专题5 第45练 平面向量基本定理及运算-2027届高三数学一轮复习微题型练习

**基本信息** 聚焦平面向量基本定理及运算，以坐标法、基底法为核心，构建"概念-运算-应用"三阶训练体系，渗透数学抽象与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1-3、填空9-10|坐标法转化、线性表示法则|从向量基本概念到线性运算，强化基底意识| |几何应用|单选4-5、填空10|三角形法则、投影几何意义|结合平面图形（梯形、正方形）深化定理应用| |综合判断|多选7-8、单选6|数量积公式、反证法判断基底|通过向量关系推理，培养逻辑思维与数学表达|

专题5　平面向量与复数 第45练　平面向量基本定理及运算 (分值：52分) 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1. (2026高三上涪城月考)已知P是△ABC所在平面内一点，满足=，若AB⊥AC，，AB=6, 则= (　　) A.-12 B.12 C.-18 D.18 2.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若=+，=λ，则λ等于(　　) A. B. C. D. 3. 在中，AD = AB，点 E 平分线段 CD。设，，则 = ( ) A. - B.  C. - D.  4. 如图，等腰梯形 ABCD 中，AB = BC = CD = 3AD，点 E 为线段 CD 中点，点 F 为线段 BC 的中点，则 = (　　) A. B.  C.  D.  5. (2025高一下·东莞期中)《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH．其中O为正八边形的中心，若OA = 1，点P为正八边形边上的一个动点，则下列说法正确的是( ) A. 的最大值为1 B.  C.  D.  6. (2025 高一下·广州期中) 若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是 ( ) A.  B.  C.  D.  二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7. (2025 高一下·沭阳期中) 下列说法正确的是 ( ) A. 若都是单位向量，则 B. 在四边形中，若，则四边形是平行四边形 C. 若，则 D. 若是平面内的一组基底，则和也能作为一组基底 8.设向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=|b|=1，|c|=，则下列结论正确的是(　　) A.a·b+b·c+c·a=- B.〈a，b〉= C.|a-c|= D.cos〈a-c，b-c〉= 三、填空题(每小题5分，共10分) 9. (2025 高一下·泗阳期中) E 为△ABC 所在平面内的点，，若，则_______ 10. 在中，已知是边的中点，是线段的中点，若，则的值为______ 。. 第45练　平面向量基本定理及运算 (分值：52分) 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1. (2026高三上涪城月考)已知P是△ABC所在平面内一点，满足=，若AB⊥AC，，AB=6, 则= (　　) A.-12 B.12 C.-18 D.18 答案　B 解析　解:设D是AB的中点， 由=，则= -(= - 所以，= 又因为AB⊥AC, 则=+)= = =12 故答案为:B. 2.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若=+，=λ，则λ等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD边长为6， 则A(0，0)，B(6，0)，D(0，6)，C(6，6)，E(6，3)，F(3，6)， ∴=+=(6，0)+(0，6)=(4，5)， ∴G(4，5)，=(-2，2)，=(-3，3)， ∴=，∴λ=. 3. 在中，AD = AB，点 E 平分线段 CD。设，，则 = ( ) A. - B.  C. - D.  答案　D 4. 如图，等腰梯形 ABCD 中，AB = BC = CD = 3AD，点 E 为线段 CD 中点，点 F 为线段 BC 的中点，则 = (　　) A. B.  C.  D.  答案　B 解析　解：根据向量加法的三角形法则，， 因为点 F 为线段 BC 的中点，所以，同理可得， 已知 AB = BC = CD = 3AD ，，由；， 又因为， 所以， 将，代入，可得， 将，代入上式： . 故答案为：B. 5. (2025高一下·东莞期中)《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH．其中O为正八边形的中心，若OA = 1，点P为正八边形边上的一个动点，则下列说法正确的是( ) A. 的最大值为1 B.  C.  D.  答案　A 解析　解：在正八边形ABCDEFGH中，线段AE,BF,CG,DH被点O平分，AE⊥CG, BF⊥DH ， ∠ABC = 135°，在△AOB中， A、当点P在线段CD上时，在上的投影向量的模最大，而CD⊥AB ， 因此的最大值为，故A正确； B、，故B错误； C、在△GOD中，， ，故C错误； D、，因此，故D错误. 故答案为：A. 6. (2025 高一下·广州期中) 若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是 ( ) A.  B.  C.  D.  答案　C 解析　如图所示 设，，则， 由，可得，则为等腰三角形， 设为的中点，则，且，则，即， 故。 故答案为：C. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7. (2025 高一下·沭阳期中) 下列说法正确的是 ( ) A. 若都是单位向量，则 B. 在四边形中，若，则四边形是平行四边形 C. 若，则 D. 若是平面内的一组基底，则和也能作为一组基底 答案　BD 解析　解：A：若都是单位向量，则模长相等，方向不一定相等，A错误； B：在四边形中，若，则与平行且相等，四边形是平行四边形，B正确； C：向量不能比较大小，C说法错误； D：若是平面内的一组基底，则不共线， 假设和共线，即， 所以，此时无解， 所以和不共线，和也能作为一组基底，D正确； 故答案为：BD 8.设向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=|b|=1，|c|=，则下列结论正确的是(　　) A.a·b+b·c+c·a=- B.〈a，b〉= C.|a-c|= D.cos〈a-c，b-c〉= 答案　ACD 解析　将a+b+c=0平方，得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+a·c+b·c)=0， 由a2=b2=1，c2=3，得a·b+b·c+c·a=-，故A正确； 由a+b=-c平方，得(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2，得a·b=，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉=，故B不正确； 因为a+c=-b，所以|a+c|=|b|=1，1=|a+c|2=4+2c·a，所以c·a=-， 所以|a-c|2=4-2c·a=7，即|a-c|=，故C正确； 由选项C可得，b+c=-a，与C同理可得，b·c=-，|b-c|=， 则(a-c)·(b-c)=a·b-b·c-a·c+c2=， 所以cos〈a-c，b-c〉=，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9. (2025 高一下·泗阳期中) E 为△ABC 所在平面内的点，，若，则　　　. 答案 【解析】【解答】解：由， 可得， 因为，所以，则。 故答案：。 10. 在中，已知是边的中点，是线段的中点，若，则的值为______ 。. 答案　； 【解析】【解答】解：如图所示： ， 因为，所以。 学科网（北京）股份有限公司 $