3.1.2 第3课时 椭圆中与弦有关的问题 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦椭圆中与弦有关的问题，涵盖弦长公式、中点弦及弦长最值等核心知识点。通过典例引入，衔接椭圆几何性质，以“问题探究-方法总结-变式练习”为支架，引导学生从基础应用过渡到综合问题解决。 资料特色在于典例与解题感悟结合，提炼中点弦“点差法”等通法，分层练习覆盖不同难度。通过问题解决培养学生数学思维（推理、运算）和数学语言表达能力，提升分析与解决问题的应用意识。

3.1.2 椭圆的简单几何性质 第3课时 椭圆中与弦有关的问题 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.会利用弦长公式求直线被椭圆所截的弦长. 2.掌握中点弦问题. 3.掌握有关弦长的最值问题. 一、中点弦问题 【典例1】　过椭圆＋＝1内一点P（2，1）作一条直线交椭圆于A，B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程. 【变式探究】　本例条件不变，求弦长｜AB｜. ⚪解题感悟 处理中点弦问题常用的求解方法 （1）联立直线与椭圆方程得到方程组，消元，化为一元二次方程，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算. （2）利用“点差法”，即若椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），直线与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且弦AB的中点为M（x，y），则 ①－②得a2（－）＋b2（－）＝0， 即＝－＝－. 这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题得以解决. 【练习1】　已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且｜MA｜＝｜NB｜，｜MN｜＝2，则直线l的方程为 . 二、与弦长有关的最值问题 【典例2】　已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，｜MF1｜＝. （1）求椭圆的方程； （2）若直线y＝kx＋2交椭圆于A，B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值. ⚪解题感悟 　　1.当椭圆上的点在长轴的两个端点时，焦半径取得最大值a＋c，最小值a－c. 2.过焦点的弦中最短为通径，其长为，它与长轴垂直，最长为长轴，其长为2a；斜率为定值的动直线过原点时被椭圆截得的弦长最大. 3.利用弦长公式可以解决一些距离、面积问题的最值.注意化简，以及换元法的使用. 【练习2】　（1）若AB为过椭圆＋＝1中心的一条弦，F1是椭圆的一个焦点，则△AF1B的面积的最大值为（　 ） A.6 B.15 C.20 D.12 （2）若P，Q是椭圆C：＋＝1上的动点，则｜PQ｜的最大值为 . 三、与椭圆有关的综合问题 【典例3】　已知椭圆C：＋y2＝1，点P（1，0），M为椭圆上任意一点，A，B为椭圆的左、右顶点，当M不与A，B重合时，射线MP交椭圆C于点N，直线AM，BN交于点T，则动点T的轨迹方程为　 　. ⚪解题感悟 　　设直线，联立椭圆方程，消元，得到一元二次方程，应用根与系数的关系写出y1＋y2，y1y2的表达式，这些步骤是直线与椭圆位置关系问题的常规运算.本例中结合根与系数的关系，再由AM，BN的方程得到＝为关键. 【练习3】 已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，过点A(－a，0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)对于D(－1，0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． ⚪课堂达标 1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是（　 ） A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 2.直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m的值是（　 ） A.－2 B.－1 C.1 D.2 3.椭圆C：＋＝1的右焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于两点A，B，则△ABF的面积的最大值为 . 4.过点M（1，1）作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 . 解析版 ⚪学习目标　1.会利用弦长公式求直线被椭圆所截的弦长. 2.掌握中点弦问题. 3.掌握有关弦长的最值问题. 一、中点弦问题 【典例1】　过椭圆＋＝1内一点P（2，1）作一条直线交椭圆于A，B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程. 解：由题意知直线的斜率存在且不为0，如图， 设所求直线的方程为y－1＝k（x－2），代入椭圆方程并整理， 得（4k2＋1）x2－8（2k2－k）x＋4（2k－1）2－16＝0，（*） 设直线与椭圆的交点分别为A（x1，y1）， B（x2，y2）， 则x1，x2是（*）式的两个根， ∴x1＋x2＝. ∵P点为弦AB的中点， ∴2＝＝，解得k＝－， ∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 【变式探究】　本例条件不变，求弦长｜AB｜. 解：设弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）， 由消去y，整理得x2－4x＝0， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝0， ∴｜AB｜＝ ＝×＝2. ⚪解题感悟 处理中点弦问题常用的求解方法 （1）联立直线与椭圆方程得到方程组，消元，化为一元二次方程，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算. （2）利用“点差法”，即若椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），直线与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且弦AB的中点为M（x，y），则 ①－②得a2（－）＋b2（－）＝0， 即＝－＝－. 这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题得以解决. 【练习1】　已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且｜MA｜＝｜NB｜，｜MN｜＝2，则直线l的方程为　x＋y－2＝0　. 解析：设直线l的方程为＋＝1， 则点M（m，0），N（0，n）（m＞0，n＞0）. 设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1，x2 ＞0，x1≠x2）. 由题意知线段AB与线段MN有相同的中点， 所以 即又因为kAB＝kMN（提示：四点共线），所以＝＝－， 将点A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标代入椭圆方程中，得 两式相减，得＋＝0，整理得＝－，则·（－）＝－，则m2＝2n2①.因为｜MN｜＝2，所以由勾股定理，得m2＋n2＝12②.联立①②，结合m＞0，n ＞0，解得所以直线l的方程为＋＝1，即x＋y－2＝0. 二、与弦长有关的最值问题 【典例2】　已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，｜MF1｜＝. （1）求椭圆的方程； （2）若直线y＝kx＋2交椭圆于A，B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值. 解：（1）由离心率为，得＝， 所以a2＝3c2，又a2＝b2＋c2，所以b2＝2c2， 即椭圆方程为＋＝1. 因为点M在椭圆上，且MF2⊥x轴， 所以把x＝c代入椭圆方程， 可得点M的坐标为（c，±c）， 由｜MF1｜＝ ＝＝， 解得c＝1，从而a2＝3，b2＝2， 所以椭圆方程为＋＝1. （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝kx＋2代入椭圆方程，得（3k2＋2）x2＋12kx＋6＝0，由Δ＞0，可得3k2－2＞0， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以｜x1－x2｜＝ ＝. 因为直线y＝kx＋2与y轴的交点坐标为（0，2）， 所以△OAB的面积S＝×2｜x1－x2｜ ＝＝. 令3k2－2＝t，则t∈（0，＋∞）， 所以S＝＝2 ＝2≤， 当且仅当t＝4，即k＝±时等号成立. 所以当k＝±时，△ABO面积取最大值，最大值为. ⚪解题感悟 　　1.当椭圆上的点在长轴的两个端点时，焦半径取得最大值a＋c，最小值a－c. 2.过焦点的弦中最短为通径，其长为，它与长轴垂直，最长为长轴，其长为2a；斜率为定值的动直线过原点时被椭圆截得的弦长最大. 3.利用弦长公式可以解决一些距离、面积问题的最值.注意化简，以及换元法的使用. 【练习2】　（1）若AB为过椭圆＋＝1中心的一条弦，F1是椭圆的一个焦点，则△AF1B的面积的最大值为（　D　） A.6 B.15 C.20 D.12 （2）若P，Q是椭圆C：＋＝1上的动点，则｜PQ｜的最大值为　4　. 解析：（1）设A的坐标（x，y），则根据对称性得B（－x，－y）， 则△AF1B面积S＝·｜OF1｜·｜2y｜＝c｜y｜. ∴当｜y｜最大时，△AF1B的面积最大，由图知，当A点为椭圆短轴的端点时，其△AF1B面积最大，则△AF1B面积的最大值为×c×2b＝×3＝12. （2）由于椭圆中长轴是最长的弦，故｜PQ｜max＝4. 三、与椭圆有关的综合问题 【典例3】　已知椭圆C：＋y2＝1，点P（1，0），M为椭圆上任意一点，A，B为椭圆的左、右顶点，当M不与A，B重合时，射线MP交椭圆C于点N，直线AM，BN交于点T，则动点T的轨迹方程为　x＝4（y≠0）　. 解析：由题知，MN不与x轴重合，故直线MN斜率不为0，设直线MN的方程为x＝my＋1， 联立 消去x整理得（m2＋4）y2＋2my－3＝0， Δ＝16（m2＋3）＞0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1＋y2＝，y1y2＝. 因为直线AM的方程为y＝（x＋2），直线BN的方程为y＝（x－2）， 两直线方程联立得＝＝＝. 因为my1y2＝－＝（y1＋y2）， 所以＝＝＝，解得x＝4. 所以动点T的轨迹方程为x＝4（y≠0）. ⚪解题感悟 　　设直线，联立椭圆方程，消元，得到一元二次方程，应用根与系数的关系写出y1＋y2，y1y2的表达式，这些步骤是直线与椭圆位置关系问题的常规运算.本例中结合根与系数的关系，再由AM，BN的方程得到＝为关键. 【练习3】　已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，过点A(－a，0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)对于D(－1，0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 解：(1)由＝，ab＝××， 得a＝，b＝1，所以椭圆的方程是＋y2＝1. (2)记P(x1，y1)，Q(x2，y2). 将y＝kx＋2代入＋y2＝1， 得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，(*) x1，x2是此方程的两个相异实根， 设PQ的中点为M， 则xM＝＝－， yM＝kxM＋2＝， 由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ， ∴kDM＝＝＝－， ∴3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝. 但k＝1，k＝均使方程(*)没有两相异实根． 故这样的k不存在． ⚪课堂达标 1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是（　A　） A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 解析：把x＋y－3＝0代入＋y2＝1， 得＋（3－x）2＝1，即5x2－24x＋32＝0. ∵Δ＝（－24）2－4×5×32＝－64＜0， ∴直线与椭圆的位置关系是相离. 2.直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m的值是（　A　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 解析：直线方程可变形为y＝－x－. 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 两式相减，得＝－，又kAB＝＝－，∴－＝－. 又∵线段AB中点的横坐标为1， ∴纵坐标为， 将（1，）代入直线y＝－x－， 解得m＝－2. 3.椭圆C：＋＝1的右焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于两点A，B，则△ABF的面积的最大值为　4　. 解析：在椭圆C中，a＝2，b＝2， 则c＝＝2，则F（2，0）， 由题意可知，A，B关于原点对称， 当A，B为椭圆C短轴的端点时，△ABF的面积取得最大值，且最大值为×c×2b＝4. 4.过点M（1，1）作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为　　. 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则＋＝1， ① ＋＝1. ② ∵M（1，1）为线段AB的中点， ∴＝1，＝1. ∵直线AB的方程是y＝－（x－1）＋1＝－x＋， ∴y1－y2＝－（x1－x2）. 由①②两式相减可得＋＝0， 即＋（－）·＝0. ∴a＝b，∴c＝b，∴e＝＝. 页 学科网（北京）股份有限公司 $