. -x2+x+2>0, 若x<g(x),则x<g(x)<g(x)<…<g(x); (0,十○)上的减函数，故即解 g一(x)<x,g(x)<g(x)<…<x,于是 g(x)<g(x),矛盾，故仅当x=g(x)时有解，即 →xe(分，2） x=√十5，有=1+@（负根含去）. 2 62.解：令a=1,b=4得f(3)=5,令a=4,b=1得f(2)=3,猜 评析：函数逆代与不动点问题，常规的解决办法就是与不动 测对于正整数x,有f(x)=2x一1.这可由数学归纳法证明， 点进行比较. 因此f(2014)=4027. 70.解：由于函数与其反函数关于直线y=x对称，且两函数有 评析：该题为抽象函数，做法比较明确，代入特殊数字或字 偶数个交点，因此函数与其反函数的交点必然在直线y=工 母解题. 63.解：若f(a)≠a,则由a,f(a),f(f(a),f(f(f(a))成正项 上，考查y=a sin x与y:=x在[0，受]内的交点个数，首先 等比数列，可设f(a)=qa(g>0且q≠1)依次代入迭代式， x=0为两函数的一个交点，若要两函数有另一个交点，则需 有f(f(a)=f(ga)=g2a,f(f(f(a))=f(g2a)=ga那么 要y,(0)-y:(0)>0(5）-y（）≤0，解出1<a 对于方程f(x)=qx,有三个不同解a,ga,ga,这与f(x)是 二次函数矛盾！∴.f(a)=a. 评析：此题看似无从下手，但是如果对数列以及迭代函数有： 71.解：假设1,2，·，2019中映射值为1的有x个，则在所有满 了解，再加上给出的二次函数的条件，想到解法也并非难寧， 足1≤i<j≤2019的(i,j)中，满足 64.解：令y=kx,代入原方程，消去y,得到 f(i)f(j)=一1的(i,j)一共有x(2019一x)个， (k+4)z2-(2k+8)x+4=0. 其余均满足f(i)f()=1, 令4=32k-12=0,解得天=号 故s3f)fG)=(-1)Xx(2019-)+1× 293 强基数学·巅峰突破 [C1-x(2019-x)]=2x-4038x+C1是一个奇数， x=2+(-1)"+1 永远不会为0. 5·301+(-1)n=1,2,… 评标：还可以直换模2.因为f)=1(m0d2),所以e三心 f(i)fG)=习1=C1=1(mod2),也可以得出永不 从而有x,-2引=4·3十3+（-1) 1ij≤2019 方法2：(1)同解法一，可求出b=一1，m=4,a=3, 为0. 72.解：(1)(f。g)[(g1。f1)(x)]=f(gg(f(x) )=取=3+1则号 3 =f(gg)(f(x))=f(f厂1(x)=x,所以(f。g)(x)= 2t+1 (g。f1)(x). 十+421-1 (2)由于F(x)为G(x)的反函数，所以G(F(x)=x,代入题 t-1 中表达式，有G(F(x)=f1(-F(x)=f'(-f(-x)= x,将最后一个等式两边同时套上f函数，则有一f(一x)= (2)由f(=x+4, f(x),得证. =,得么知 评析：题目涉及反函数，并没有考查难度很大或超纲的知识 把①式两边都加上2得：1十2=3x十2)@②. xw十1 点，只涉及了函数的嵌套，实数域到实数域的函数的嵌套运 算满足结合律.难点在于第二小题，不同的思考角度带来的 把①式两边都减去2得：℃w+1一2= 解题效果大不相同，过于复杂的思考反面有可能陷入泥潭， 若存在k(k∈N')使x4=2,由③可知 这道题比较注重数学思维的考查， 73.解：(1)定义域为(0,1)，在定义域内单调递增」 工k-1=工k-2=…=x1=2与x1=3矛盾， (2)将号代入1x)=号+g己第得P(合，)人弄向 所以不存在k(k∈N”),使x=2. ②式除以③式得之+1十2=一3（工，+2） 2OP=0A+O店，知B(1-x11-y) 2+1-2 E-2 而m=号+g-)=号+112 因为西=3，所以25，所以十2 -25×(-3), 合十（侵-）=1-就B也在西数南线上。 4 所以x,=2+5·(-3)-1' (注：本小问也可以说明P(侵，)是()的对称中心来证 4 4 所以1-21=15·（-3》-1≤5·-3》1- 明) 4 4 4 (3)由(2)知，将a,的表达式首尾配时，即知a,=受，故么= 5·31-14…3+31-4…33 2018×(-号)广，故工。取得最大值要满足两个条件：工为 方法3：1》由解法一得x)-告=g)=-1,由 正数；Tm|尽可能大.故n=11. (,）=2510,易看出0式中1=-即得（生） 74.解：方法1：1)令f(2,）=2中，代入=a1+6化简得。 =241,所以存在-=3(-)-1，即1=3s十1. t (m-4)t2+[b(m-4)+a-3]t+(b+1)=0, (2)用数学归纳法 /b+1=0, 由于等式对所有>号成立，可知b(m-4)十a-3=0, ①当n=1时，显然成立 a(m-4)=0, @易得=x)=1+>1,2+） 解得6=-1，m=4,a=3,(x)=士4， x+11 令()=，代入=s+d,化商得 t 假设当n=k时，命题成立， cs十d=3s+1,所以存在t=9(s)=3s十1(s>0), 使得(2)- 中属-2≤六 t (2)令s1=1,t1=g(s1)=3s1+1=4, 则当n=+1时，1-2=12-)川=1- s+1=g(tn)=3t。-1,t+1=p(s+1)=3sn+1十1，n=1,2,… 当x4>2时，x4+1-2=2-f(2+(x4-2)川< 注意到4=25十1 由10知21=23+1 3z4-21< 1 3.当4≤2时，z+1-2=3 2%+11, x.=241 ,n=1,2,… t。 4+市1，即证3<3+ 只需证3 4十1≤3 1=3.-1=9,+2,化为5+=9(+）得： 即证十1、3 3 +7,即证x≥ - 5-(5·3-8-10.=35+1=(6·31+10 即证x4-2≥3·3 3 3+1 从而x1=2+1=2+ 4 3+13=- 5·32m-2-1 .331 4 即2-≤3十子，而此式是假设成立的，所以@ 成立.由①，②可知，原命题成立 294 参考答案与解析 75.解：1)由f=1f(合)=号得a=6=1f2)=千 1+2+…+2011=2023066(个)点，设a1=1,0:=4=2, 方法1：先求出x= 1 2 8 2,2= 3=5x= 9,猜想 a202366 20又因为202g059-10153,战求 2 2- 工一2十用数学归的法证明， a1希和a11m的位，设a1o=,则 当m=1显然成立； 1+2+3+…+t≥1011533,1+2+3+…+t-1<1011 2-1 假设n=及成立，即F2十 533,可求得t=1422,且 1 则xk+1=f(x)= 2x62 +2+,得证. 1on=01a=1422故x=42时f()的值最小， 由数学归纳法知成立， fa)=1-+1-2x2++1-12zX+1 方法2经取能款后整取得 423×1422 1++201×122-1=832 1 711 1=(侵-所以丈-1（合）() 方法2：lx-1|+|2x-11+…+12011x-1|=x-1+ 1 所以xn= 1 2-++2on2 2+1 1+2+…+k<号1+2+…+2011)≤1+2+…++1 （2)方法1：证明：x…+ 1 <2e, →k=1421, =2(01+)1+子）-(1+)月 事实上…Z+ 1x-1|+|2x-1|+…|2011x-11=（1x-1|+ 我们注意到1+2a<(1十a)2,…,1+2"a<(1十a), ）++(小-a+) 贝努利(Bernoulli)不等式的一般形式： (1+x)"≥1+nx,x∈(-1，+o),n≥1 上式在工=1422时取得最小值，且最小值 ++2+1 )=-1-2+1-2x2++1-1421xt1 21+2)<0+）< 1 -1422×142+1423×1422-1+…+2011×1422-1 =[1421-(2011-1423+1)]+ 方法2：原不等式台(1+2)(1+）(1+2)<e [(器++》-(+…+)]=8鼎 1[(1+)+安)-(1+2]<1 方法3：当x∈（-2)时fx)=1-)+ 台n(1+)+n(1+)+…1n(1+)<1, (1-2x)+…+(1-2011x),k1=-1-2-·-2011, 构造函数g(x)=ln(1十x)一x,x>0 1一11+ 当z(22品)时， g(x)=1十 工<0，所以g(x)<g(0)=0, f(x)=(1-x)+(1-2x)+…+(1-2010x)-(1-2011x), 所以ln(1+x)<x,x>0. kg=-1-2-…-2010+2011, 令x=克，则(1+是)<分 当xe(dd)时， n(1+2)+n(1+)+…+n(1+) f(x)=(1-x)+(1-2x)+…+(1-2009x)+(2010x-1)+(2 011x-1), <++…+2-1-<1 kg=-1-2-…-2019+2010+2011, 76.解：方法1：首先设a1≤a2≤…≤an,f(x)=|x-a1|十 当x(品)时. |x一a2|十…十|x一an|,则由绝对值的几何意义可知，n为 f(x)=(1-x)+(1-2.x)+…+(1-mx)+[(m+1)x-1]+ 奇数时，当x=a时，f(x)有最小值n为偶数时，当x∈ …+(2011x-1), [a号a兰+门时，f八x)有最小值.原式可写为： k2012m=-1-2-…-m十(m十1)+…+2011， )=1x-11+-+-+-号 当x(品)时f）=1-0+1-2)+…+ x-+-+叶 [1-(m-1).x]+(m.x-1)+…+(2011x-1), 斜率k213=m=-1-2-…-(m-1)十m十…+2011： x-20+*201 1 ,共有： 设当=m时，f(x)取得最小值，则有：≤0， 2011个 k2013-m≥0 295 强基数学·巅峰突破 →-1-2--m+(m+1)+…+2011≤0. (-1-2-…-(m-1)+m+…+2011≥0， So=pR=e-品 2 a m∈Npm=142,含ze(1232z)时， 令g(a) 2a f(x)=(1-x)+(1-2x)+…+(1-1422x)+ [1423x-1]+…+(2011x-1) &(a)-ae-2e-L2a'-De 2a =1422-589-1423X142z+3434X589 2 2 易知a= 时o号号k这 1)=f(12)=832鼎 4.C显然(-1,1)在y=x3-x2-2x+1的图象上. 77.解：由题设x3+a.x2-(1-a)=(x-x1)(x-x2)(x-x3) 设切点为(xox8-x后-2x。十1)，y=3x2-2x-2, =0, 所以k=3.x6-2x,一2. 所以(x-x1)(x-x2)(x-x)=x3-(x1+x:+x)x2+ 另一方面，k= 8-x8-2x十1D-1=,(,-2)=3x- xo一(-1) (x1x2十x1xg十x2xg)x一x1xx3, 所以x1+x2+xg=-a,x1x2十x1x3+x2x=0,x1x2x= 2x0-2. (1-a)2, 所以x。=1,所以k=-1.故选C. 5.BDf(x)=e(x+3)(x-1),但是要注意， 当x趋近于负无穷时，f(x)正向趋近于0.再通过画图可知D 正确. _(十x十)-2(x1十x1x十xx3 TIT273 评析：这道题是个典型的图象题，关键在于画草图. 6.AC由f(0)存在知f(x)在x=0处连续. 3 所以a)>2,可得a-6a+3<0 又f(0)=1>0,f(0)=1>0,由函数的连续性知，存在实数8 ∈(0,1)，使得x∈（一6,8）时有f(x)>0,A正确；而对于B, 故3-√6<a<3+√6， (1+x十x2x∈Q, 对于f(x)=x3+a.x2-(1-a),则(x)=x(3x十2a),令 举反例：f(x)= 1+x-x2x∈CRQ, 了()=0，可得=0或x=-要，要使画数有三个不同实 则B错误；由(0)>0，知存在实数6∈(0,1)，使得x∈(0，) 根，需极大值>0且极值<0. 时有f(x)>f(0)=1,C正确：构造函数f(x)=x十1，知D 错误. 经判商可知f0)=--<03a≠1，(-）=号 评析：本题是对高等数学中的函数连续性的考查，不过较为 基础，仔细思考即可给出正确答案， 1-a)>0>a>且u≠3， 4 7.BD设f(x)=x2一1，g(x)=lnx,则f'(x)=2x,g'(x)= 由西为三个不同实根，故a≠1且a≠3且a>是 子11)=2≠发)=1，因此A错送： 综上，<a<3+6且aE1,3. f(号）=g1)=1,又f(2)=-,g1)=0,而 2 第四章微积分初步 0-（是)号1收，一-1在（宁导）类的物线和 1-2 y=lnx在(1,0)处的切线平行，B正确：取p(x)=f(x)一g(x),则 一、选择题 1.A由于（一e+u)'=一e,令一e+=-l,于是切点横坐标为 ()=2x-子x∈(09)时，9g单调毫减，xe x=-a, 进而有-（一a)十2=一ea+“,解得a=一3. (停+)时以单调港增.易知mg>0,19> 评析：非常基础的问题，注意计算速度和准确度」 09(停)<0，周北两者有两个交点，C错误，D正确， 2.c令g)=巴，则g=四， &.CDy=r-3z有两个板位点，分别是=-和 因为f(x)满足(x一1)(f'(x)一f(x))>0,所以当 x<1时，f(x)一f(x)<0, x=2y=4x3-3x和y=x有三个交点，分别为 则g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减 x=0,x=1,x=一1， 即g(-1D>g0),故-D>f0)=f(0), 结合图象考虑四个选项。 e A.当f(x)有两个极值点时， 因为f(2-x)=f(x)e2-红， 所以f(3)=f(-1)e>ef(0),故选C. a=0或者a>成立 3.B将x=a代入曲线C→Q(a,e),f(x)=ae. 所以选项A错误. 切线t=ae-a,令y=0P=a-日 B当-<a≤号时，有极小值点，选项B错民，C正确 D.当a取三个交，点处的值时，函数都连续，正确， R(c-i.0). 评析：与上题类似，画出图像，再对函数求导分析极值情况 296第三章函数及其性质 第三章 函数及其性质 知识要点回顾 推论1：首项为1的整系数多项式方程的有 理根必是整数根， 1.求函数的最值或值域的几种常用方法： 推论2：整系数多项式方程的整数根必是常 (1)单调性法：利用函数的单调性求最值； 数项ao的约数. (2)不等式法：利用各种不等式来求解，常用 3.反函数 均值不等式、柯西不等式等； (1)函数与反函数图象间的关系 (3)判别式法：将等式y=f(x)化成 函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图 (y)x2+q(y)x十r(y)=0的形式，利用该 象关于y=x对称.若点(a,b)在y=f(x) 二次方程有解， 的图象上，那么点(b,a)在它的反函数 考虑△=q(y)-4p(y)r(y)≥0，进而求得y y=f1(x)的图象上. 的取值范围； (2)反函数的几个简单命题 (4)猜测法：先猜测f(x)在某一点x。处取得 (a)一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那 最大值，再证明对任意的x, 么它的反函数y=f一1(x)一定是奇函数. 都有f(x)≤f(xo); (b)一个函数在某一区间是增（减）函数，并 (5)拆项法：将f(x)分解为f(x)= ∑ga)+c, 且存在反函数，那么它的反函数在相应区间 其中g(x)有下界x(i=1,2,…,n), 也是增（减）函数. 4.抽象函数 则∑，(x)+c=f(,)为f(x)的最小值； 不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或 (6)几何法：数形结合，利用几何图形中不等 特征的函数叫抽象函数.抽象函数的一般形式 式关系求值； 为y=f(x). (7)换元法：先使用换元得到较容易求最值 解决抽象函数问题的几种常用方法： 的函数解析式，再利用其他方法求最值， 寻找原函数方法：赋值法；定义法；导数法； (8)导数法：先求导，然后让导数等于0，得出 图象法等。 可能极值点，然后通过判断导数的正负来判 典型例题精讲 断单调性，最后再得出极值，然后再计算端 类型一 函数定义域、值域 点值，比较大小，最大就是最大值，最小就是 最小值， 【例1】已知y=4+81十b的最小值为1，最 x2+1 2.函数的根与零点 大值为9，求实数a,b的值 整系数多项式零点的一个非常重要的定理： [解析] 由y=十8+b得 若既约真分数g(即(p,q)=1,p,g∈N)为 x2+1 (y-a)x2-8.x+y-b=0. 整系数多项式 anx”十an-1x”-1十…十a1x十a的零点， 当y=u时=“后之，当≠a时，因为此一 则pan,qao. 元二次方程有实数解，所以 强基数学·巅峰突破 △=64-4(y-a)(y-b)≥0 (1)当k2一5k+6=0即k=2或k=3时 →y2-(a+b)y+ab-16≤0.由题可得： 当k=2时，①式转化为y1=3>0,显然是恒 a+b=10 成立的 →a=b=5. ab-16=9 当=3时，①式转化为y1=一4x十3>0，对 [说明]本题实际上是利用判别式求值域. x∈R不可能恒成立. 【例2】设集合A={1,2,3,4,5,6,一一映射 (2)当k2一5k+6≠0时，即k2一5k+6>0 f:A→A满足条件：对任意的x∈A,有 →k>3或k<2且 f(f(f(x))=x.则满足上述条件的映射f △=[-4(k-2)]2-4×(k2-5k+6)×3<0 的个数是多少？ 1k>3或k<2,1k>3或<2， → [解析]先证不存在x∈A,使得 k2-k-2<0 -1<k<2. f(f(x)=x,f(x)≠x.否则，由f(x)∈A, 综上，解得一1<k<2,实数的取值范围是 有f(f(f(x)=f(x)≠x,与已知矛盾.因 (-1,2]. 此，对任意的x∈A,要么f(x)=x, 思考：函数f(x)=log[(k2-5k+6)x2-4(k 要么f(x)=x1,f(x1)=x2,f(x2)=x,且 2)x十3]的值域是R,其中a>0且a≠1， x1,x2,x互不相同， 【例4】已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈ 故只有以下3种情况： R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[一1,1]上的 (1)对任意x∈A,f(x)=x, 最大值、 这样的f只有1个； (1)证明：当|a≥2时，M(a,b)≥2； (2)f中存在一个循环a→bc→a,而对其他 (2)当a,b满足M(a,b)≤2时，求|a|+|b 三个元素x=a',b',c',满足f(x)=x.这样 的最大值 的f有C8×2=40个； [证明] 1)由f)=(+受+6-得 （3)f中存在两个循环a→b→c→a和 a''a.这样的f有C:Cx2X2 对称轴为直线x=一 2! 40(个). 由a≥2，得-号≥1，故f(x)在[-1,1 因此共有81个f满足要求. 上单调， [说明]在(2)中6个元素中选3个元素是 所以M(a,b)=max{|f(1)l,|f(-1)|}. f(x)=x,另外的3个元素a→b→c→a或 当a≥2时，由f(1)-f(-1)=2a≥4，得 a→c→b→a两种情况；而在(3)中，平均分成 max{f(1),-f(-1)}≥2，即M(a,b)≥2. 两组，而每组都有2种情况. 当a≤-2时，由f(-1)-f(1)=-2a≥4， 【例3】函数f(x)=log.[(k2-5k+6)x2- 得max{f(-1),-f(1)}≥2，即M(a,b)≥2. 4(k一2)x+3]的定义域是R,其中a>0且 综上，当|a≥2时，M(a,b)≥2. a≠1.求实数k的取值范围， (2)由Ma,b)≤2得|1+a+b=|f(1)|≤2， [解析]函数f(x)=l1og.[(k2一5k十6)x2 所以-3≤a+b≤1.11-a+b=|f(-1)川≤2， 4(k-2)x+3]的定义域是R 所以-1≤a-b≤3.故a+b≤3，a-bl≤3，由 台y1=(k2-5k+6)x2-4(k-2)x+3>0① la+bl,ab20, lal+161= 得|a+|b≤3. 恒成立. a-bl;ab<0,; 第三章函数及其性质 当a=2,b=-1时，|a|+|b=3, f(x)=m√1-x图象为椭圆的一部分， |f(x)|=|x2+2x-1|, f(x)=1一|x一2|图象为折线，画出函数的 此时易知|f(x)|在[一1,1]上的最大值为2， 图象如下： 即M(2,-1)=2. 所以|a+|b的最大值为3. 类型二函数图象 【例5】设定义域为R的函数 lgx-1川(x≠1)， f(a)= 则关于x的方程 作出y一的图象，求出两函数图象有5个 0 (x=1), f2(x)+bf(x)十c=0有7个不同实数解的充要 交，点时m的取值范围，临界的情况为x=4 条件是 ( ) 处的精圆与y=号相切， A.b<0且c>0 B.b>0且c<0 C.b<0且c=0 D.b≥0且c=0 此时f(x)=m1-(x-4)(x∈(3,5)， [解析]f(x)的函数 f'(x)= -m(x-4) 图象如图所示，根据图 f(x) √1-(x-4)2 象可知，要使方程 -m(x-4)1 3 √1-(x-4)7 (1), f(.x)+bf(x)+c=0 X= 有7个不同实数解，则方程中f(x)必有两个 由相切有 y=m√/1-(x-4)2 (2),由(1) 不同的取值，且满足：f(x)的一个取值大于 1 /y= 32 (3), 0,此时，x有4个不同的解；f(x)的另一个 取值为0，此时，x有3个不同的解. 得(x-4)2= 1 9m2+1 ①， 将f(x)=0代入方程得c=0,二次函数 3m2 y=子(x)十6fa)的对称轴满足一合>0， 代入(2)得y= ②，进一步解①得 √9m2+1 所以方程f(x)十bf(x)十c=0有7个不同 x1=4 (舍去，因为显然x<4), 实数解的充要条件是b<0且c=0. √9m2+1 故本题正确答案为C. x2=4- ③，将③代入(3)式，得 【例6】已知以4为周期的函数 √9m2+1 f(.x)= m/1-x,x∈(-11'(m>0). y 4 3 ④，联立②④， 1-|x-2|,x∈(1,3] 3√9m2+1 若方程3f(x)=x恰有5个实数解，则m的 得到关于m的方程27m一42m2一5=0， 取值范围为 ( 解得m=弓，由图象知m>0,从而m国 3 A9》 s 此时有4个交点：x=8处的精圆与y=号相 c(告》 n.(传 切，此时有6个交，点，与上述过程类似可解得 [解析] 函数方程 m=√7.所以符合题意的m的取值范围为 f(x)= m/1-2,x∈(-11]中， 1-|x-2|,x∈(1,3] m∈四小截未随正确答案为B 强基数学·巅峰突破 【例7】若x1满足2x+2=5,x2满足 =2x-1x-20≥-2 2x+2log2(x-1)=5,则x1十x2=() x∈(2,3]时，f(x)=2f(x-1) A号 B.3 =22(x-2)(x-3)≥-1， c号 D.4 x∈(n,n+1](n∈N)时， [解析]2=5-2x,2log2(x-1)=5-2x, f(x)=2"(x-n)(x-n-1)≥-2"-2， 即2-是-zogx-10=2-2 x(-1,0]时，f)=2fx+1D 作出y=21y=2 5 安+0≥- 8 y=log2(x-1)的图象（如图） 2fx+1) x∈(-2，-1]时，f()= y=x-1 +2a+10≥6 y=logz(x-1) ……y x∈(-n-1,-n](n∈N)时， y-x+ f(x)=、 2(x十n+1)(x+n)≥- 1 2n+3, 由图知y=2-1与y=log2(x-1)的图象关 故当x∈(2,3]时， 于y=x一1对称.它们与y=号一x的交点 5 令f(x)=22(x-2)(x-3)=-8 5 A,B的中点为y=2 一x与y=x一1的交点 符=子 3 C,2=4十=7 结合图象： 24· 个y 十，=故选C 【例8】函数f(x)定义域是R,满足f(x十1)= 2f(x),且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x-1). 若对任意x∈(-∞，m],都有f(x)≥-8 9 8 则m的取值范围是 () A-, B(,引 方法2：因为f(x+1)=2f(x), c-引 n.-o, .f(x)=2f(x-1), [解析] 方法1：.f(x十1)=2f(x), “xe0,1时，)-a(x-1De[-0, ∴f(x)=2f(x-1),f)=2f(x+1D. ∴.x∈(1,2]时，x-1∈(0,1]， “x∈(0,1]时，f(z)=x(x-10≥- f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2), ∴.x∈(2,3]时，x-1∈(1,2]， .x∈(1,2]时，f(x)=2f(x-1) f(x)=2f(x-1)=4(x-2)(x-3). 30 第三章函数及其性质 当x∈(2,3]时，由4(x-2)(x一3)= 设f(一b)=c,f(c)=-a,不妨设一b>一a, 9 那么c=f(-b)<f(-a),有 解得=号成= f(c)=-a<f(a)=-b, 若对任意x∈（一∞，m],都有f(x)≥一 8 c=f(-b)<f(-a)=b<a,f(c)=-a< 9 -b=f(a), 则如子 与函数单调递减矛盾，所以不存在x,使得 f(x)≠一x,证毕 故选B Ig a+log.c=3, 类型三函数的性质 【例11】 设a,b,c均大于1，满足 【例9】设f(x)是定义在[-1,1]上的偶函 Ig b-+log.c=4. 数，f(x)与g(x)的图象关于直线x=一1对 求lg alg c的最大值， 称，且当x∈[-3，-2]时，g(x)=2(x+2)3 [解析]设lga=x,lgb=y,lgc=之，由 a(x十2)（其中a为常数）. a,b,c>1可知x,y,z>0. 求函数f(x)的解析式. 由条件及换底公式知x十=3，y十=4， [解析]根据题意，当x∈[0,1]时，关于直 即xy十之=3y=4x. 线x=一1的对称点一2一x∈[一3，一2]. 由此，令x=3t,y=4t(t>0),则 f(x)与g(x)的图象关于直线x=一1对 之=4x-xy=12t-12t2. 称，则当x∈[0,1]时，f(x)=g(-2-x)=2 其中由之>0可知t∈(0,1).因此，结合三元平 (-2-x+2)3-a(-2-x+2)=-2x3+ax; 均值不等式得Ig alg c=xz=3t×12t(1-t) 当x∈[-1,0]时-x∈[0,1]，又因为f(x) 是定义在[一1,1]上的偶函数，知 =18×1(2-2)≤18×(+1+(2-2)3 f(x)=f(-x)=-2(-x)3+a(-x) =2x3-ax. 从而函数f(x)的解析式是 2x3-ax,x∈[-1,0]， 当1=2-2t,即t= （湘应的a:6e分别为 f(x)= -2x3+axx∈[0,1]. 100,10,10时ae取到振大值9 【例10】已知f(f(f(x))=-x, (1)求证：f(x)为奇函数； 【例12】已知f(x)是定义在R上的不恒为 (2)证明：若f(x)单调递减，则f(x)=一x 0的函数，且对于任意的a,b∈R,有 [证明](1).f(f(f(x))=一x, f(ab)=af(b)+bf(a). ∴.f(-x)=f(f(f(f(x))=-f(x), (1)求f(0),f(1)的值. .f(x)为奇函数. (2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论， (2)反证法：假设f(x)≠一x,那么存在一点 (3)若f(2)=2,u,=f2)0m∈N*), a,使得f(a)=-b≠一a, 求数列{un}的前n项和Sn [解析](1)令a=b=0,则f(0)=0; 令a=b=1, 则f(1)=f(1)+f(1)→f(1)=0. (2)令a=-1,b=x,则 f(-x)=-f(x)+xf(-1), 强基数学·巅峰突破 再令a=一1，b=-1,则f(1)=-f(一1) 设n=k一1时结论成立.则n=k时， f(-1)=-2f(-1)=0→f(-1)=0, 故f(一x)=-f(x),即f(x)是奇函数。 ①当6为偶数时，1()=1+x 21+…+ (3)当ab≠0时，fab》=-fa)+f) f（x)=f-1(a).因为飞-1为奇数，由 ab b 令g(x)=f2,则有g(ab)=g(a)+gb) 归纳假设f-1(x)在R上单调递增，且值域 为R.故方程fk-1(x)=0有且仅有一个实 →g(a")=ng(a), 根，设为xo,当x<x0时，f-1(x)<0; 故f(a”)=a"g(a”)=a"g(a)=na”-1·ag(a) 当x>x时，fk-1(x)>0,所以对f'(x)而言，只 -na-f(a)=Ka"-a-f(a). 有f'(x)=0,且当x<x时，f'(x)<0, 当x>x0时，fk'(x)>0. 故，9，”-(》厂f》: 所以x是f(x)的最小值，于是fk(xo)= 又因为1)-2)-2f(分)+2f(2) 1++++=无+0 =2f(2）+1=0, (因为为偶数)。f.(x)≥f.(xo)>0.即n 为偶数时f(x)>0恒成立. 故f份）=-名，=名·(》 ②当飞为奇数时，k一1为偶数，由归纳假设 fA-1(x)>0,所以f。'(x)=fA-1(x)>0,所以 f(x)在R上单调递增。再注意到k为奇数 1-3 时，多项式)1+x十号…+ k!。 【例13】请证明：方程1+x+ +品 当x→十∞时，f(x)十∞；当x→一o∞时， f(x)→-oo. 0在”为偶数的时候设有实数根，在 即当n为奇数时，fn(x)单调递增，且值域为 n为奇数的时候，有且仅有一个实数根 （-∞，十∞). [解析]用归纳法证明：n为奇数时，fn（x) 综上，当n为偶数时，fn(x)>0恒成立，故 单调递增，且值域为（一∞，+∞）；n为偶数 fn(x)=0没有实数根；当n为奇数时，fn(x) 时，fn（x)>0恒成立.这里 单调递增，且值域为（一∞，十∞），故fn(x) =0有且只有一个实数根. (1+x十干3++之 n! 类型四分段函数 对f,()求导有f()=1+十 【例14】 设f(x)= x-I (n-1)1=fm-1(x). n(x+1D(≥-）， n=1时，f1(x)=1十x,它在R上单调递增， g(x)=x2-4x- 4,3a∈R,使得 且值域为R f(a)十g(b)=0,求b的取值范围. 0=2时，f()=1十x十，=1十x十22 [解析] 当x<-时，∈(-2,0)， -2x+1D+号>0. f)=(+1)-1[-1.0,当x2-2时， 故n=1,2时结论成立. f(x)=ln(x+1)∈[-ln2,+o∞)，所以 32 第三章函数及其性质 f(x)∈[-1，+o∞)，故g(b)∈(-o∞，1] 2)定义g()=0ieN).由 所以b2-4b-4≤1→-1≤b≤5. 【例15】 已知定义在R上的函数 (0,10=} [2vxe(品)， log3x-1,0<x≤9， f(x)= 设a,b,c是三 4-x,x>9. 先作映射g,()=21(-2), 个互不相同的实数，满足f(a)=f(b)=f(c), 求abc的取值范围. 这样就起(2品)扩完到(010，再份1)中 [解析]假设a<b<c.由于f(x)在(0,3]上 的定义，由此基础上再构造值域为[0,1门的 严格递减，在[3,9]上严格递增，在[9，十∞) 映射g(x).则此问题得到解决. 上严格递减，且f(3)=0,f(9)=1,故结合图 o(-N). 象可知a∈(0,3)，b∈(3,9)，c∈(9，十∞)， 即g(x) 并且f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1).由 fgx0(x∈(2，N), f(a)=f(b)1-logsa=logsb-1, 即log3a十log3b=2,因此ab=32=9.于是 其中g:)=2+(e-2)N abc=9c. [说明] 此题的第(1)问还可以这样构造： 又0<f(c)=4-<1,故c∈(9,16).进而 abc=9c∈(81,144). o(e=》, 所以，abc的取值范围是(81,144). (x 1 f(x)= n千2n∈N*）, [说明]对任意的r∈(81,144)，即co=9, r x(x∈(0,1)且x≠ n+,n∈N*). 则co∈(9,16)，从而f(co)∈(0,1).过点(c, f(co)作平行于x轴的直线l,则l与f(x) 但是用这个思路不容易解决第(2)问. 的图象另有两个交点(a,f(a),(b,f(b) 类型五 抽象函数 (其中a∈(0,3)，b∈(3,9)，满足 【例17】函数f(x)在[a,b]上有定义，若对任意 f(a)=f(b)=f(c),且ab=9,从而abc=r. 的∈a,小，有白)≤f)+ 【例16】试构造函数f(x),g(x),其定义域为 f(x2)],则称f(x)在[a,b们上具有性质P.设 (0,1),值域为[0,1]. f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下 (1)对于任意a∈[0,1]，f(x)=a只有一解； 命题： (2)对于任意a∈[0,1]，g(x)=a有无穷 个解. ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的； [解析](1)定义函数如下： ②f(x2)在[1,3]上具有性质P; 1 ③若f(x)在x=2处取得最大值1，则f(x) 2x(x=2n∈N*), 1,x∈[1,3]； 3x(x= n∈N*,n≥2)， ④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3]，有 )=o=3》 f+++≤)+fx,)+ 4 f(x3)+f(x4)]. x(x∈(0,1)且x≠ , 其中真命题的序号是 A.①② B.①③ 3,n∈N*). C.②④ D.③④ 强基数学·巅峰突破 1≤<3， →f(x+T)=-f(xT)→f(x+2T)=-f(x) [解析]在①中，反例：f(x) →f(x+4T)=f(x),所以4T是f(x)的一 2,x=3, 个周期。 在[1,3]上满足性质P,但f(x)在[1,3]上不 方法2：因为f(T)=0,令x=x十T,y=T. 是连续函数，故①不成立； 所以f(x+2T)+f(x')=2f(x'+T)·f(T). 在②中，反例：f(x)=一x在[1，√3]上满足 故f(x'+2T)=-f(x'). 性质P,但f(x2)=-x2在[1,5]上不满足 即f(x+2T)=-f(x)→f(x+4T)=-(-f(x) 性质P,故②不成立； =f(x),所以4T是f(x)的一个周期. 在③中：在[1,3]上， 最后证明f(x)+f2(T-x)=1,在（※）式 f2=f+g)≤f+f4-]: 中令x=y, 则f(2x)+f(0)=2(x) f(x)+f(4-x)≥2， →f(2x)+1=2f(x).① .f(x)≤f(x)mx=f(2)=1,故f(x)=1, 在①中，将x用T一x代替有 \f(4-x)<f(z)mx=f(2)=1, f(2T-2x)+1=2f(T-x). .对任意的x1,x2∈[1,3]，f(x)=1,故③ 注意到f(x十2T)=一f(x)和f(x)是偶函 成立； 数，f(2T-2x)=-f(-2x)=-f(2x), 在④中，对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3]，有 从而-f(2x)十1=2f2(T-x)② ①+②得f(x)+f(T-x)=1 2 2 →f2(x)≤1→-1≤f(x)≤1. 【例19】已知f(x)满足对任意a,b∈R,有 2[)+3≤x)十 f(a·b)=af(b)+bf(a),且|f(x)l≤1. 求证：f(x)恒为零， f(x2)+f(x3)+f(x4)],故④成立.故选D. [证明]先证f(x)为奇函数.令a=b=1, 【例18】已知函数f(x)不恒为零，且对Hx,y∈ f(1)=2f(1)→f(1)=0; R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)(※)， 令a=b=-1,f(1)=-2f(-1) 且存在常数T(T≠0)，f(T)=0. →f(-1)=0. 求证：4T是f(x)的一个周期，且-1≤f(x)≤1. 令a=x,b=-1,f(-x)=xf(-1)-f(x) [证明]首先证明4T是f(x)的一个周期， =一f(x)→f(x)为奇函数. 为此先证明f(0)=1, 再证，当x∈(0，十∞)时，f(x)=0. 方法1：在（※）式中令x=y=0,则2f(0)= 令a=b=x,有f(x2)=2xf(x),f(x3) 2f2(0)→f(0)=0或f(0)=1; =3x2f(x),…,f(x")=nx-1f(x),n∈N*. 若f(0)=0,令y=0,有f(x)+f(x) 若x>1,f(x")=nx”-1f(x).若f(x)≠0，则 =2f(x)f(0)→f(.x)=0,矛盾！故f(0)=1. |f(x")|=nx"-1f(x)|→+oo(n→+o∞)， 再证明f(x)是偶函数： 这与|f(x)|≤1矛盾.故x>1时，f(x)=0. 在（※)式中令x=0,则 若0x1,令a=x,b因为f)=xf)十 f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y) →f(y)=f(一y),故f(x)是偶函数. f,而f)=0,故fx)=-f) 在（※）式中令y=T,则 f(x+T)+f(x-T)=2f(x)·f(T)=0. 万>1，）-0上面巴证)，所以01时， 第三章函数及其性质 f(x)=0.故x∈[0，十∞)时，f(x)=0,再由 当△=a2+4a≥0时，h(x)=0有两个实根 f(x)为奇函数知f(x)=0. 【例20】设函数f(x)满足f(xy)=f(x)+ x1-a十0，x,=十a年d 2 2 f(y),x,y∈(-o∞，0)U(0,+∞)，且x>1 (1)当-4≤a≤0时，△≤0，所以h(x)≥0， 时，f(x)>0. 要使g(x)在区间(0,1)内单调递增， (I)证明：f(x)是偶函数且f(x)在区间 (0,十∞)上单调递增； 需满足(，1)S(受，+∞)，所以号≤0， (Ⅱ)设函数g(x)=f(x2-ax-a)在区间 即a≤0，故-4≤a≤0. (0,1)内单调递增，求实数a的取值范围. (2)当a<一4时，△>0，要使g(x)在区间 [证明]（I)先证明f(x)是偶函数， (0,1)内单调递增，需满足(0,1)x1,%) 方法1：任取x∈（一∞，0）U(0,+∞)， 因为f(x)=[/x)+f]-2f(x2) 或(0,1)C(x,+∞)，所以号≥1（含）， =2f(-x)+f(-x)]=f(-x 或，≤0，即a十+40≤0. 2 所以f(x)是偶函数. 解得a≤0，故a<一4. 方法2：令x=y=1,则有 (3)当a>0时，△>0，要使g(x)在区间 f(1)=f(1)+f(1)→f(1)=0, (0,1)内单洞递增，需满足(0,1)(，号)， 再令x=y=一1，则有f(-1)=0, 在f(xy)=f(x)+f(y)中，令y=-1, 或(0,1)二(x2,十∞)， f(一x)=f(x),所以f(x)是偶函数. 所以1≤0且号≥1，或x≤0（舍），所以 再证明f(x)是增函数， 方法1：任取>0，有x)+f(》 a-a+4u≤0且a≥2，解得a≥2. 2 综上可得，a的取值范围为（一∞，0]U[2, =f1)-0>f)=-f(2） 十∞). 设x2>x1>0,f(x2)-f(x1) 【例21】若函数形式为f(x,y)=a(x)b(y)十 =fx+f）=)≥0（要>小： c(x)d(y),其中a(x),c(x)为关于x的多项 式，b(y),d(y)为关于y的多项式，则称 所以f(x2)>f(x1),故f(x)在区间 f(x,y)为P类函数，判断下列函数是否是P (0,十∞)上单调递增」 类函数，并说明理由。 方法2：任取x2>x1>0,因为 (1)1+xy; (2)1+xy+x2y2. f(x)+f(y)=f(xy),所以 [解析](1)假设f(x,y)=1+xy=a(x)b(y)+ f)-f)=f(）,所以 c(x)d(y),又f(0,y)=1,f(x,0)=1,可知 b(y),d(y)和a(x),c(x)中除了常数项外的 fx:)-fx)=）>0(>1 系数成比例. 所以f(x2)>f(x1), 故f(x)在区间(0，十∞)上单调递增. 令A=a,B-6w,所以 (Ⅱ)令h(x)=x2-ax-a,其图象的对称轴 1+xy=(A+a)(B+b)+(mA+c)(nB+d), ab+cd=1,a+cn=0,6+dm=0 为x=受 →cd(mn+1)=1. 强基数学·巅峰突破 令m=n=1,a=6,c=d,得a==一2， 1 0C。=5(C5+C3) 992 =4=>AB= 1 1×29= 298 2 99! 令A=,B=可得1十y=(-× P真题实战演练 (-）+(经+2(+ 、选择题 1.(2018·北大)记Sn表示边长为整数，周长为n 所以1十xy是P类函数. 且互不全等的三角形个数，则S2o18一S215的值为 (2)由(1)中的讨论可知，在本题中满足 ( (mn+1)AB=x2y2+xy,由于A,B没有常 A.3 B.0 数项， 故最高项为anbnx"y”,最低项为a1b1xy.所以 C.-3 D.以上选项都不对 AB=a2b2x2y+azbxy+abzxy2+abixy, 2.若定义在R上的奇函数f(x)在（一∞，0）上 ∴.a2b1=0,a1b2=0.可知不成立. 单调递减，且f(2)=0,则满足xf(x一1)≥0 所以1十xy十xy2不是P类函数， 的x的取值范围是 () 【例22】已知f(x)是R上的奇函数，f(1)=1, A.[-1,1]U[3,+∞) 且对任意x<0,均有f(乙）=xf(x). B.[-3,-1]U[0,1] C.[-1,0]U[1,+∞) 求f1)f(00)+f(2)f(品)+f(得》 D.[-1,0]U[1,3] f(8)+…+f0)f()的值. 3.(2012·北大)函数y=x+2+|1-x+|x 为增函数，则x必属于区间 () [解析] 设a=f(分)(n=1,2,3,…),则 A.(-∞，-2] B.[-2,0] a1=f(1)=1. C.[0,+∞) D.(-∞，0] 在f二)=xf(x)中取x=-(k∈N*), 4.(2012·北大)方程√x+11-6√x+2+ 1 注意到二 名1中7及)为 √x+27-10√x+2=1的解的个数是( 1 A.1 B.3 C.0 D.无穷多个 数可知f中)=一(-)=1（层）： 5.(2016·北大)函数 即a+1= ak 从两a,-a·-日 f(x)= 则满 1 (n-1)1因此 0(x庄Q), 1 名(-1)1(100-) 足x∈(0,1)且f(a)>7的x个数为(） 1 A.12 B.13 ·（99) C.14 D.前三个答案都不对 36 第三章函数及其性质 6.(2016·北大)f(x)是定义在R上的函数，且对 A.0 B.2018 任意实数x均有2f(x)十f(x2一1)=1，则 C.4036 D.以上选项都不对 f(-√2)等于 12.(2015·清华)设数列{an}为等差数列，p, A.0 .2 q,,l为正整数，则“p+q>k+l”是 “ab十a>ae十a,”的 条件() c D.前三个答案都不对 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 7.(2020·北大)设函数f(x,y,之)= x+y 13.(2015·清华)（多选）设函数f(x)的定义域 y十之，其中xy,之均为正实数，则有 为(-1,1)，且满足：①f(x)>0,x∈(-1， y十之"之十x 0:@f)+f=f)(-1, A.f既有最大值也有最小值 1),则f(x)为 ( B.f有最大值但无最小值 A.奇函数 B.偶函数 C.f有最小值但无最大值 C.减函数 D.有界函数 D.前三个答案都不对 14.(2015·清华)（多选）如图，已知直线y=x 8.(2017·北大)以下哪组大小顺序是正确的 +n与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)= ( f(x)-kx有 016<10g20u52016<1og20u92017 A. 2015 B.1og201s2016<1Dg2062017<2012 2016 C.2016<1og62017<10g9s2010 A.2个极大值点 B.3个极大值点 C.2个极小值点 D.3个极小值点 Dlbges2017<1bg:as20o16<号8 lx+ly≤2， 15.(2015·清华)（多选）设不等式组 y+2k(x+1) 9.(2017·北大)函数f(x)=x(x+1)(x+2) 所表示的区域D,其面积为S,则 ) ·（x+3)的最小值为 ( A.若S=4,则k的值唯一 A.-1.5 B.-1 C.-2 D.以上答案均不正确 B若S=2,则的值有2个 10.(2018·北大)已知f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b)对任意实数a,b成立， C若D为三角形，则0<≤号 则对于任意正整数n,f(n)的可能性有 D.若D为五边形，则k>4 种 ( 16.(2015·清华)（多选）设函数f(x)= A.1 B.2 C.无穷 D.以上选项都不对 11.(2018·北大)已知f(x)=a.x2+bx+c(a≠0)， Af)E号 且f(x)=x无实根，设f(x)=f(x), B.If(x)|≤5lxl fn(x)=f(fm1(x),问f2o1(x)=x的实根个 C.曲线y=f(x)存在对称轴 数为 D.曲线y=f(x)存在对称中心 强基数学·巅峰突破 17.（2015·清华)（多选）设非负实数x,y满足 23.(2017·清华)（多选）已知x2+xy+y2=1, 2x+y=1,则x十√Jx2+y的 ( 求(x十y)mx和xmax A,最小值为号 B最小值为号 A.(x+y)max= 23 3 B.(x十y)max=1 C.最大值为1 D.最大值为1+2 3 C.tma 3 D.mx=1 18.(2016·清华)（多选)a,b,c∈R, 24.(2017·清华)已知A={-1,0,1}, a2+b+c2=1, 那么 ( B={2,3,4,5,6.f是一个从A到B的映 a+b+c=1, 射，则满足对Hx∈A,x+f(x)十xf(x)为 2 A.dmax3 B.(abc）max=0 奇数的映射f的种数为 () D.(abe)mw--27 4 A.40 B.50 C.60 D.70 19.(2017·清华)（多选）已知方程kx=sinx在 区间（一3π，3π）内有五个实数解x1,x2,x3, 25.(2019·北大)y=sinx+2019与y= 22 x4x5且x1<x2<x3<x4<x5,则 ( 交点个数为 A.Is=tands A.1 B.2 B8<,<x C.3 D.都不对 C.x2x4,x5成等差数列 26.(2018·清华)（多选）若函数f(x)满足：对 D.x1十x2十x3十x4十x5=0 于任意三角形的三边长a,b,c,f(a),f(b), 20.(2017·清华)（多选）函数f(x)满足f(m+ f(c)也能构成三角形三边长，则称f(.x)具 1,n+1)=f(m,n)+f(m+1,n)+n, 有性质P,则 () f(m,1)=1,f(1,n)=n,其中m,n∈N*,则 A.f(x)=√x具有性质P B.f(x)=x2不具有性质P A.使f(2,n)≥100的n的最小值是11 C.f(x)=√x不具有性质P B.使f(2,n)≥100的n的最小值是13 D.f(x)=x2具有性质P C.使f(3,n)≥2016的n的最小值是19 D.使f(3,n)≥2016的n的最小值是20 27.(2020·北大)方程√x+5-4√x+1+ 21.(2017·清华)（多选）已知函数f(x)=x2十 √x+2一2√x+1=1的实根个数为() 2x.若存在实数t,当x∈[1，m)时有f(x十 A.1 B.2 t)≤3.x恒成立.则实数m可以等于( C.3 D.前三个答案都不对 A.3 B.6 C.9 D.12 28.(2020·北大)使得5x+12√xy≤a(x+y) 22.(2017·清华)（多选）已知f(x)=x2+ax十 对所有正实数x,y都成立的实数a的最小 b,当x∈[-1,1]时，f(x)|≤2，则( 值为 ( A.a≤2 B.a≥-2 A.8 B.9 C.b≥-1 D.b≤1 C.10 D.前三个答案都不对 第三章函数及其性质 2e 29.(2020·清华)设函数f(x)= eFe+sin z, 34.(2024·清华)（多选）a十e“=b+lnb=4,则 () 在区间[一2,2]上的最大值为M,最小值为 A.aln 6+bln a>1 m,则 B.aln b+bIn a=1 A.M+m=2 B.M+m=1 C.ab<4 C.M-m=2 D.M-m=1 D.ab>e 30.（2020·清华)设实数无1，x2,…,x21满足 35.(2024·清华)f(x)是在[0,1]上的连续函 0≤x,≤1(i=1,2,…,21),则 lzi-zel 数，设A.=三，）-则( A.An≤A2m B.An≤A+m 的最大值为 C.2An≤A2m D.2An≤Am+m A.110 B.120 36.(复旦)设a,b∈(-∞，+∞)，b≠0，a,B,y C.220 D.240 是三次方程x3+ax十b=0的3个根，则总以 31.(2020·清华)（多选）设a,b,c均为大于零 1+二，1+1,1+1为根的三次方程是 a B'B Y'Y a 的实数，若一元二次方程ax2+bx十c=0有 实根，则 A.a2x+2abx2+bx-a=0 1 A.max{a,b,c}≥ (a+b+c) B.b2x+2abx2+a2x-b=0 2 C.a2x+2ab2x2+bx-a-0 B.maxa,b,c/≥4} (a+b+c) D.b2x+2a2bx2+ax-b=0 二、填空题 1 C.min{a,b,c}≤ (a++6+c) 4 37.(2019·清华)在图形中相距最远的点之间 的距离称为图形的直径，则曲线x4+y2=1 D.minia,b,c≤3a+b+c) 的直径为 32.(2021·清华)已知[x]为高斯函数， 38.(2019·清华)已知f(x)为奇函数， f(x+1)为偶函数，当一1≤x≤0时， [+[+周 =x解的组数为 )=,则2) A.30 B.40 39.(2019·清华)x∈[-1,1]时，x3-ax+2>0 C.50 D.60 恒成立，则a的取值范围为 33.(2021·清华)将函数y=√J4+6x-x2-2 40.(2018·清华)f(x)为定义在实数集上的 (x∈[0,6])的图象逆时针方向旋转0(0≤ 增函数，且满足f[f(x)-3]=4, 则f(2)= 0≤α)，得到曲线C.若对于每一个旋转角0， 曲线C都是一个函数的图象，则α的最大 41.(2019·北大)y=1)的递增区间为 x2+1 值为 ( A.arctan 2 2 B.arctan 2.(2017·清华)已知f)=十，+6，g) [f(x)]-1,其中a,b,c为已知参数，且 C. D. a≠0，c>0.以下判断正确的有 39 强基数学·巅峰突破 ①f(x)关于(0，b)中心对称；②f(x)可能在 54.(2024·中国科大)若函数f(x)=x3+ax十 (0,十∞)上单调递增；③f(x)有界；④g(x)=0 2有一个二重零点，则a的所有可能取值是 的解可能为{士1，士2. 43.(2017·清华)f(x)=x2-2x-a2+1,若 55.(2024·中国科大)函数f(x)= 3xo,使得[xo,x十2]二{xf(x)≤0}，求a x2+√Jx-3x2+2x+5的值域是 的取值范围 56.(2024·中国科大)函数f:R→R满足Hx, 44.(2015·北大)对于任意实数x∈[1,5]， y∈R,f(x+f(y))=f(f(x))+y,且 |x2+px十q≤2，不超过Wp2+q2的最大整 f(1)=2024,则f(2024)= 数是 57.(2024·清华)f(u)=u2+au+b-2, 45.(2017·清华)已知实数x,y满足 5.x2-y2-4xy=5,求2x2+y2的最小 “-2十子fu)有零点，则。+的最小值 值是 为 46.(2017·清华)求函数f)=[图]-2[ 58.(2005·北大)√x2-2x+10-√Jx2-4x+5 的值域是 的值域 59.(2025·清华)已知x2+y2+z2+xy+yz十 47.(2018·北大)f(x)=a2x-4a-1,其中 x2≤1，则x2+y2+z2的最大值为 x∈(-∞，-1]U[2,+∞)，a∈(0,1)U 三、解答题 (1,+∞)为参数，若f(x)的最小值为一5， 60.(2014·北大)已知函数f(x)=lg(x2-2ax 求a的取值范围 +a)的值域是（一c∞，+c∞），求实数a的取 48.(2021·北大)若实数a,b,c,d满足 值范围。 ab+bc+cd+da=1;a2+262+3c2+4d2 的最小值为 49.(2021·北大)已知a,b,c是三个不全相等 的实数且满足a=ab十c,b=bc十a,c=ca十b, 则a十b十c= 50.(2022·清华)对x∈R,f(x)满足 f(x)+f1-x)=1,f(x)=2f(号)，对于 0≤x1≤x2≤1，恒有f(x1)≤f(x2), 则f2022) 51.(2022·北大)已知f(x)是二次函数， -2)-0,且2z≤1(2)≤，则 f(10)= 52.(2023·北大)函数 fx)=min(sin,cos,-是x+1在[0，x灯 上的最大值是 53.(2023·清华)已知a.x3+bx2+x+1=0 (a<0)恰有两个零点，则a+b的取值范 围是 ￥0 第三章函数及其性质 61.(2016·北大)求1og(-x2+x+2)的单调 63.(2015·北大)已知f(x)为二次函数，且a, 增区间. f(a),f(f(a),f(f(f(a))成正项等比数 列，求证：f(a)=a. 64.(2017·北大)已知x,y∈R,且4(x-1)2+ 62.(2014·北大)函数f(x)满足：对任意的实 (y-1)2=1,求y的最大值. 数a,6有f(吉2）=1a0,且 3 f(1)=1,f(4)=7,求f(2014)的值. 41 强基数学·巅峰突破 65.(2017·北大)已知f(x)=10+1g(W+1+ 67.(2018·北大)f(x)=[x[x],记f(n)=am, x)-10x+10,求f(3x+1)+f(x)>20的 求0，+2018 的最小值. 解集. n 66.(2017·北大)求函数x-6+31-x的最 68.(2016·清华)已知0<log.号<1且a≠1， 大值. 求a的取值范围. 42 第三章函数及其性质 69.(2019·北大) 71.(2019·北大)证明：不存在映射f:{1,2,…, 已知f(x)=W5+√5+√5+√5+x,求 2019→{-1,1，使∑fi)fG)=0. f(x)图象与它的反函数图象交点的横 1≤j2019 坐标. 72.(2014·清华)记(f。g)(x)为f(g(x)), f1(x)为f(x)的反函数； 70.（2019·北大)已知y=asin x在区间 (1)求证：(fg)1(x)=(g1。f1)(x): (2)F(x)=f(-x),G(x)=f1(-x), [0,引上与其反函数有2个交点，求a的取 若F(x)为G(x)的反函数，求证：f(x)为奇 值范围。 函数. 43 强基数学·巅峰突破 73.(2018·清华)函数f(x)= 74.810·清华)设雨数)-且存在函数 P为函数曲线上横坐标为2的定点，A(x1, S- g(t)=ad+b(>号a≠o,满足 y1)和B(x2y2)为函数曲线上的动点，满足 2)-2 2O产=OA+Oi】 (1)写出f(x)的定义域和单调区间； (1)证明：存在函数t=(s)=cs十d(s>0), (2)问：对于任意A(x1,y1),满足题意的 满足2)-2，， B(x2y2)是否存在？若存在，结果是否 (2)设x1=3,xn+1=f(xn),n=1,2,….证 唯一？ (3)a,=f(n)+…+f(nin∈N), 明：lx。21≤3 6.=2018×(←3)，T=6…,间T 何时取得最大值？ 44 第三章函数及其性质 75.(2011·清华)函数f(x) 2x ax+bf(1)=1, 77.(2025·北大)x3+ax2-(1-a)2=0有三 f》是令-名1=fa小 个不同的实根1x2x3,且十十 (1)求数列{xn}的通项公式： ,>号求。的取值范同 1 (2)证明：x1x2…x+1>2e 76.(2011·北大)求f(x)=|x-1|+ |2x-1+…+|2011x-1的最小值.