第1讲 集合及其运算 讲义-2027届高三数学一轮总复习

该高中数学高考复习讲义围绕集合及其运算核心考点，涵盖元素性质、集合关系、运算及应用，按“基础梳理-综合探究-应用提升”逻辑架构知识点，通过激活思维题巩固基础，聚焦知识模块系统梳理，课堂探究分目标突破难点，随堂内化题强化训练，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出分层教学与核心素养培养，如设计新定义问题（例4）培养创新意识，元素性质题（例1）提升抽象能力，结合教材改编题与高考题型，设置基础、能力、综合三层练习，帮助学生高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027高三数学一轮总复习 第1讲 集合及其运算 ·激 活 思 维· 1. （人A必一P9习题T1改）若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是（　 　） A. 1∈A B. {－1}⊆A C. ∅⊆A D. {－1，1}∉A 2. （多选）已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，则下列判断正确的是（　　） A. A∪B＝B　 B. （∁RB）∪A＝{x|x≤2或x＞3} C. A∩B＝{x|1＜x≤2} D. （∁RB）∪（∁RA）＝R 3. （人A必一P35复习参考题T9改）已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝__________． 4. （人A必一P9习题T5改）已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为__________． ·聚 焦 知 识· 1. 集合与元素 （1） 集合中元素的三个特性：__________、__________、_． （2） 元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． （3） 集合的表示法：列举法、描述法、图示法． （4） 常见集合的符号表示 数集 自然 数集 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 复数 集 符号 N N*或N＋ Z Q R C 2. 集合间的基本关系 关系 定义 记法 相等 集合A与B的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 或B⊇A 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 注意：若集合A中含有n（n≥1）个元素，则集合A有__________个子集，__________个真子集． 3. 集合的基本运算 集合的并集 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 ∁UA 图形 表示 意义 {x|x∈A 或x∈B} {x|x∈A 且x∈B} {x|x∈U 且x∉A} 4. 常见结论与等价关系 （1） A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A. （2） （∁UA）∪A＝__________；∁U（∁UA）＝__________． （3） 摩根定律：∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）. ·课 堂 探 究· 目标1 集合中元素的性质 例1　（1） 若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是__________． （2） 已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2 024＋b2 024＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. －1或0 变式1　（1）设集合A＝{2，3，4，5}，B＝{1，a＋2，2a＋1}．若A∪B＝{x∈N*|x＜6}，则实数a＝__________． （2） 已知集合A＝{x|（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数a＝_． 目标2 集合间的关系 例2　（1）已知集合A＝{x|log3（2x＋1）＝2}，B＝{2，a}，其中a∈R.若A∪B＝B，则a＝（　　） A. 1 B. 2　 C. 3 D. 4 （2）设集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|－a≤x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是______________________________． （3）已知集合M＝，N＝，则（　　） A. M⊆N B. N⊆M　　　　 C. M＝N D. M∩N＝∅ 变式2　 （1）（多选）若集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（　　） （变式2（1）） A. M＝{0，2，4，6}，N＝{4} B. M＝{x|x2＜1}，N＝{x|x＞－1} C. M＝{x|y＝lg x}，N＝{y|y＝ex＋5} D. M＝{（x，y）|x2＝y2}，N＝{（x，y）|y＝x} （2） 已知集合A＝{x|x＜－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（　　） A. 　　　　 B. C. （－∞，－1）∪[0，＋∞） D. ∪（0，1） 目标3 集合间的运算 视角1　集合的基本运算 例 3-1　（1）已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A（A∩B）＝（　　） A. {1，4，9} B. {3，4，9}　　　　 C. {1，2，3} D. {2，3，5} （2）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|log2（x2－4x＋5）＜1}，则A∪B＝（　　） A. {x|1＜x＜2} B. {x|2＜x＜3}　　　　 C. {x|－2＜x＜1} D. {x|－2＜x＜3} （3）设U为全集，集合A，B，C满足条件A∪B＝A∪C，那么下列各式一定成立的是（　　） A. B⊆A B. C⊆A C. A∩（∁UB）＝A∩（∁UC） D. （∁UA）∩B＝（∁UA）∩C 变式 3-1　已知全集U＝{x∈N*|x≤8}，A＝{2，3，4}，B＝{3，5，7}，则{1，6，8}是（　　） A. A∪（∁UB） B. ∁U（A∩B）　　　　 C. （∁UA）∪（∁UB） D. （∁UA）∩（∁UB） 视角2　利用集合运算求参数 例 3-2　设集合S＝{x|x＜－1或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，且S∪T＝R，则实数a的取值范围为（　　） A. （－∞，－3）∪（－1，＋∞）　　　　 B. （－3，－1） C. （－∞，－3]∪[－1，＋∞）　　　　 D. [－3，－1] 变式 3-2　已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是_________． 目标4 集合新定义问题 例4　给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T＝{|a－b||a，b∈S，a≠b}，如果min（T）＝1，那么称集合S为一个n元规范数集（注：min（X）表示数集X中的最小数）．对于集合M＝{－0.1，－1.1，2，2.5}，N＝{－1.5，－0.5，0.5，1.5}，则（　　） A. M是规范数集，N不是规范数集 B. M是规范数集，N是规范数集 C. M不是规范数集，N是规范数集 D. M不是规范数集，N不是规范数集 变式4　设集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min（A）（其中|A|表示A中元素的个数，min（A）表示集合A中最小的元素），称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为（　　） A. 7 B. 8　 C. 9 D. 10 ·随 堂 内 化· 1.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪（∁UM）＝（　　） A. {2，3，5} B. {1，3，4} C. {1，2，4，5} D. {2，3，4，5} 2.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝（　　） A. ∅ B. S　 C. T D. Z 3.已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x－a＜0}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（　　） A. （－∞，－2） B. （－∞，－2] C. （2，＋∞） D. [2，＋∞） 4.定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝xy（x＋y），x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，2}，B＝{－1，1}，则集合A⊗B中的所有元素之和为__________． 5.某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有__________人． 激活思维 1. D　2. BC　 3. 2　【解析】 因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即 a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1或a＝2，经检验a＝－1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意．综上，实数a＝2. （第4题） 4. [2，＋∞）　【解析】 由B⊆A，利用数轴分析法（如图），可知a≥2. 聚焦知识 1. （1） 确定性　互异性　无序性 2. 2n　2n－1　4. （2） U　A 课堂探究 例1　（1） {1，－1}　【解析】 若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x2＋2kx＋1＝0有且只有一个实数根，即Δ＝（2k）2－4＝0，解得k＝±1，所以k的取值集合是{1，－1}． （2） C　【解析】 因为＝{a2，a＋b，0}，所以b＝0，所以{a，0，1}＝{a2，a，0}，则1＝a2且a≠1，解得a＝－1，故a2 024＋b2 024＝1. 变式1　（1） 2　【解析】 因为A∪B＝{x∈N*|x<6}＝{1，2，3，4，5}，所以B⊆A∪B，即{1，a＋2，2a＋1}⊆{1，2，3，4，5}，所以解得a＝2.当a＝2时，A＝{2，3，4，5}，B＝{1，4，5}，满足条件． （2） 1或　【解析】 ①若a2－1＝0，则a＝±1.当a＝1时，x＝－，此时A＝，符合题意；当a＝－1时，A＝∅，不符合题意．②若a2－1≠0，则Δ＝0，即（a＋1）2－4（a2－1）＝0，解得a＝，此时A＝，符合题意．综上所述，a＝1或. 例2　（1） D　【解析】 由log3（2x＋1）＝2，得2x＋1＝32，解得x＝4，所以A＝{x|log3（2x＋1）＝2}＝{4}．又B＝{2，a}，A∪B＝B，故A⊆B，所以a＝4. （2） [3，＋∞）　【解析】 集合A＝{x|x2－x－6<0}＝{x|（x－3）（x＋2）<0}＝{x|－2<x<3}，又B＝{x|－a≤x≤a}，且A⊆B，可得即解得a∈[3，＋∞）. （3） A　【解析】 M＝{x|x＝k＋，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝＋1，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}，因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，k＋2，k∈Z表示所有的整数，所以M⊆N. 变式2　（1） ACD　【解析】 根据Venn图可知NM.对于A，显然NM，故A正确；对于B，M＝{x|－1<x<1}，N＝{x|x>－1}，则M⊆N，故B错误；对于C，M＝{x|x>0}，N＝{y|y>5}，则NM，故C正确；对于D，M＝{（x，y）|y＝x或y＝－x}，N＝{（x，y）|y＝x}，则NM，故D正确． （2） A　【解析】 因为B⊆A，所以①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．②若B≠∅，即ax＋1≤0有解，当a>0时，可得x≤－，要使B⊆A，则需解得0<a<1；当a<0时，可得x≥－，要使B⊆A，则需解得－≤a<0.综上，实数a的取值范围是. 例3-1　（1） D　【解析】 因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，则A∩B＝{1，4，9}，∁A（A∩B）＝{2，3，5}． （2） D　【解析】 由|x|<2得－2<x<2，即A＝{x|－2<x<2}．由log2（x2－4x＋5）<1得解得1<x<3，即B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝{x|－2<x<3}． （3） D　【解析】 当U＝{1，2，3}，A＝{1}，B＝{2，3}，C＝{1，2，3}时，满足A∪B＝A∪C，此时B，C不是A的子集，所以选项A，B不一定成立．∁UB＝{1}，∁UC＝∅，A∩（∁UB）＝{1}，A∩（∁UC）＝∅，所以选项C不一定成立．对于D，若∀x∈（∁UA）∩B，则x∉A，但x∈B，因为A∪B＝A∪C，所以x∈C，于是x∈（∁UA）∩C，所以（∁UA）∩B⊆（∁UA）∩C；同理若∀x∈（∁UA）∩C，则x∈（∁UA）∩B，（∁UA）∩C⊆（∁UA）∩B，因此，（∁UA）∩B＝（∁UA）∩C成立，所以选项D成立． 变式3-1　D　【解析】 因为U＝{x∈N*|x≤8}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以画出Venn图如图所示．由图可知{1，6，8}＝∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）. （变式3-1） 例3-2　B　【解析】 因为S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，且S∪T＝R，所以解得－3<a<－1，即实数a的取值范围为（－3，－1）. 变式3-2　（－∞，－3）∪（3，＋∞）　【解析】 由x2≤4，解得－2≤x≤2，所以A＝{x|－2≤x≤2}．因为A∩B＝∅，所以a＋1<－2或a－1>2，解得a<－3或a>3，所以a的取值范围是（－∞，－3）∪（3，＋∞）. 例4　C　【解析】 对于集合M＝{－0.1，－1.1，2，2.5}，由2∈M，2.5∈M，且|2－2.5|＝0.5<1，得M的相伴数集中的最小数不是1，因此M不是规范数集；对于集合N＝{－1.5，－0.5，0.5，1.5}，|－1.5－（－0.5）|＝1，|－0.5－0.5|＝1，|0.5－1.5|＝1，|－1.5－0.5|＝|－0.5－1.5|＝2，|－1.5－1.5|＝3，即N的相伴数集中的最小数是1，因此N是规范数集． 变式4　B　【解析】 当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}；当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}．综上所述，I的所有“好子集”的个数为8. 随堂内化 1. A　【解析】 因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，所以∁UM＝{2，3，5}．又N＝{2，5}，所以N∪（∁UM）＝{2，3，5}． 2. C　【解析】 任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·（2n）＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故TS.因此，S∩T＝T. 3. C　【解析】 由|x|≤2，可得－2≤x≤2，故A＝{x|－2≤x≤2}．由x－a<0，可得x<a，故B＝{x|x<a}．由A⊆B，得a>2. 4. 4　【解析】 A＝{0，2}，B＝{－1，1}，当x＝0，y＝±1时，z＝0；当x＝2，y＝－1时，z＝－2；当x＝2，y＝1时，z＝6，所以A⊗B＝{0，－2，6}，所以集合A⊗B中的所有元素之和为0＋（－2）＋6＝4. 5. 7　【解析】 设同时参加数学和化学小组的有x人．因为有16人参加物理小组，所以只参加物理一科的有16－7－5＝4人．因为有27人参加数学小组，所以只参加数学一科的有27－7－x＝（20－x）人．因为有14人参加化学小组，所以只参加化学一科的有14－5－x＝（9－x）人．画出Venn图如图所示，因为总参加人数为38，所以27＋4＋5＋9－x＝38，解得x＝7，故同时参加数学和化学小组的有7人． （第5题） 学科网（北京）股份有限公司 $