第六章 平面向量及其应用 章末测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 平面向量及其应用单元卷，覆盖向量基底、解三角形、向量运算等核心知识，通过数学建模（如测量雕像高度）和综合解答题（如向量与三角结合），适配单元复习，提升数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|向量基底（1题）、解三角形（2题）|基础巩固，考查几何直观与运算能力| |多选题|3|三角形解的个数（9题）、三角形性质（11题）|能力提升，体现推理意识与批判性思维| |填空题|3|向量模最值（12题）、文化情境测量（14题）|创新应用，融入数学建模与空间观念| |解答题|5|向量与三角综合（16题）、四边形解三角形（19题）|综合探究，培养问题解决与模型意识|

第六章 平面向量及其应用章末测试解析 一、单选题 1．下列向量中，可以和组成平面向量基底的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项：因为零向量和任意向量共线，即零向量与共线，它们不能组成基底，故不正确； 选项：因为，所以向量与不共线，它们可以组成基底，故正确； 选项：因为，所以，向量与共线，它们不能组成基底，故不正确； 选项：因为，所以，向量与共线，它们不能组成基底，故不正确. 2．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【详解】由正弦定理，得； ，，又，. 3．在中，已知，则的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【分析】由正弦定理及两角差的正弦公式求解. 【详解】由可得， 所以， 即， 因为，所以， 所以，即， 所以的形状为等腰三角形. 4．在平行四边形中，为的中点，若，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在平行四边形中，为的中点， 所以， 所以， 又，所以，， 所以． 5．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标运算求解. 【详解】因为，，所以，解得. 6．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（     ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由向量与向量共线，且向量不共线， 得，所以. 7．已知的内角、、的对边分别为、、，若面积，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合三角形面积公式与余弦定理建立关于角C的三角函数关系，再利用同角三角函数基本关系求解. 【详解】根据三角形面积公式，的面积， 由余弦定理得. 由可得， 化简得 ， 两边平方得， 即， 整理得， 因为C为三角形内角，即，故，解得. 8．已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 解得，即， 因为，， 所以，， 所以，解得，， 当时，，， ，， 则在方向上的投影向量的坐标是. 二、多选题 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足下列条件的三角形有唯一解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】A：由正弦定理，可知， 因为，所以，所以角B为锐角，所以此时三角形有唯一解； B：由正弦定理，可知， 此时，所以，因此角B为锐角或钝角，所以此时三角形没有唯一解； C：由余弦定理，得，所以此时三角形有唯一解； D：因为，所以这三边能确定唯一三角形. 10．在中，，，，则（    ） A． B． C． D．外接圆半径是 【答案】AC 【分析】应用二倍角正弦公式结合同角三角函数关系计算判断A，应用余弦定理结合二倍角余弦公式计算判断B，应用平面数量积公式计算判断C，应用正弦定理判断D. 【详解】对于A，在中，，则， 则，故A正确； 对于B，因为，，， 由余弦定理，得，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，设外接圆半径为，由正弦定理，得，则外接圆半径为，故D错误； 11．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则为锐角三角形 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若，，分别表示，的面积，则 【答案】ACD 【分析】由正弦定理结合大边对大角可判断选项A；由二倍角的余弦公式，结合正余弦定理可判断选项B；由题可得，即可判断选项C；由题可得，令，根据题意，可得为中点和，即可判断选项D. 【详解】对于A，已知，由正弦定理，， 又，则，则或，且注意两种情况均可满足三角形内角和为， 故A正确； 对于B，由二倍角的余弦公式，结合， 可得， 根据正弦定理和余弦定理，可得，即只能得到为锐角， 不能得到为锐角三角形，故B错误； 对于C，已知，由正弦定理可得，，即， 解得或，即是等腰三角形或直角三角形，故C正确； 对于D，如图所示： 由，可得， 设，则共线，为中点， 又，则三点共线， 则，，所以， 即，故D正确. 三、填空题 12．已知向量，，则的最大值为__________． 【答案】5 【分析】由向量数量积的坐标表示，和辅助角公式化简计算即可求解. 【详解】由题意可得 ， 当，取最大值5 ， 所以的最大值为5. 13．在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则    设，则， 所以， ， 当且仅当时，取得最小值. 14．司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米．    【答案】 【分析】设，由仰角分别得到，根据求解. 【详解】因为平面，设雕像高度，根据仰角的直角三角形关系： 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 如图可知，， 即， 解得：，因为高度为正，故. 四、解答题 15．已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)若，且 边上的中线长为，求的面积． (3)若角的平分线长为，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）在中使用余弦定理计算，再由面积公式即可求解； （3）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，又， 代入可得： ， 又，故 （2） 记边上的中线为，则， 在中，由余弦定理得， 化简可得：，解得或（舍）， 所以. （3） 设角平分线交于，， 由得： ， 化简得 ，由基本不等式得， 解得： ，当且仅当 时等号成立， 故面积最小值. 16．已知向量，设函数． (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为 (2) (3) 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变形即可求出周期； （2）利用变换角，再由两角差正弦公式即可求值； （3）利用正弦定理化边为角，借助函数的单调性即可求值域. 【详解】（1） 函数的最小正周期为． （2），且，则， 故， 则 ； （3），又为锐角三角形， 所以，则， 由正弦定理， 可得三角形的周长， 解得，因为都在上递增， 所以在上单调递减， 所以的取值范围为． 17．已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记,. (1)用表示向量； (2)若，且，求证：； (3)设，，求，的值. 【答案】(1)，， (2)因为，且， 所以，，， 所以， 所以， 所以，所以； (3)，. 【分析】（1）根据平面向量线性运算结合条件求解即得； （2）根据数量积运算律求，结合向量垂直与数量积关系证明结论； （3）结合条件利用表示可得结论. 【详解】（1）， ， . （2）略 （3）因为，， 由（1），， 所以，， 所以， 故，， 所以，. 18．已知向量的夹角为 (1)求 (2)求 ; (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用定义求解数量积； （2）根据向量模的性质可得，结合数量积的性质求结论； （3）将条件转化为 且与不反向，然后计算，解不等式即可得到结果. 【详解】（1）由已知条件可得. （2）. （3）由于 ， 若与反向，可得， ， 所以，所以， 因为与的夹角为钝角， 所以，且与不反向， 所以 且 ，即且 . 所以的取值范围是. 19．如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用数量积公式求解出的度数，然后由余弦定理即可求出. （2）利用三角形的面积公式分别求出和面积，即可求出四边形的面积. （3）利用已知条件在中先求出，再由正弦定理即可求出. 【详解】（1）因为， ． ，． 在中，， ． （2）由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． （3）在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用章末测试 一、单选题 1．下列向量中，可以和组成平面向量基底的是（     ） A． B． C． D． 2．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B．3 C． D．6 3．在中，已知，则的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．在平行四边形中，为的中点，若，则（      ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（     ） A． B．6 C． D． 7．已知的内角、、的对边分别为、、，若面积，则 （   ） A． B． C． D． 8．已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足下列条件的三角形有唯一解的是（ ） A． B． C． D． 10．在中，，，，则（    ） A． B． C． D．外接圆半径是 11．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则为锐角三角形 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若，，分别表示，的面积，则 三、填空题 12．已知向量，，则的最大值为__________． 13．在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 14．司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米．    四、解答题 15．已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)若，且 边上的中线长为，求的面积． (3)若角的平分线长为，求的面积的最小值． 16．已知向量，设函数． (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求周长的取值范围． 17．已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记,. (1)用表示向量； (2)若，且，求证：； (3)设，，求，的值. 18．已知向量的夹角为 (1)求 (2)求 ; (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 19．如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $g'%。v元.f.i 班级： ■■■■■■■ 姓名： t." 贴条形码区 1、主观题必须使用0.5毫米黑色签 字笔填写。 2、不得使用涂改液、修正带。 3、保持卡面清洁，不要折叠，不 要弄破。 “-i.-0正.☐ 单选题(40分》 A□B□CD□ 5 A□B□CIDI 2A□B□G]D□ 6 AOBCD 3 A□B□CDI 7 A□B□CD 4A☐B□CD□8 A□B□CIDI 二、 多选题(18分)》 9A□B□C□D□ 10A□BCD□ 11A□B□CD□ 三、 填空题(15分) 12. 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第1页（共6页） 1 四、 解答题(77分) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第2页（共6页） ■ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第3页（共6页） 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第4页（共6页） 1 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第5页（共6页） ■ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第6页（共6页）