第六章　平面向量及其应用章末测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章　平面向量及其应用 【章末测试】 单项选择题 1.[2025福州一中高一期末]-+-=(　　) A.2 B.0 C. D.0 2.[2024新课标Ⅰ卷]已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.[2025湖南师大附中高一期中]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,b=,A=45°,则B=(　　) A.60° B.120° C.60°或120° D.45°或135° 4.[2025山西大学附中、山西省实验中学高一月考]已知|a|=2,|b|=3,则|2a-b|的取值范围为(　　) A.[2,9] B.[,8] C.[1,7] D.(0,6] 5.[2025山东师大附中高一月考]向量b=(3,4)在向量a=(2,1)上的投影向量的模为(　　) A.2 B.2 C. D. 6.[2025全国一卷]帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为(　　) A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 7.[2025大庆实验中学高一月考]设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=6,b=2c,则当角C取最大值时,△ABC的面积等于(　　) A.8 B. C.4 D.6 8.[2025天津耀华中学高一期末]如图,在平行四边形ABCD中,AE=AD,BF=BC,CE与DF交于点O.设=a,=b,若=λa+μb,则μ-λ=(　　) A. B. C. D. 多项选择题 9.[2025南京外国语学校、南师附中等校高一期中]已知向量a与b满足|a|=1,|b|=2,|a+2b|=,下列说法中正确的有(　　) A.a·b=-1 B.(a+b)⊥(a-b) C.|a-2b|= D.a与b的夹角为 10.[2025西安交大附中高一期末改编]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是(　　) A.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰直角三角形 B.若sin A>sin B,则A>B C.若B=,b2=ac,则△ABC是等边三角形 D.若B=,a=2,且△ABC有两解,则b的取值范围是(3,2) 11.[2024广雅中学高一期中]如图,P为△ABC内任意一点,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则总有优美等式S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中正确的有(　　) A.若△ABC是等边三角形,P为△ABC内任意一点,且点P到三边BC,CA,AB的距离分别是h1,h2,h3,则有h1·+h2·+h3·=0 B.若P为△ABC内一点,且++=0,则P是△ABC的内心 C.若P为△ABC内一点,且=+,则S△PBC:S△PAC:S△PAB=2:1:2 D.若△ABC的垂心P在△ABC内,AD,BE,CF是△ABC的三条高,则·+·+·=0 填空题 12.[2025武汉外国语学校模拟]已知点M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为　　　　.  13.[2025广东实验中学高一期末]甲船在岛B的正南A处,AB=10 km,甲船以每小时4 km的速度向正北航行,同时,乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去.当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是　　　　h,最近距离是　　　　km.(本题第一空2分,第二空3分)  14.[2025郑州外国语学校高一月考]已知△ABC中,||=6,||=6,且|λ+(1-λ)|(λ∈R)的最小值为3.若P为边AB上任意一点,则·的最小值是　　　　.  解答题 15.(13分)【教材变式】[2025合肥一中、六安一中等校高一联考]已知向量a=(2,3),b=(-1,2),c=a+kb(k∈R). (1)若向量c与2a+b共线,求k的值; (2)若向量c与b的夹角为锐角,求k的取值范围. 16.(15分)[2024大同一中高一月考]如图,已知在△ABC中,M是边BC的中点,N是边AB上的点,且=2.记=a,=b. (1)用a,b表示向量; (2)若|a|=|b|,且AM⊥CN,求∠BAC的大小. 17.(15分)[2024新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 18.(17分)[2025福建省三明市高一期中]某市公园绿道专为骑行而建,以绿道为线,串联上百个生态公园,一路上树木成荫、鸟语花香.因为在C处有一古塔,市政府为升级绿道沿途风景,计划在某段全长200米的直线绿道AB一侧规划一个三角形区域(古塔的底座忽略不计)ABC做绿化,如图,已知∠CAB=,为提升美观度,设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形. (1)若在A,B处分别测得塔顶E的仰角为,,求塔高CE; (2)求绿化区域△ABC面积的取值范围; (3)绿化完成后,某游客在绿道AB的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点,该游客从A到D,再从D到B,已知D=,求游客所走路程的最大值. 19.(17分)[2025宁波效实中学高一期中]对于平面向量ak=(xk,yk)(xk,yk∈N,k=0,1,2,…),定义“F变换”: ak+1=F(ak),其中xk+1=|xk-yk|,yk+1=|max{xk,yk}-2min{xk,yk}|,max{xk,yk}表示xk,yk中较大的一个数,min{xk,yk}表示xk,yk中较小的一个数.若xk=yk,则max{xk,yk}=min{xk,yk}=xk=yk.记<ak>=xkyk,||ak||=xk+yk. (1)若a0=(1,9),求<a2>及||a2||; (2)已知<a1>=2 024,||a1||=2 025,将a1经过m次F变换后,||am+1||最小,求m的最小值; (3)证明:对任意a0,经过若干次F变换后,必存在k∈N*,使得<ak>=0. 参考答案 1.D　-+-=+-(+)=-=0. 2.D　方法一(向量法+坐标法)　因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,得4+x2=4x,所以(x-2)2=0,解得x=2. 方法二(坐标法)　因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x=2. 3.C　在△ABC中,a=,b=,A=45°,由正弦定理=,可知sin B===.又b>a,∴B>A,∴B=60°或120°. 4.C　由|2|a|-|b||≤|2a-b|≤2|a|+|b|,可得1≤|2a-b|≤7. 5.B　由已知可得a·b=6+4=10,|a|==,所以向量b在向量a上的投影向量为·=2a=(4,2)( 在解投影向量相关试题时,要注意谁在谁上的投影,套用公式时不要搞混了),所以向量b在向量a上的投影向量的模为=2. 6.A　真风风速对应的向量=视风风速对应的向量-船行风风速对应的向量=视风风速对应的向量+船速对应的向量=,如图,||=2∈(1.6,3.3).由题表得,该时刻的真风为轻风. 8.D　连接AF,AC,如图,设=x+y,因为D,O,F三点共线,所以x+y=1(三点共线的重要结论),因为=a,=b,所以=x+y(+)=x+y(+)=(x+y)b+ya.设=m+n,因为E,O,C三点共线,所以m+n=1(三点共线的重要结论),因为=a,=b,所以=+n(+)=(+n)b+na,则解得所以=a+b,则λ=,μ=,所以μ-λ=-=. 9.AC　A(√)|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=13,将|a|=1,|b|=2代入,可得a·b=-1. B(✕)(a+b)·(a-b)=a2-b2=-3≠0. C(√)|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=21,故|a-2b|=. D(✕)设a与b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|cos θ=-1,故cos θ=-,又0≤θ≤π( 向量夹角的范围),故θ=. 10.BCD　A(✕)由acos A=bcos B及正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,又A,B∈(0,π),则A=B或A+B=,则△ABC为等腰或直角三角形. B(√)由正弦定理得sin A>sin B⇔a>b⇔A>B. C(√)由已知及余弦定理,得ac=b2=a2+c2-ac,则(a-c)2=0,即a=c,又B=,因此△ABC是等边三角形. D(√)如图,若△ABC有两解,则asin B<b<a,因为B=,a=2,所以2×<b<2,即3<b<2,即b的取值范围是(3,2). 11.ACD　平面向量基本定理 思路导引　若△ABC是等边三角形,设其高为h,用h1,h2,h3和h表示出S△PBC,S△PAC,S△PAB,代入奔驰定理,化简即可判断A;由++=0,奔驰定理及平面向量基本定理可得出S△PBC=S△PAC=S△PAB,即可判断B;由=+得出2++2=0,结合奔驰定理及平面向量基本定理得出S△PBC:S△PAC:S△PAB,即可判断C;由点P是△ABC的垂心,得出S△PBC=S△ABC,S△PAC=S△ABC,S△PAB=S△ABC,代入奔驰定理即可判断D. 因为P为△ABC内一点,所以,,两两不共线. A(√)△ABC是等边三角形,设其高为h,则S△PBC=·S△ABC,S△PAC=·S△ABC,S△PAB=·S△ABC,代入奔驰定理得,·S△ABC·+·S△ABC·+·S△ABC·=0,即h1·+h2·+h3·=0. B(✕)因为S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0且++=0,所以根据平面向量基本定理得S△PBC=S△PAC=S△PAB,则P是△ABC的重心(重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等). C(√)=+=(-)+(-),即2++2=0,又S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0,所以由平面向量基本定理得S△PBC:S△PAC:S△PAB=2:1:2. D(√)由点P是△ABC的垂心,得=,所以S△PBC=S△ABC,同理可得,S△PAC=S△ABC,S△PAB=S△ABC,代入S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0,得·S△ABC·+·S△ABC·+·S△ABC·=0,即·+·+·=0. 12.(2,4)　设P(x,y),则=(10-x,-2-y),=(-2-x,7-y),由=-2⇒解得即P(2,4). 13.　如图,假设t小时后甲船行驶到D处,乙船行驶到C处,此时两船相距最近,则∠DBC=120°,AD=4t,BC=6t,BD=10-4t.在△DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC=(10-4t)2+36t2-2·(10-4t)·6t·cos 120°=28t2-20t+100=28(t-)2+,所以当t=时,CD2最小,即CD最小,最小值为,所以当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是 h,最近距离是 km. 14.-9　第一步:根据条件解三角形 方法一　设=λ+(1-λ),化简得=λ,即B,C,D三点共线(也可由λ+(1-λ)=1直接得出B,C,D三点共线),由|λ+(1-λ)|的最小值为3,可知△ABC中BC边的高为3.当AD为BC边上的高时,如图1所示,因为||=||=6,所以△ABC为等腰三角形,在直角三角形ADC中,AD2+(BC)2=AC2,代入得(3)2+BC2=62,解得BC=6,在△ABC中,AB2+AC2=BC2,所以△ABC是等腰直角三角形且∠BAC=. 方法二　设∠BAC=θ,θ∈(0,π),则|λ+(1-λ)|====≥,当且仅当λ=时等号成立,又|λ+(1-λ)|(λ∈R)的最小值为3,所以=3⇒cos θ=0,又θ∈(0,π),则∠BAC=θ=. 第二步:求出向量数量积的最小值 方法一　以点A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x,y轴建立如图2所示的平面直角坐标系,设点P(x,0),其中0≤x≤6,且B(6,0),C(0,6),=(6-x,0),=(-x,6),所以·=-x(6-x)=x2-6x=(x-3)2-9≥-9,当且仅当x=3时等号成立,所以·的最小值是-9. 方法二　因为P为边AB上任意一点,所以可设=t(t∈[0,1]),则=+=-+=(t-1)+,则·=t·[(t-1)+]=t(t-1)||2=36t(t-1)=36[(t-)2-],因为t∈[0,1],所以当t=时,·取得最小值,为-9. 15.【解析】 (1)由题意得,c=a+kb=(2-k,3+2k),2a+b=(3,8),(3分) 由向量c与2a+b共线,得8(2-k)-3(3+2k)=0,解得k=.(6分) (2)由向量c与b的夹角为锐角,得c·b>0,且c与b不共线,(8分) 则(11分) 解得k>-,即k的取值范围为(-,+∞).(13分) 16.【解析】 (1)因为在△ABC中,M是边BC的中点,N是边AB上的点,且=2, 所以=-=-(+)=-=a-b.(5分) (2)=a+b,=-=a-b, 因为AM⊥CN,所以⊥,即·=0, 故(a+b)·(a-b)=0, 化简得a2-a·b-b2=0.(10分) 因为|a|=|b|,所以a2=b2, 代入上式得a·b=a2-b2=×b2-b2=0, 即a·b=0,所以⊥,即∠BAC=.(15分) 17.【解析】 (1)方法一(辅助角法)　第一步:利用辅助角公式化简已知等式 由sin A+cos A=2,得sin A+cos A=1,(1分) 所以sin(A+)=1(提示:辅助角公式asin θ+bcos θ=).(3分) 第二步:判断角的范围,求出角A的大小 因为0<A<π,所以<A+<, 所以A+=,故A=.(6分) 方法二(同角三角函数的基本关系法)　第一步:利用同角三角函数的基本关系求sin A的值 由sin A+cos A=2,得cos A=2-sin A, 两边同时平方,得3cos2A=4-4sin A+sin2A,(1分) 则3(1-sin2A)=4-4sin A+sin2A,(2分) 整理,得1-4sin A+4sin2A=0, 所以(1-2sin A)2=0,则sin A=.(4分) 第二步:求角A的大小 因为0<A<π,所以A=或A=. 当A=时,sin A+cos A=2成立,符合条件; 当A=时,sin A+cos A=2不成立,不符合条件( 不要忽视验证). 故A=.(6分) 方法三(同角三角函数的基本关系法)　第一步:利用同角三角函数的基本关系求cos A的值 由sin A+cos A=2,得sin A=2-cos A, 两边同时平方,得sin2A=4-4cos A+3cos2A,(1分) 则1-cos2A=4-4cos A+3cos2A,(2分) 整理,得3-4cos A+4cos2A=0, 所以(-2cos A)2=0,则cos A=.(4分) 第二步:求角A的大小 因为0<A<π,所以A=.(6分) (2)第一步:利用正弦定理求B的值 由bsin C=csin 2B,得bsin C=2csin Bcos B, 由正弦定理,得bc=2cbcos B,所以cos B=, 因为0<B<π,所以B=.(9分) 第二步:利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理求sin C的值 C=π-(A+B)=, 所以sin C=sin =sin(+)=sin cos +cos sin =×+×=).(12分) 第三步:求△ABC的周长 方法一(基本量法)　由正弦定理==,得b===2,(13分) c===+.(14分) 所以△ABC的周长为a+b+c=2++3.(15分) 方法二(整体思想法)　由正弦定理==,得===4,(14分) 所以a+b+c=4(sin A+sin B+sin C)=4×(++)=2++3, 所以△ABC的周长为2++3.(15分) 18.三角形面积公式及其应用+高度测量问题+基本不等式 思路导引　(1)设CE=x米,根据解直角三角形可得AC=x,BC=x,结合余弦定理可求塔高; (2)设∠ACB=α,由正弦定理可得AC=+100,根据锐角三角形求出α的范围后可得AC的范围,进而可得面积的范围; (3)根据余弦定理和基本不等式可求路程的最大值. 【解析】 (1)设CE=x米, 依题意可知CE⊥AC,CE⊥BC, ∵在A,B处分别测得塔顶E的仰角为,,即∠EAC=,∠EBC=, ∴AC=x,BC=x,(2分) 在△ABC中,∠CAB=,AB=200, 根据余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB,即3x2=x2+2002-200x,解得x=100或x=-20(舍去), ∴塔高CE为100米.(5分) (2)设∠ACB=α,则∠CBA=-α, 在△ABC中,由正弦定理得=,∴AC=+100,(7分) 又△ABC为锐角三角形,则解得<α<, ∴tan α∈(,+∞),∴AC=+100∈(100,400),(9分) 又S△ABC=·AC·AB·sin∠CAB=50AC,∴S△ABC∈(5 000,20 000).(11分)  (3)在△ABD中,根据余弦定理AB2=AD2+DB2-2AD·DB·cos D, 得2002=AD2+DB2-AD·DB=(AD+DB)2-3AD·DB≥(AD+DB)2-3()2=(AD+DB)2, ∴(AD+DB)2≤4×2002,∴AD+DB≤400, 当且仅当AD=BD=200时取等号,故所走路程AD+BD的最大值为400米.(17分) 19.【解析】 (1)因为a0=(1,9),所以a1=(8,7), 所以a2=(1,6),(1分) 所以<a2>=1×6=6,||a2||=1+6=7.(3分) (2)因为<a1>=x1y1=2 024,||a1||=x1+y1=2 025, 所以或 所以x2=|x1-y1|=2 023,y2=|max{x1,y1}-2min{x1,y1}|=2 022,即a2=(2 023,2 022).(5分) 同理可得a3=(1,2 021),a4=(2 020,2 019), a5=(1,2 018),a6=(2 017,2 016), a7=(1,2 015),a8=(2 014,2 013), 根据规律可得a2n+1=(1,2 024-3n)(n∈N*且2 024-3n>0).(8分) 由n∈N*且2 024-3n>0可得n的最大值为674,所以a1 349=(1,2), 所以a1 350=(1,0),a1 351=(1,1),a1 352=(0,1),a1 353=(1,1),…,此后进入循环. 所以当m<1 349时,||am+1||>1; 当m=1 349时,||a1 350||=1; 当m>1 349时,||am+1||≥1. 所以||am+1||最小时,m的最小值为1 349.(10分)  (3)当x0=0,y0=0时,显然存在k∈N*,使得<ak>=0.(11分) 当x0=0,y0≠0时,a1=(y0,y0),a2=(0,y0),即<a2>=0,存在k∈N*,使得<ak>=0. 同理,当x0≠0,y0=0时,存在k∈N*,使得<ak>=0.(13分) 当x0≠0,y0≠0时,若x0=y0,则x1=|x0-y0|=0,<a1>=0,存在k∈N*,使得<ak>=0.(14分) 若x0≠y0,设Mk=max{xk,yk}(k=1,2,…), 假设对任意k∈N*,<ak>≠0,则xk,yk均不为0, 因为xk,yk∈N*,所以xk+1=|xk-yk|<max{xk,yk}. 若xk>yk,则yk+1=|max{xk,yk}-2min{xk,yk}|=|xk-2yk|<xk, 若xk<yk,则yk+1=|yk-2xk|<yk, 所以yk+1<max{xk,yk}, 所以Mk+1<Mk,即M1>M2>M3>…. 因为Mk∈N*(k=1,2,…),所以M1≥M2+1≥M3+2≥…≥+1+M1, 所以≤-1, 与>0矛盾,故假设不正确,即存在k∈N*,使得<ak>=0. 综上,对任意a0,经过若干次F变换后,必存在k∈N*,使得<ak>=0.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $