第01讲 集合及其运算（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦集合及其运算核心考点，涵盖集合概念、关系、运算及核心性质，按“概念-关系-运算-性质”逻辑构建知识体系。通过命题透视、思维建模、知识精讲、题型破译、真题溯源等环节，系统梳理考点，指导解题方法，强化真题训练，帮助学生突破元素特征、子集个数等难点。 资料以“题型分类+方法技巧+易错分析”为特色，如集合间关系求参数时，结合数轴法与分类讨论培养逻辑推理能力，Venn图应用中通过德摩根定律强化数学抽象。设置自主检测与变式训练分层巩固，确保高效突破高考5分基础题，为教师把控复习节奏、学生提升应考能力提供有力支撑。

第01讲 集合及其运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 集合核心概念 知识点2 集合间关系 知识点3 集合基本运算 知识点4 核心性质与思想 题型破译 题型1 元素与集合的关系 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 元素特征 【方法技巧】应用集合元素的特性解题的要点 题型3 集合间关系 【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法 【易错分析】易忽略集合为空集 题型4 （真）子集的个数 题型5 集合基本运算 【方法技巧】明确各个运算的几何意义 【易错分析】忘记全集范围 题型6 Venn图的应用 【方法技巧】德・摩根定律 【易错分析】看错阴影区域 题型7 运算确定集合或参数 【方法技巧】求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路 【易错分析】端点没等号 题型8 容斥原理的应用 【方法技巧】正难则反的结合 题型9 新定义问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 集合的概念与表示 —— —— —— 集合的基本关系 —— —— 全国甲卷（文） T2（5 分） 集合的基本运算 全国一卷 T3（ 5 分） 全国二卷 T2（ 5 分） 全国一卷T2（5分） 全国二卷T3（5分） 全国Ⅰ卷T1（5 分） 全国甲卷（理） T2（5 分） 全国甲卷（文） T2（5 分） 考情分析 高考中集合为必考基础题，题型以选择题第 1 题为主，分值固定5 分，难度低，属于送分题。 考查方向： 1. 集合的交、并、补基本运算 2. 元素与集合、集合间的包含关系 3. 含参数集合的运算与范围求解 常结合不等式、函数定义域、一元二次方程考查，侧重数学抽象、逻辑推理。 复习目标 1、理解集合与元素含义，掌握 “∈、∉” 关系，熟练用三种语言表示集合。 2、掌握子集、真子集、相等关系，牢记空集性质，会求子集个数。 3、熟练进行交、并、补运算，会用数轴、Venn 图解题。 4、能根据集合运算结果求参数，具备分类讨论、数形结合意识。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 集合核心概念 1. 关系 属于： ；不属于：； 2. 元素三特性 · 确定性：元素是否在集合中可判定 · 互异性：集合中元素互不相同 · 无序性：元素顺序不影响集合 3. 常用数集 自然数集、正整数集或、整数集、有理数集、实数集 4. 表示方法 · 列举法、描述法、Venn 图法 自主检测(安徽合肥市第一中学2026届高三最后一卷)已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点2 集合间关系 关系 符号 核心含义 子集 A 中所有元素都属于 B 真子集  A⊆B 且 B 中至少一个元素∉A 相等 A⊆B 且 B⊆A 空集 不含任何元素，是任何集合的子集 必记结论 （1）含n个元素的集合，子集数，真子集数。 （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 自主检测(安徽蒙城一中、涡阳一中、颍上一中、怀远一中、淮南一中五校2026届年高三下学期5月学情自测)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 知识点3 集合基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 自主检测(合肥市第五中学等校2026届高三下学期5月教学质量检测)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 知识点4 核心性质与思想 1. 2. 3. 4. 5. 自主检测若全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 元素与集合的关系 例1-1(2026年安徽省示范高中皖北协作区第28届联考数学试题)已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例1-2(重庆市2025届学业质量调研抽测 （第二次）数学试题)已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 判断元素与集合关系 1. 直接法：集合元素明确列出时，直接判断元素是否在集合内。 2. 推理法：集合用描述法表示时，先明确元素满足的条件，再验证元素是否符合。 3. 符号区分：∈（属于） 用于元素与集合；⊆（包含于） 用于集合与集合。 易错分析 混淆元素与集合、集合与集合的关系符号，如把 0⊆A 写成 0∈A。 【变式训练1-1】已知集合，则下列命题错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知集合，则正确的是 A．0⊆A B． C． D． 【变式训练1-3】已知集合，为虚数单位，，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 题型2 元素特征 例2-1（河南省实验中学2026届高三下学期临门押题实战演练数学（一））已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 例2-2（福建南安市成功中学2026届高三数学考前推送试题（一））已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 方法技巧 应用集合元素的特性解题的要点 1. 解题核心：先明确集合元素是什么，再用三特性检验。 2. 求参数时：先由确定性列方程求参数，再用互异性排除重复元素。 3. 无序性：集合元素顺序不影响集合本身。 易错分析 求参数后忘记检验互异性，导致出现重复元素，答案错误。 【变式训练2-1】(25-26高三下·西藏日喀则某校·模拟)集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【变式训练2-2】已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练2-3】(江西宜春中学等校2026届高三年级5月高考大练兵数学试题)若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 题型3 集合间关系 例3-1(陕西榆林市横山中学2026届高三下学期考前自测数学试题）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 例3-2(25-26高三下·辽宁大连某校·调研)已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法 1. 连续数集：用数轴标范围，注意端点虚实。 2. 离散数集：按包含关系列方程求解。 3. 核心转化： A∩B=A ⇔ A⊆B A∪B=A ⇔ B⊆A 易错分析 易忽略集合为空集 忽略空集：空集是任何集合的子集、非空集合的真子集，含参数时必须讨论A=∅的情况。 【变式训练3-1】（辽宁铁岭市开原市高级中学等校2026届高三考前模拟数学试题）已知集合，，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（河南湘豫名校2026届高三下学期5月预测联考数学试卷）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】（江苏徐州市2026届高三模拟预测数学试题）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型4 （真）子集的个数 例4-1设全集，集合，则的真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．7 例4-2(湖南省衡阳市衡阳县2026届高三考前学情调研数学试题）设集合，则的子集的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练4-1·变载体】已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式训练4-2】(江西重点中学协作体2026届高三第二次联考数学试题）已知集合，集合，则集合的真子集个数为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 【变式训练4-3】（河南省周口市扶沟县高级中学2026届高三下学期三月质量检测数学试卷）已知集合， ，则集合的真子集的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 题型5 集合基本运算 例5-1（2026·四川华蓥中学·模拟）若全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 方法技巧 明确各个运算的几何意义 1. 交：A∩B → 既在 A 又在 B 2. 并：A∪B → 在 A 或在 B 3. 补：∁ᵤA → 全集中不在 A 的元素 4. 工具：连续数集用数轴，离散数集直接列举。 易错分析 1. 补集运算忘记全集范围。 2. 端点取舍错误（如≤和<）。 例5-2（2026·海南儋州·二诊）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】（2026·河北沧州·质量监测）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（2026·天津北辰·二模）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】（2026·沧州南皮一中·考前预测）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】（2026·山东威海·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】（25-26高三下·铁岭高级中学&铁岭清河高级中学·学情调研）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-6】（2026·广东肇庆·二模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 题型6 Venn图的应用 例6-1（2026·广东实验中学越秀学校·考前自测）已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 例6-2(安徽合肥市肥东一中大数据联考2026届高三毕业班考前质量检测)为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 德・摩根定律 阴影部分：先看是交 / 并 / 补哪种组合，再对应计算。 德・摩根定律：∁ᵤ(A∪B) = ∁ᵤA ∩ ∁ᵤB；∁ᵤ(A∩B) = ∁ᵤA ∪ ∁ᵤB。 易错分析 看错阴影区域 看错阴影区域，把A∩∁ ᵣ B看成∁ ᵣ A∩B。 【变式训练6-1】（2026·福建泉州·模拟）设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】（2026·河北唐山·一模）已知全集U及其两个非空真子集M，N，则（    ） A． B． C． D． 题型7 运算确定集合或参数 例7-1（2025·新疆喀什巴楚一中·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例7-2已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A．​ B．​ C．​ D．​ 方法技巧 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路 1. 先化简集合，再把运算关系转成包含关系。 2. 数轴法：画数轴定范围，列不等式组。 3. 分类讨论：含参数时按空集、非空集讨论。 易错分析 端点没等号 1. 列不等式时端点没等号，范围扩大 / 缩小。 2. 忽略参数使集合为空集的情况。 【变式训练7-1】（2024·陕西洛南中学·冲刺预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【变式训练7-2】已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型8 容斥原理的应用 例8-1【新情景】（2026·内蒙古赤峰·模拟）为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（   ） A．20% B．30% C．40% D．50% 例8-2某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 方法技巧 在排列组合中的应用 （1）容斥定理在排列组合中应用更广泛，一般应用与存在两个限制条件的排列组合问题中，结合正难则反的思想解决问题。 （2）运用公式： 易错分析 重复计数，多算 / 少算交集部分。 【变式训练8-1】向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（    ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对都赞成的有21人 D．对都不赞成的有8人 【变式训练8-2】已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 题型9 新定义问题 例9-1(25-26高三下·辽宁多校联考·三模)定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 例9-2（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 严格按题目定义运算，不套用旧公式。 2. 分步：先理解新符号含义→代入元素→按规则计算→检验集合特性。 3. 新定义集合：先列举所有元素，再求交、并、补或个数。 易错分析 曲解新定义，用常规集合运算代替题目规定规则。 【变式训练9-1】(25-26高三·上海徐汇区·)设. 定义点的相伴集合为且，其中为正实数. 给出以下两个命题： ①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则. 则正确的选项是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【变式训练9-2】已知集合，记，则（   ） A．中有个元素 B．中的最大元素为2046 C．当为偶数时，中有个元素 D．当为奇数时，中的元素之和为 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、解答题 1．（高一上·单元）用列举法表示下列集合： （1）； （2） ； （3）. 2．（高一上·人教A版·单元小结）集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的，当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念，关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”，请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识. 3．（高一上·人教A版·单元小结）用适当的方法表示下列集合： （1）二次函数的函数值组成的集合； （2）反比例函数的自变量组成的集合； （3）不等式的解集 4．（高一上·人教A版·单元小结）把下列集合用另一种方法表示出来： （1）； （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； （3）； （4）中国古代四大发明 5．（高一上·单元）设P表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ (1)(A,B是两个不同定点)； (2)(O是定点) 6．（高一上·人教A版·单元小结）在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？ 7．（高一上·人教A版·单元小结）举出下列各集合的一个子集： （1）A={是立德中学的学生}； （2）B={是三角形}； （3）； （4）. 8．（高一上·人教A版·单元测试）判断下列两个集合之间的关系：（1），； （2），； （3）是4与10的公倍数}，. 9．（高一上·人教A版·单元小结）指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示： A={是四边形}，B={是平行四边形}，C={是矩形}，D={是正方形}. 10．（高一上·单元）已知集合,求,并解释它们的几何意义. 11．（高一上·单元）已知集合,是否存在实数a,使得?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合及其运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 集合核心概念 知识点2 集合间关系 知识点3 集合基本运算 知识点4 核心性质与思想 题型破译 题型1 元素与集合的关系 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 元素特征 【方法技巧】应用集合元素的特性解题的要点 题型3 集合间关系 【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法 【易错分析】易忽略集合为空集 题型4 （真）子集的个数 题型5 集合基本运算 【方法技巧】明确各个运算的几何意义 【易错分析】忘记全集范围 题型6 Venn图的应用 【方法技巧】德・摩根定律 【易错分析】看错阴影区域 题型7 运算确定集合或参数 【方法技巧】求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路 【易错分析】端点没等号 题型8 容斥原理的应用 【方法技巧】正难则反的结合 题型9 新定义问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 集合的概念与表示 —— —— —— 集合的基本关系 —— —— 全国甲卷（文） T2（5 分） 集合的基本运算 全国一卷 T3（ 5 分） 全国二卷 T2（ 5 分） 全国一卷T2（5分） 全国二卷T3（5分） 全国Ⅰ卷T1（5 分） 全国甲卷（理） T2（5 分） 全国甲卷（文） T2（5 分） 考情分析 高考中集合为必考基础题，题型以选择题第 1 题为主，分值固定5 分，难度低，属于送分题。 考查方向： 1. 集合的交、并、补基本运算 2. 元素与集合、集合间的包含关系 3. 含参数集合的运算与范围求解 常结合不等式、函数定义域、一元二次方程考查，侧重数学抽象、逻辑推理。 复习目标 1、理解集合与元素含义，掌握 “∈、∉” 关系，熟练用三种语言表示集合。 2、掌握子集、真子集、相等关系，牢记空集性质，会求子集个数。 3、熟练进行交、并、补运算，会用数轴、Venn 图解题。 4、能根据集合运算结果求参数，具备分类讨论、数形结合意识。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 集合核心概念 1. 关系 属于： ；不属于：； 2. 元素三特性 · 确定性：元素是否在集合中可判定 · 互异性：集合中元素互不相同 · 无序性：元素顺序不影响集合 3. 常用数集 自然数集、正整数集或、整数集、有理数集、实数集 4. 表示方法 · 列举法、描述法、Venn 图法 自主检测(安徽合肥市第一中学2026届高三最后一卷)已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则，解得或， 所以若，则的取值范围为. 知识点2 集合间关系 关系 符号 核心含义 子集 A 中所有元素都属于 B 真子集  A⊆B 且 B 中至少一个元素∉A 相等 A⊆B 且 B⊆A 空集 不含任何元素，是任何集合的子集 必记结论 （1）含n个元素的集合，子集数，真子集数。 （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 自主检测(安徽蒙城一中、涡阳一中、颍上一中、怀远一中、淮南一中五校2026届年高三下学期5月学情自测)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得或，解得或，所以， 所以，A错；，B错；，C错；，D对. 知识点3 集合基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 自主检测(合肥市第五中学等校2026届高三下学期5月教学质量检测)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，解得，故. 对于集合，根据指数函数和二次函数图象解不等式得， 故. 所以. 知识点4 核心性质与思想 1. 2. 3. 4. 5. 自主检测若全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全集与补集、交集的概念计算即可. 【详解】全集，集合，， 即全集，则， 所以． 题●型●破●译 题型1 元素与集合的关系 例1-1(2026年安徽省示范高中皖北协作区第28届联考数学试题)已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因式分解得；可得， 故集合； 因为且，所以，解得. 所以的取值范围是. 例1-2(重庆市2025届学业质量调研抽测 （第二次）数学试题)已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集可得，根据元素与集合之间的关系逐项分析判断. 【详解】因为全集，，可得， 所以，，，. 故选：D. 方法技巧 判断元素与集合关系 1. 直接法：集合元素明确列出时，直接判断元素是否在集合内。 2. 推理法：集合用描述法表示时，先明确元素满足的条件，再验证元素是否符合。 3. 符号区分：∈（属于） 用于元素与集合；⊆（包含于） 用于集合与集合。 易错分析 混淆元素与集合、集合与集合的关系符号，如把 0⊆A 写成 0∈A。 【变式训练1-1】已知集合，则下列命题错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，由集合间的关系对选项一一判断即可得出答案. 【详解】， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：D. 【变式训练1-2】已知集合，则正确的是 A．0⊆A B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合以及集合与集合的关系即可求解. 【详解】对A，,故A错误； 对B，，故B错误； 对C，空集是任何集合的子集，即，故C错误； 对D，由于集合是集合A的子集，故D正确. 故选D 【变式训练1-3】已知集合，为虚数单位，，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数模的计算公式可得 ，即可判断出结论． 【详解】，又集合， ． 故选A． 题型2 元素特征 例2-1（河南省实验中学2026届高三下学期临门押题实战演练数学（一））已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 例2-2（福建南安市成功中学2026届高三数学考前推送试题（一））已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【详解】由，得，又由，根据集合元素的互异性，得，即， 而集合，由，得或，所以或. 故选A. 方法技巧 应用集合元素的特性解题的要点 1. 解题核心：先明确集合元素是什么，再用三特性检验。 2. 求参数时：先由确定性列方程求参数，再用互异性排除重复元素。 3. 无序性：集合元素顺序不影响集合本身。 易错分析 求参数后忘记检验互异性，导致出现重复元素，答案错误。 【变式训练2-1】(25-26高三下·西藏日喀则某校·模拟)集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】由知是的子集，若，则中有重复元素0，不合题意舍去； 若，则无解；若，则，经检验符合题意. 所以 【变式训练2-2】已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由，得，进而得到关于的方程，结合集合的性质求解即可. 【详解】由，得， 所以或或，解得或或或. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，符合题意. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 故. 【变式训练2-3】(江西宜春中学等校2026届高三年级5月高考大练兵数学试题)若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 【答案】C 【详解】当时，满足； 当时，因为，所以， 此时，满足． 题型3 集合间关系 例3-1(陕西榆林市横山中学2026届高三下学期考前自测数学试题）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，故A错误； 因，故B错误； 又，故C正确； 因，故D错误． 例3-2(25-26高三下·辽宁大连某校·调研)已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，求出时，，结合充分条件与必要条件判断即可． 【详解】时，，符合， 时，，又， 或，解得或， 综上，时，， 则“”是“”的充分不必要条件． 方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法 1. 连续数集：用数轴标范围，注意端点虚实。 2. 离散数集：按包含关系列方程求解。 3. 核心转化： A∩B=A ⇔ A⊆B A∪B=A ⇔ B⊆A 易错分析 易忽略集合为空集 忽略空集：空集是任何集合的子集、非空集合的真子集，含参数时必须讨论A=∅的情况。 【变式训练3-1】（辽宁铁岭市开原市高级中学等校2026届高三考前模拟数学试题）已知集合，，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式求得集合，根据列不等式求得的取值范围. 【详解】由，得，解得，所以. 由于，， 所以，解得， 所以的取值范围是. 【变式训练3-2】（河南湘豫名校2026届高三下学期5月预测联考数学试卷）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题得，，则，， ，所以A，C，D错误，B正确． 【变式训练3-3】（江苏徐州市2026届高三模拟预测数学试题）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 题型4 （真）子集的个数 例4-1设全集，集合，则的真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】利用补集的定义求出，进而求出真子集个数． 【详解】因为，所以的真子集的个数为． 例4-2(湖南省衡阳市衡阳县2026届高三考前学情调研数学试题）设集合，则的子集的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】，，所以，所以的子集的个数为4. 【变式训练4-1·变载体】已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】构造函数，借助导数计算可得该函数有且仅有一个零点，即可得中有且仅有一个元素，即可得的子集个数. 【详解】令，则，故在上单调递增， 又，故有且仅有一个零点， 即图象与图象有且仅有一个交点， 即中有且仅有一个元素，故的子集个数为. 【变式训练4-2】(江西重点中学协作体2026届高三第二次联考数学试题）已知集合，集合，则集合的真子集个数为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 【答案】C 【详解】求解集合，由得，即. 故. 求解集合，由且，得，整数解为，故. 所以，该集合元素个数为. 因为个元素的集合真子集个数，代入得真子集个数为. 【变式训练4-3】（河南省周口市扶沟县高级中学2026届高三下学期三月质量检测数学试卷）已知集合， ，则集合的真子集的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】D 【分析】求解分式不等式确定集合，再结合交集运算和真子集计算公式即可求解. 【详解】由解得， 即， 故, 则集合的真子集的个数为. 题型5 集合基本运算 例5-1（2026·四川华蓥中学·模拟）若全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以， ，所以. 方法技巧 明确各个运算的几何意义 1. 交：A∩B → 既在 A 又在 B 2. 并：A∪B → 在 A 或在 B 3. 补：∁ᵤA → 全集中不在 A 的元素 4. 工具：连续数集用数轴，离散数集直接列举。 易错分析 1. 补集运算忘记全集范围。 2. 端点取舍错误（如≤和<）。 例5-2（2026·海南儋州·二诊）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算集合，然后根据补集以及交集的概念即可求解. 【详解】已知集合，解不等式，得，因此， 所以， 又因为，所以，故B正确. 【变式训练5-1】（2026·河北沧州·质量监测）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解不等式，得或，即， 所以. 【变式训练5-2】（2026·天津北辰·二模）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则， 又，，则 . 【变式训练5-3】（2026·沧州南皮一中·考前预测）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，又， 所以 【变式训练5-4】（2026·山东威海·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的性质以及补集的定义即可求解. 【详解】已知集合， 由补集的定义可知，即， 因此必有且，解得，故A正确. 【变式训练5-5】（25-26高三下·铁岭高级中学&铁岭清河高级中学·学情调研）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求解一元一次不等式，再由集合交集、补集运算即可求解. 【详解】由，得， 故，故，又， 故． 【变式训练5-6】（2026·广东肇庆·二模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，其中为偶数， ，其中为奇数， 则，即为奇数集，所以为偶数集， 又集合表示奇数集合，集合表示偶数集合， 集合表示4的整数倍数加2对应的数组成的集合， 集合表示4的整数倍数对应的数组成的集合. 题型6 Venn图的应用 例6-1（2026·广东实验中学越秀学校·考前自测）已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，化简得， 所以或， 所以或， 所以或， 阴影部分表示的集合为，而， 所以. 例6-2(安徽合肥市肥东一中大数据联考2026届高三毕业班考前质量检测)为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 方法技巧 德・摩根定律 阴影部分：先看是交 / 并 / 补哪种组合，再对应计算。 德・摩根定律：∁ᵤ(A∪B) = ∁ᵤA ∩ ∁ᵤB；∁ᵤ(A∩B) = ∁ᵤA ∪ ∁ᵤB。 易错分析 看错阴影区域 看错阴影区域，把A∩∁ ᵣ B看成∁ ᵣ A∩B。 【变式训练6-1】（2026·福建泉州·模拟）设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，因为指数函数单调递增，所以，即. 已知，所以. 分析Venn图：阴影部分表示集合中去掉的部分. 因此阴影部分表示集合. 【变式训练6-2】（2026·河北唐山·一模）已知全集U及其两个非空真子集M，N，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：. 题型7 运算确定集合或参数 例7-1（2025·新疆喀什巴楚一中·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合，再得到，然后根据，即可求解实数的取值范围. 【详解】因为，所以或， 所以， 所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：. 例7-2已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】B 【分析】利用导数求值域，根据值域交集非空即可得解. 【详解】因为函数， ，在区间上是单调减函数， 所以， 又 在区间上是单调增函数， 所以​， 由于​使得​， 所以​ 当时，或​， 解得或​． 所以当时， 得． 故选：B． 方法技巧 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路 1. 先化简集合，再把运算关系转成包含关系。 2. 数轴法：画数轴定范围，列不等式组。 3. 分类讨论：含参数时按空集、非空集讨论。 易错分析 端点没等号 1. 列不等式时端点没等号，范围扩大 / 缩小。 2. 忽略参数使集合为空集的情况。 【变式训练7-1】（2024·陕西洛南中学·冲刺预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 【变式训练7-2】已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 可得， 因为，所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：C. 题型8 容斥原理的应用 例8-1【新情景】（2026·内蒙古赤峰·模拟）为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（   ） A．20% B．30% C．40% D．50% 【答案】A 【分析】利用条件概率关系设未知数，根据高茎中抗倒伏比例和抗倒伏中高茎比例分别表示出高茎和抗倒伏的占比，再利用既不高茎也不抗倒伏的比例得到和事件的概率，由概率加法公式列方程求解. 【详解】设高茎作物占比为，抗倒伏作物占比为， 既不高茎也不抗倒伏的占比为，两种性状兼备的占比为， 由题意得，则， ，则， ，则， 则，解得， 即两种性状兼备的占比为. 例8-2某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】设出喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数，根据题意，列方程即可解出答案. 【详解】设喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为， 则只喜欢篮球的有，只喜欢乒乓球的有， 所以，解得， 所以同时喜欢篮球和乒乓球的人数为10， 故选：B. 方法技巧 在排列组合中的应用 （1）容斥定理在排列组合中应用更广泛，一般应用与存在两个限制条件的排列组合问题中，结合正难则反的思想解决问题。 （2）运用公式： 易错分析 重复计数，多算 / 少算交集部分。 【变式训练8-1】向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（    ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对都赞成的有21人 D．对都不赞成的有8人 【答案】B 【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可. 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为.记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示， 设对事件A，B都赞成的学生人数为x， 则对A，B都不赞成的学生人数为.赞成A而不赞成B的人数为， 赞成B而不赞成的人数为.依题意，解得. 所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人. 故选：B 【变式训练8-2】已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】设集合和集合的元素个数分别为，根据条件列方程求出，然后根据集合子集个数的公式求出集合和集合的所有子集个数，然后做差即可. 【详解】设集合和集合的元素个数分别为， 则由有2个元素，有6个元素可知，． 即①． 又因为集合的元素个数比集合的元素个数多2个， 所以②． 联立①②可得，，即集合和集合的元素个数分别为5和3， 所以集合的所有子集个数和集合的所有子集个数分别为，， 所以， 故选：C． 题型9 新定义问题 例9-1(25-26高三下·辽宁多校联考·三模)定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 例9-2（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 方法技巧 1. 严格按题目定义运算，不套用旧公式。 2. 分步：先理解新符号含义→代入元素→按规则计算→检验集合特性。 3. 新定义集合：先列举所有元素，再求交、并、补或个数。 易错分析 曲解新定义，用常规集合运算代替题目规定规则。 【变式训练9-1】(25-26高三·上海徐汇区·)设. 定义点的相伴集合为且，其中为正实数. 给出以下两个命题： ①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则. 则正确的选项是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【分析】对于①，先判断出相伴集合的对应平面图形为正方形，即可得到面积；对于②，根据无交点的限制得出正方形的点应满足，然后对不同的自变量范围分类讨论，综合得到的范围，进而得到的范围. 【详解】根据定义点的相伴集合即为以为中心的边长为的正方形， 若，则其相伴集合对应平面图形的面积为，①是假命题； 集合对应一系列正方形，它们与抛物线即均无公共点， 则意味着这些正方形都在抛物线下方即正方形内的点均满足，对每一个正方形内的点， 有，则需满足，有， 设，在上的最小值记为， 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以； 当时，，此时应有，以为变量， 的最大值为，所以； 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以， 综上所述，要使对任意实数及任意均满足无交点条件，则，②是真命题. 【变式训练9-2】已知集合，记，则（   ） A．中有个元素 B．中的最大元素为2046 C．当为偶数时，中有个元素 D．当为奇数时，中的元素之和为 【答案】BCD 【详解】对于A：的元素在区间内的正整数，所以元素个数为，故A错误； 对于B：当时，，所以表示在区间为3的倍数， 最大元素为小于的最大的3的倍数，所以最大元素为，故B正确； 对于C：当为偶数时，令，则， 所以中的倍数的个数为，故C正确； 对于D：当为奇数时，令，中元素的首项为，末项为的等差数列，项数为， 所以中的元素之和为，故D正确. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而 . 故选：A. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 5．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、解答题 1．（高一上·单元）用列举法表示下列集合： （1）； （2） ； （3）. 【答案】(1) ；(2) ；(3). 【分析】(1)解方程即可； (2)根据求解；. (3)接方程即可； 【详解】(1)由得，,因此. (2)由，且,，,得，因此. (3)由得，.因此. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法以及一元二次方程的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．（高一上·人教A版·单元小结）集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的，当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念，关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”，请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识. 【答案】见解析 【解析】集合论是现代数学的基础，已渗透到数学的所有领域. 【详解】集合论，是数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合. 集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域. 按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）.从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础. 【点睛】本题考查了对于集合论的一些认识，意在考查学生的理解应用能力. 3．（高一上·人教A版·单元小结）用适当的方法表示下列集合： （1）二次函数的函数值组成的集合； （2）反比例函数的自变量组成的集合； （3）不等式的解集 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）求二次函数的值域得到答案. （2）求反比例函数的定义域得到答案. （3）解不等式得到答案. 【详解】（1）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为. （2）反比例函数的自变量为x ∴反比例函数的自变量组成的集合为. （3）由，得，∴不等式的解集为. 【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的应用. 4．（高一上·人教A版·单元小结）把下列集合用另一种方法表示出来： （1）； （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； （3）； （4）中国古代四大发明 【答案】（1）{且} （2） （3） （4）{造纸术，印刷术，指南针，火药} 【解析】（1）用描述法写出集合得到答案. （2）用列举法写出集合得到答案. （3）用列举法写出集合得到答案. （4）用列举法写出集合得到答案. 【详解】（1）{且}. （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数： . （3）. （4）中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药} 【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的理解和掌握. 5．（高一上·单元）设P表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ (1)(A,B是两个不同定点)； (2)(O是定点) 【答案】(1)线段AB的垂直平分线；(2)以点O为圆心,3cm长为半径的圆. 【解析】(1)指平面内到距离相等的点的集合； (2)指平面内到定点的距离为的点的集合． 【详解】(1) 指平面内到距离相等的点的集合，这样的点在线段的垂直平分线上，即集合的点组成的图形是线段的垂直平分线； (2) 指平面内到定点的距离为的点的集合，这样的点在以为圆心，以为半径的圆上，即集合的点组成的图形是以点为圆心,长为半径的圆． 【点睛】本题考查描述法表示集合，是基础题． 6．（高一上·人教A版·单元小结）在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？ 【答案】DC 【解析】集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系. 【详解】集合表示直线与直线交点的集合， 即. DC 【点睛】本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握. 7．（高一上·人教A版·单元小结）举出下列各集合的一个子集： （1）A={是立德中学的学生}； （2）B={是三角形}； （3）； （4）. 【答案】（1）{是立德中学的女生} （2）{是直角三角形} （3） （4） 【解析】根据子集的定义写出一个子集即可. 【详解】（1）{是立德中学的女生} （2）{是直角三角形} （3） （4） 【点睛】本题考查了集合的子集，属于简单题. 8．（高一上·人教A版·单元测试）判断下列两个集合之间的关系：（1），； （2），； （3）是4与10的公倍数}，. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】(1)根据数轴上的范围判断即可. (2)根据集合表示的数分析即可. (3)根据集合表示的数分析即可. 【详解】(1)根据数轴可知, 表示左边的数的集合, 表示左边的数的集合,故. (2) 表示3的整数倍 , 表示6的整数倍.故. (3) 是4与10的公倍数}即 20的正整数倍, 也表示20的正整数倍.故 9．（高一上·人教A版·单元小结）指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示： A={是四边形}，B={是平行四边形}，C={是矩形}，D={是正方形}. 【答案】DCBA，Venn图见解析. 【分析】根据四边形，平行四边形，矩形，正方形的范围关系得到答案. 【详解】各集合之间的关系为DCBA用Venn图表示如图所示： 10．（高一上·单元）已知集合,求,并解释它们的几何意义. 【答案】,几何意义是直线与相交于点;,几何意义是直线与平行,无交点. 【解析】将集合中的方程按照问题联立，解方程组可得结果. 【详解】解: . . 的几何意义是直线与相交于点; 的几何意义是直线与平行,无交点. 11．（高一上·单元）已知集合,是否存在实数a,使得?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 【答案】存在, 【解析】，分，讨论，并满足互异性，列式求解. 【详解】解:， 或， ， ∴存在实数，使得. 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $