期末培优：数列不等式恒成立问题、数列新定义问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦数列不等式恒成立与新定义两大难点，通过典例与变式系统覆盖证明、参数范围、新定义应用等核心考法，强化知识逻辑与解题思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列不等式恒成立问题|3例+3变式|含函数导数的不等式证明、参数范围求解、数列求和放缩|数列通项与求和→不等式证明→恒成立条件转化| |数列新定义问题|3例+3变式|新定义数列判定、性质探究、排列与逻辑推理|新定义抽象→数列性质应用→逻辑推理与论证|

期末培优：数列不等式恒成立问题、数列新定义问题专项训练 期末培优：数列不等式恒成立问题、数列新定义问题专项训练 考点目录 数列不等式恒成立问题 数列新定义问题 考点一 数列不等式恒成立问题 例1．（25-26高二下·辽宁大连·阶段检测）设函数（，且，）． (1)当时，求的展开式中二项式系数最大的项； (2)设是的导函数，证明：，； (3)是否存在，使得恒成立？若存在，证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 因， 而，故只需对和进行比较， 令（），有，由，得， 因为当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处有极小值1．故当时，， 从而有，亦即，故有恒成立， 所以，原不等式成立． (3)对，且有 ， ， 而， ， 所以， 又因（，3，4，…，m），故，因此， 即存在，使得恒成立． 【分析】（1）利用二项式系数可求得展开式中系数最大的项； （2）通过构建函数，利用函数单调性即可证明； （3）利用二项展开式，结合放缩法证明对应不等式，进而求出满足条件的的值. 【详解】（1）当时，展开式中二项式系数最大的项是第5项，这项是 . （2）略 （3）略 例2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，所以，显然， 当，则，即， 此时， 综上，成立. 【分析】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果； （2）根据（1）中所求，应用放缩及等比数列的前n项和公式求得，即可证明. 【详解】（1）依题意，当时，， ，则； 当时，，，两式相减， 整理可得，又为正项数列，故 ， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）略 例3．（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明： （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围． 【详解】（1）证明：由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列； （2）由（1）可得，即， 所以， 则， 所以， 所以． （3）由题可得，整理得恒成立， 令，则， 则当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 所以，即． 变式1．（2026·四川雅安·一模）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，为的前n项和，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意列出方程组，即可求得答案； （2）结合（1）的结果可得的表达式，说明为等比数列，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可证明结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由，得，解得， 故； （2），则， 故是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 由于随着n的增大而增大，，故是关于n的增函数， 故， 又，故, 综上可知. 变式2．（25-26高三上·广东清远·阶段检测）已知数列满足，，点是函数上的点， (1)若.（，为正整数），求的值 (2)证明数列是等差数列，并求数列的前项和为 (3)证明：. 【答案】(1)2025 (2)证明见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得，代入到对数等式中，利用对数运算法则可得答案； （2）利用等差数列的定义可证明，并求出数列，利用错位相减法可得； （3）放缩成等比数列求和，可证明. 【详解】（1）因为点 在函数 上，所以， 所以， ，代入 ： ， 所以. （2）令，由 得： ， 即 所以 是首项 ，公差 的等差数列， 所以， 于是 ， 得： ， ， 所以： 所以： （3）因为 对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 于是 因此. 变式3．（24-25高二下·辽宁·期末）已知数列中，，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）将左右两边取倒数，得到，将其变形为，即可根据等差数列的定义，证明数列为等比数列； （2）（i）由（1）得到及的解析式，进而得到的解析式，通过讨论的取值范围，即可得到的取值范围；（ii）先得到的解析式，进而得到其前项和的解析式，通过放缩，将其转化成求一个等比数列的前项和，通过讨论的范围，即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，所以， 所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列； （2）（i）由（1）可知， 所以，， 因为， 因为，，所以，所以， 所以，的取值范围； （ii）因为，又因为， 所以 设. 当时，成立； 当时，成立； 当时，成立； 且随着值增大，逐渐减小，逐渐增大， 因为，所以，所以， 即. 考点二 数列新定义问题 例1．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）设数列的前n项和为，若，且对任意的，均有（k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”． (1)设为“Ⅱ（1）数列”． ①求的通项公式； ②若，数列的前n项和为，求． (2)是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，的通项公式为，且k为奇数 【分析】（1）①应用求出通项公式；②应用分组求和法求出即可； （2）应用为“Ⅱ（k）数列”且为“Ⅱ数列”的定义计算求解得出及为奇数. 【详解】（1）①解：因为为“Ⅱ（1）数列”，所以． 因为，所以． 当时，，得． 当时，，则，即， 经检验，当时，满足， 所以对任意的恒成立，是首项为2，公比为的等比数列， 所以． ②解：．     （2）（2）假设存在这样的数列， 由是“Ⅱ（k）数列”可得． 由是“Ⅱ数列”可得， 所以，， 即，所以． 由，令，得，令，得． 因为，所以，解得， 所以为2，，2，，2，，…， 的通项公式为． 当n为偶数时，，解得，k为奇数． 当n为奇数时，，解得，k为奇数． 综上，存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”， 此时的通项公式为，且k为奇数． 例2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）一个有限项数列，若满足：其中连续项，，，是1，2，，的一个排列，且为使这个排列在数列中的连续项的最小的，则称为这个排列的阶“明月项”；若对于1，2，，的任一排列，在中都能找到相应的“明月项”，则称这个数列为阶“明月数列”；如：数列：1，2，3，1，1，2，3，1中排列2，3，1的3阶“明月项”为． (1)写出1，2，3，1，3，2，1，3的全部3阶“明月项”，并判断这个数列是否是3阶“明月数列”； (2)证明：任意有限项数列不存在连续项都是阶“明月项”； (3)求4阶“明月数列”项数的最小值． 【答案】(1)，，，，是全部的3阶“明月项”，不是3阶“明月数列” (2)假设中，，…，都是阶“明月项”， 注意到，，…，与，，…，都是1，2，…，的一个排列， 此时必有. 同理对于，有， 于是，，…，与，，…，是1，2，…，的同一个排列， 此时不是阶“明月项”，矛盾. 因此中，不存在连续项都是阶“明月项”. (3)33 【分析】（1）根据题干的材料描述及新定义分析判断即可； （2）应用反证思想，假设中，，…，都是阶“明月项”，得到、，进而得到矛盾即可证； （3）分析知4阶“明月数列”至少有27项，结合（2）的结论得4阶“明月数列”至少有项，再应用反证法否定项的情况，即可得. 【详解】（1），，，，是全部的3阶“明月项”， 数列的连续3项中不存在排列3，1，2，因此不是3阶“明月数列”． （2）略 （3）由定义知4阶“明月数列”至少有个4阶“明月项”，且最后3项显然均不是4阶“明月项”， 因此4阶“明月数列”至少有27项， 由（2）的结论，至少有27项的有限数列不存在连续5项都是4阶“明月项”， 同时易知至少有5个非4阶“明月项”才能将24个4阶“明月项”分成无连续5项相邻的几个部分， 且这5个非4阶“明月项”后面都存在4阶“明月项”， 因此4阶“明月数列”至少有项， 综上，4阶“明月数列”至少有32项， 下面证明32项的情况不成立． 若存在32项的4阶“明月数列”，则只能有5个非4阶“明月项”， 将24个4阶“明月项”分割成6个部分，其中每个部分都不能超过4项，那必定都只能恰为4项， 于是数列的第1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17、18、19、21、22、 23、24、26、27、28、29项必定是4阶“明月项”，且其中只存在4种不同的取值． 同（2）的讨论， 我们有，不妨设它们等于1； ，不妨设它们等于2； ，，不妨设它们等于3； ，，，不妨设等于4． 注意到与都是4阶“明月项”， 若，则只能， 于是，，，与，，，是同一排列，矛盾， 故只能，． 同（2）继续讨论，有，（否则不是4阶“明月项”）， ，，，； 在前，排列1，2，3，4与排列1，2，4，3均已正序存在， 因此，，，必定是此前已正序存在的排列，不是4阶“明月项”，矛盾． 因此不存在32项的4阶“明月数列”． 另一方面，可验证1，2，3，4，1，2，3，1，4，2，3，1，2，4，3，1，2，1，3，4，2，1，3， 2，4，1，3，2，1，4，3，2，1是33项的4阶“明月数列”， 因此4阶“明月数列”的项数最小值为33． 例3．（2026·山西忻州·模拟预测）对任意正整数n，定义其“二进层号”为满足的唯一正整数；再定义．例如，，；，． (1)求，； (2)证明：对任意正整数m，有； (3)记．求关于m的表达式，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)当时，，所以． 此时n依次取，，…，， 于是依次取，，…，1， 因此第r层的和为， 所以， 即， 计算得， 化简为，命题得证． (3)，证明： 记， 若，则，， 此时，， 条件等价于，故， 因此对固定r，可取的个数为区间与中整数的交集大小， 也就是说，需满足． 下面分m的奇偶讨论： 若，则有贡献的r为， 对应个数依次为，，…，2，1， 所以， 即当时，； 若，则有贡献的r为， 其中时有1个，之后对应个数为，，…，2，1， 所以， 即当时，， 综上，，命题得证． 【分析】（1）根据已知定义，计算求解； （2）采用分层求和法，按将求和区间拆分成个连续区间，每层内是从1到的连续整数，先分层求和，再对每层用等比数列求和公式化简，最终求证； （3）采用变量替换和分类计数法，设按已知条件转化为的区间约束，结合自身的取值范围确定有解的的取值区间，再根据的奇偶性分类，逐层统计符合条件的的个数，最后求和得出． 【详解】（1）已知对任意正整数n，定义，并定义． 因为，，且，所以． ． （2）略 （3）略 变式1．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，证明：； (3)将数列的前项重新排列后得到新数列，，…，，该数列满足，，，…，是1，2，3，…，的一个排列，求的最小值． 【答案】(1)； (2)由（1）知，所以是的一个排列． 令，则是的一个排列，并且． 因此，只需研究排列的相邻两项之差的绝对值之和． 对于每个，在与之间画一条“分界线”，即把分成和． 记为相邻项对中，一项不大于、另一项大于的相邻项对数，也就是相邻项跨过第条分界线的次数． 下面说明“跨分界线的次数”为什么等于相邻差的绝对值． 若某一对相邻项为，且，那么从到依次跨过，，，这条分界线． 因此，这一对相邻项在中各被计算一次，总共被计算次． 把所有相邻项对的贡献相加，得到. 接下来估计每个的最大值． 当时，集合中有个数． 每个数在排列中最多与两个数相邻，所以由这些数产生的跨界相邻项对最多有对，即． 当时，整个排列一共只有对相邻项，所以． 当时，集合中有个数． 同理，每个数最多与两个数相邻，所以． 于是. . 下面构造一个排列，使相邻差绝对值之和恰好等于． 当时，． 当时，取排列满足，；（）；（）． 也就是说，该排列为． 其中，、、以及都恰好出现一次，所以它确实是的一个排列． 在这个排列中，首、尾两个相邻差均为；有个相邻差等于；有个相邻差等于． 因此． 结合前面的上界，得． 下面证明所给不等式．当时，． 当时，对，有，所以． 于是． ． ． ． 故原不等式成立． (3) 【分析】（1）由时，将关于与的两个等式相减，得到相邻两项的递推关系，再由正项条件确定公差和首项． （2）先将各项同时减去，把问题化为排列的相邻差绝对值之和的最大值问题．通过统计相邻项跨越各整数分界线的次数求出上界，再构造一个排列达到该上界，得到的准确值，最后进行放缩与裂项相消． （3）仍统计相邻项跨越各整数分界线的次数，并利用数列首、尾两项在相邻关系中只出现一次，得到首、尾两项到中间数的距离之和的上界，从而求出的下界；再构造排列说明下界可以取到． 【详解】（1）由题可知，，所以有， 即 因为数列是正项数列，所以. 即数列是以1为公差的等差数列 令，有 ，所以解得，（负舍）. 所以. （2）略 （3）由（1）知，所以是的一个排列． 记 对于，记为相邻两项中一项不大于、另一项大于的相邻项对数． 若相邻两项为，且，那么这对相邻项恰好跨越这个分界线， 因此它对的贡献为． 由题意得， 又因为这些相邻差的绝对值是的一个排列， 所以 当时，考虑这个数． 其中不在数列首、尾位置的数有两个相邻项，位于首、尾位置的数只有一个相邻项． 设中不大于的数有个，则 当时，考虑，这个数． 设中大于的数有个，同理可得 将这些不等式相加， 得 计算前两项，得 对于首、尾两项中的任意一项，若，它在中各被计算一次， 共计算次；若，它在中各被计算一次，共计算次． 所以， 结合前面的等式与不等式，得 所以 又因为 所以 下面说明可以取到．取 此时相邻两项之差的绝对值依次为恰好是的一个排列， 并且 因此的最小值为． 变式2．（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 【答案】(1)，，， (2) 以序列中的项为坐标的点记作，连接这9个点共形成8条单位线段． 每条单位线段水平或者竖直． 因此8条单位线段中至少有4条同为水平或同为竖直． 不妨设至少有4条水平单位线段． 由于9个点排成3行，而每一行至多含2条水平单位线段，故至少有一行含2条水平单位线段． 这样该行3个点必被依次经过，于是中间那个点的前后两个相邻点都与它在同一行，因此该点对应的项具有性质． 故中存在具有性质的项． (3) 将序列中相邻两项连接，得到120条单位线段.把连续同为水平方向的若干条单位线段合并为一个水平线段，把连续同为竖直方向的若干条单位线段合并为一个竖直线段. 在序列对应的线段中，水平线段与竖直线段交替出现． 设水平线段数为，竖直线段数为，因为单位线段总数为120， 所以序列中具有性质的项的个数为． 要证． 只需证明． 因为每一行有11个点，每个水平段至少包含两个点，因此第行的水平线段数满足，即． 所以． 同理． 所以， 故序列中具有性质的项的个数不少于10． 【分析】（1）根据序列相邻两项对应点的距离为1，逐步确定，，，. （2）把序列中的项看成方格中的点，连接相邻点得到水平或竖直单位线段，再用抽屉原理证明一定存在连续三点共行或共列； （3）把连续同方向的若干条单位线段合并为一个水平线段或竖直线段，通过估计水平线段数和竖直线段数的总数，得到具有性质的项的个数不少于10． 【详解】（1）当时，，所以 . 由题意，相邻两项对应点的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和为1. 第一项为，第二项为，所以 . 即 .解得. 所以第二项为. 第二项为，第三项为，所以 . 即 .解得. 所以第三项为. 中共有4个不同元素，前三项已经是，，，剩下的一个元素为，所以第四项为. 因此 . （2）略 （3）略 变式3．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知数列具有性质，都，使得． (1)分别判断以下两个数列是否满足性质，并说明理由： （i）有穷数列； （ii）无穷数列． (2)若有穷数列满足性质，且各项互不相等，求项数的最大值． 【答案】(1)（i）不满足，理由见解析；（ii）满足，理由见解析 (2)3 【分析】（1）（i）选取数列中两项（取）计算其乘积，验证该乘积是否属于原数列，以此判断数列是否满足性质. （ii）利用等比数列通项公式计算任意两项（）的乘积，通过指数运算将乘积转化为数列中的某一项（令 ），验证数列满足性质. （2）通过分析数列中绝对值最大、最小的非零项，推导出非零项的绝对值只能为；结合各项互不相等的条件，确定数列的非零项仅为和，再加入后得到数列的最大项数. 【详解】（1）（i）不满足．令不是数列中的项． （ii）满足．对于任意． 由于，故令即可． （2）对于有穷数列，记其非零项中，绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为． 故令时，存在一项满足． 又是数列非零项中绝对值最大的，所以，即． 再令时，存在一项满足． 又是数列非零项中绝对值最小的，所以，即． 又， 所以数列所有非零项的绝对值均为1. 又数列的各项均不相等，所以其至多有共3项,所以． 因为数列满足性质，所以项数的最大值为3. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：数列不等式恒成立问题、数列新定义问题专项训练 期末培优：数列不等式恒成立问题、数列新定义问题专项训练 考点目录 数列不等式恒成立问题 数列新定义问题 考点一 数列不等式恒成立问题 例1．（25-26高二下·辽宁大连·阶段检测）设函数（，且，）． (1)当时，求的展开式中二项式系数最大的项； (2)设是的导函数，证明：，； (3)是否存在，使得恒成立？若存在，证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由． 例2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 例3．（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 变式1．（2026·四川雅安·一模）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，为的前n项和，证明：. 变式2．（25-26高三上·广东清远·阶段检测）已知数列满足，，点是函数上的点， (1)若.（，为正整数），求的值 (2)证明数列是等差数列，并求数列的前项和为 (3)证明：. 变式3．（24-25高二下·辽宁·期末）已知数列中，，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 考点二 数列新定义问题 例1．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）设数列的前n项和为，若，且对任意的，均有（k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”． (1)设为“Ⅱ（1）数列”． ①求的通项公式； ②若，数列的前n项和为，求． (2)是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由． 例2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）一个有限项数列，若满足：其中连续项，，，是1，2，，的一个排列，且为使这个排列在数列中的连续项的最小的，则称为这个排列的阶“明月项”；若对于1，2，，的任一排列，在中都能找到相应的“明月项”，则称这个数列为阶“明月数列”；如：数列：1，2，3，1，1，2，3，1中排列2，3，1的3阶“明月项”为． (1)写出1，2，3，1，3，2，1，3的全部3阶“明月项”，并判断这个数列是否是3阶“明月数列”； (2)证明：任意有限项数列不存在连续项都是阶“明月项”； (3)求4阶“明月数列”项数的最小值． 例3．（2026·山西忻州·模拟预测）对任意正整数n，定义其“二进层号”为满足的唯一正整数；再定义．例如，，；，． (1)求，； (2)证明：对任意正整数m，有； (3)记．求关于m的表达式，并证明你的结论． 变式1．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，证明：； (3)将数列的前项重新排列后得到新数列，，…，，该数列满足，，，…，是1，2，3，…，的一个排列，求的最小值． 变式2．（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 变式3．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知数列具有性质，都，使得． (1)分别判断以下两个数列是否满足性质，并说明理由： （i）有穷数列； （ii）无穷数列． (2)若有穷数列满足性质，且各项互不相等，求项数的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $