上海市青浦高级中学2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

上海市青浦高级中学2024学年第二学期期末质量检测

高一数学试卷

考试时间：90分钟  满分：100分

一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题．

1. 设全集，集合，则______．

2. 不等式的解集为______________．

3. 已知扇形的圆心角，半径为4，则该扇形的面积为______________．

4. 计算_____.

5. 已知角的终边经过点，则__________.

6. 在复数范围内，的所有平方根为______.

7. 已知等差数列满足，，则______________．

8. 若、都是锐角，且，，则______________．

9. 已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为_________.

10. 已知向量，向量在方向上的投影向量为，则______________．

11. 已知函数，数列满足，且（为正整数），则______________．

12. 已知、、、、五个点，满足，，则的最小值为______．

二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．

13. 设是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（    ）

A. 和 B. 与

C. 与 D. 与

14. 用数学归纳法时，从“k到”左边需增乘的代数式是（    ）

A.  B.

C.  D.

15. 在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

16. 已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ）

①若，则为内心

②若，则为等腰三角形

③若，则为的外心

④若，则点的轨迹一定经过的重心

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17. 已知为虚数单位，，复数．

（1）若是实数，求的值；

（2）若是纯虚数，求的值．

18. 已知为坐标原点，，，．

（1）若、、三点共线，求的值；

（2）若与夹角为钝角，求的取值范围．

19. 已知复数，，是虚数单位．

（1）若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值；

（2）当为何值时，关于的二次方程有一个实根．

20. 某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%．

（1）求今年1月到12月该消毒剂的总产量（精确到升）；

（2）从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内（不含120升）？

参考公式：月产消毒剂中不合格的量=月产量×（1－月产品合格率）

21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”，

（1）若向量为函数的“线性向量”，求

（2）若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值；

（3）若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围.