阶段巩固练（二）平面向量基本定理及坐标表示-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

阶段巩固练（二）平面向量基本定理及坐标表示-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 一、单项选择题 1．已知向量a，b满足a＝(1，－)，b＝(－1，0)，则a·(a－2b)＝ （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知向量a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值为 （ ） A． B．－ C． D．－ 3．在▱ABCD中，E为CD的中点，BE与对角线AC相交于点F，记＝a，＝b，用a，b表示＝ （ ） A．a＋b B．－a－b C．－a＋b D．－a＋b 4．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2).若c＝a－(a·b)b，则|c|等于 （ ） A．4 B．2 C．8 D．8 5．向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于 （ ） A． B．2 C．1 D． 6．已知向量a＝(－3，1)，b＝(2，1)，则下列说法正确的是 （ ） A．|b－a|＝ B．a方向上的单位向量为 C．向量b在向量a上的投影向量为 D．若c＝(－1，2)，则b⊥c 二、多项选择题 7．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，x＋1)，则下列结论正确的是 （ ） A．若a⊥b，则x＝－ B．若a∥b，则x＝±2 C．若x＝1，则|a－b|＝2 D．若x＝1，则a与b的夹角为锐角 8．在△ABC中，A＝，AB＝AC＝2，则下列结论正确的是 （ ） A．若G为△ABC的重心，则＝＋ B．若P为BC边上的一个动点，则·(＋)为定值4 C．若M，N为BC边上的两个动点，且MN＝，则·的最小值为 D．已知Q是△ABC内部(含边界)一点，若AQ＝1，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值是1 三、填空题 9．在边长为2的正三角形ABC中，D是BC的中点，＝2，CE交AD于F，若＝x＋y，则x＋y＝________，·＝________． 10．已知O为坐标原点，向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标为________． 四、解答题 11．已知向量a＝(1，x)，b＝(2，3). （1）若b⊥(a＋b)，求|a＋b|； （2）若向量c＝(1，2)，b∥(a＋c)，求a与b的夹角的余弦值． 12．在平面直角坐标系中，向量＝(1，－1)，＝(8，m)，＝(7，3)，＝(x，y)，其中m，x，y∈R. （1）若A，B，C三点共线，求m的值； （2）若四边形ABCD为菱形，求x＋y的值． 13．如图，已知A(1，1)，B(5，4)，C(2，5)，设向量a是与向量垂直的单位向量． （1）求单位向量a的坐标； （2）求向量在单位向量a上的投影向量的模； （3）求△ABC的面积S△ABC. 14．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，E，F分别是边AB，BC上的点，且＝，＝3，ED，AF交于点G. （1）设＝t，求t的值； （2）求∠EGF的余弦值． 阶段巩固练（二）平面向量基本定理及坐标表示-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 一、单项选择题 1．已知向量a，b满足a＝(1，－)，b＝(－1，0)，则a·(a－2b)＝ （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 解析：由向量a＝(1，－)，可得a2＝12＋(－)2＝4，因为a·b＝－1，所以a·(a－2b)＝a2－2a·b＝4－2×(－1)＝6.故选D. 答案：D 2．已知向量a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值为 （ ） A． B．－ C． D．－ 解析：∵a＝(4，3)，∴2a＝(8，6).又2a＋b＝(3，18)，∴b＝(－5，12)，∴a·b＝－20＋36＝16. 又∵|a|＝5，|b|＝13，∴cos 〈a，b〉＝＝＝. 答案：C 3．在▱ABCD中，E为CD的中点，BE与对角线AC相交于点F，记＝a，＝b，用a，b表示＝ （ ） A．a＋b B．－a－b C．－a＋b D．－a＋b 解析： 在▱ABCD中，因为E为CD的中点，BE与对角线AC相交于点F，所以△ECF∽△BAF，所以＝＝，所以＝，所以＝(＋)＝＝－＝－a＋b.故选C. 答案：C 4．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2).若c＝a－(a·b)b，则|c|等于 （ ） A．4 B．2 C．8 D．8 解析：因为a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8. 答案：D 5．向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于 （ ） A． B．2 C．1 D． 解析：∵a＋2b＝(1＋2x，4)，2a－b＝(2－x，3)，a＋2b与2a－b平行，∴(1＋2x)3＝4(2－x)，∴x＝.∴a·b＝(1，2)·＝1×＋2×1＝. 答案：A 6．已知向量a＝(－3，1)，b＝(2，1)，则下列说法正确的是 （ ） A．|b－a|＝ B．a方向上的单位向量为 C．向量b在向量a上的投影向量为 D．若c＝(－1，2)，则b⊥c 解析：对于A，b－a＝(5，0)，所以|b－a|＝5，错误；对于B，a方向上的单位向量为＝＝，错误；对于C，a·b＝－6＋1＝－5，则向量b在向量a上的投影向量为·a＝·(－3，1)＝，错误；对于D，b·c＝(2，1)·(－1，2)＝－2＋2＝0，所以b⊥c，正确．故选D. 答案：D 二、多项选择题 7．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，x＋1)，则下列结论正确的是 （ ） A．若a⊥b，则x＝－ B．若a∥b，则x＝±2 C．若x＝1，则|a－b|＝2 D．若x＝1，则a与b的夹角为锐角 解析：a⊥b，2x＋x＋1＝0，x＝－，A选项正确；a∥b，2(x＋1)＝x，x＝－2，B选项错误；当x＝1时，b＝(1，2)，a－b＝(1，－1)，|a－b|＝，cos 〈a，b〉＝＝>0，〈a，b〉为锐角，C选项错误，D选项正确． 答案：AD 8．在△ABC中，A＝，AB＝AC＝2，则下列结论正确的是 （ ） A．若G为△ABC的重心，则＝＋ B．若P为BC边上的一个动点，则·(＋)为定值4 C．若M，N为BC边上的两个动点，且MN＝，则·的最小值为 D．已知Q是△ABC内部(含边界)一点，若AQ＝1，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值是1 解析： 以A为坐标原点，分别以AB，AC所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，＝(2，0)，＝(0，2).对于A，由重心坐标公式可得G，所以＝，又＋＝，所以＝＋，故正确；对于B，设＝t(0≤t≤1)，则＝＋＝＋t＝＋t(－)＝t＋(1－t)，所以·(＋)＝[t＋(1－t)]·(＋)＝t2＋(1－t)2＋·＝4t＋4(1－t)＋0＝4，故正确；对于C，不妨设M靠近点B，|BM|＝x，则0≤x≤，可得M，N(2－(x＋)，(x＋))＝(1－x，1＋x)，则·＝＋x·＝x2－x＋2＝＋，所以当x＝时，·取得最小值，最小值为，故正确；对于D，设Q(cos θ，sin θ)，θ∈，由＝λ＋μ，可得(cos θ，sin θ)＝λ(2，0)＋μ(0，2)＝(2λ，2μ)，所以所以λ＋μ＝cos θ＋sin θ＝sin ，因为θ∈，所以θ＋∈，所以sin ∈，则当θ＋＝，即θ＝时，λ＋μ取得最大值，且最大值为，故不正确．故选ABC. 答案：ABC 三、填空题 9．在边长为2的正三角形ABC中，D是BC的中点，＝2，CE交AD于F，若＝x＋y，则x＋y＝________，·＝________． 解析：由题可得，＝3，＝2，＝x＋y＝x＋3y，E，F，C三点共线，故x＋3y＝1①.＝x＋y＝2x＋y，A，F，D三点共线，故2x＋y＝1②，联立①②得故x＋y＝，·＝·＝－2－·＝－－×2×2×＝－1. 答案：　－1 10．已知O为坐标原点，向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标为________． 解析：设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1).所以·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标为(3，0). 答案：(3，0) 四、解答题 11．已知向量a＝(1，x)，b＝(2，3). （1）若b⊥(a＋b)，求|a＋b|； （2）若向量c＝(1，2)，b∥(a＋c)，求a与b的夹角的余弦值． 解：（1）由a＝(1，x)，b＝(2，3)，得a＋b＝(3，x＋3)，而b⊥(a＋b)，故b·(a＋b)＝0. 所以6＋3(x＋3)＝0，解得x＝－5，则a＋b＝(3，－2)，所以|a＋b|＝＝. （2）由c＝(1，2)，知a＋c＝(2，x＋2)，而b＝(2，3)，b∥(a＋c)，故2×3＝2(x＋2)，解得x＝1，从而a＝(1，1). 所以cos 〈a，b〉＝＝＝. 12．在平面直角坐标系中，向量＝(1，－1)，＝(8，m)，＝(7，3)，＝(x，y)，其中m，x，y∈R. （1）若A，B，C三点共线，求m的值； （2）若四边形ABCD为菱形，求x＋y的值． 解：（1）由已知得＝－＝(7，m＋1)，＝－＝(6，4)， 因为A，B，C三点共线，所以，共线， 所以7×4＝6(m＋1)，解得m＝. （2）＝－＝(x－1，y＋1)，＝(6，4)，＝(7，m＋1)， 由四边形ABCD为菱形得||＝||， 即＝， 即49＋(m＋1)2＝(x－1)2＋(y＋1)2， ① 由四边形ABCD为菱形得＝＋， 所以解得 将代入①，解得m＝－5， 所以x＋y＝－m＋2＝7. 13．如图，已知A(1，1)，B(5，4)，C(2，5)，设向量a是与向量垂直的单位向量． （1）求单位向量a的坐标； （2）求向量在单位向量a上的投影向量的模； （3）求△ABC的面积S△ABC. 解：（1）设a＝(x，y)， 依题意有＝(4，3)，||＝5，|a|＝1， 且a⊥，即a·＝0， 所以 解得或 所以a＝或a＝. （2）设向量与单位向量a的夹角为θ，在单位向量a上的投影向量为h， 则|h|＝|||cos θ|＝＝|·a|. 又因为＝(1，4)，所以 当a＝时， |h|＝＝； 当a＝时， |h|＝＝. 所以向量在单位向量a上的投影向量的模为. （3）S△ABC＝|||h|＝×5×＝. 14．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，E，F分别是边AB，BC上的点，且＝，＝3，ED，AF交于点G. （1）设＝t，求t的值； （2）求∠EGF的余弦值． 解：（1）由已知得＝2，＝＝，＝t＝t(＋)＝2t＋，因为D，G，E三点共线，所以2t＋＝1，所以t＝. （2）取{，}作为平面的一个基底， 则＝－＝－，＝＋＝＋，·＝4×4×cos 60°＝8， 所以·＝·＝2－·－2＝×42－×8－×42＝－9， ||＝ ＝ ＝＝2， ||＝ ＝ ＝＝， 则cos ∠EGF＝cos 〈，〉 ＝＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $