3.1 培优课 椭圆的综合问题(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

培优课　椭圆的综合问题 1.B　因为两个椭圆的离心率相同，所以＝，所以＝，所以2a小＝20，所以小椭圆的长轴长为20 cm. 2.D　依题意，椭圆短轴长为2，得b＝，则a2－c2＝b2＝3，又｜MF｜的最大值是最小值的3倍，即a＋c＝3（a－c），所以a＝2c，所以a＝2，c＝1，则其焦距为2c＝2.故选D. 3.C　因为P（m，n）是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，则0≤m2≤1，所以1≤2－m2≤2，即1≤m2＋n2≤2，所以m2＋n2的取值范围是[1，2]. 4.B　因为（2，1）是椭圆C：＋＝1上一点，所以＋＝1，所以＋≥2××（当且仅当＝，即a＝2b时，取等号），所以1≥，即ab≥4，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为S＝·2a·2b＝2ab≥8，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积的最小值为8，故选B. 5.B　如图，l1，l2是两条与球相切的直线，分别切于点A，C，与底面交于点B，D，设篮球的半径为R，∴AC＝2R＝22，R＝11，过C作CE∥BD交l1于点E，则CE＝BD，在Rt△ACE中，CE＝，∴CE＝22×＝2a，∴a＝＝，b＝R，∴c＝＝R，∴e＝＝＝. 6.ACD　设椭圆的左焦点为F'，则｜AF'｜＝｜BF｜，所以｜AF｜＋｜BF｜＝｜AF｜＋｜AF'｜＝6为定值，A正确；△ABF的周长为｜AB｜＋｜AF｜＋｜BF｜，因为｜AF｜＋｜BF｜为定值6，｜AB｜的取值范围是（0，6），所以△ABF的周长的取值范围是（6，12），B错误；将y＝与椭圆方程联立，可解得A（－，），B（，），又因为F（，0），∴·＝（＋）×（－）＋（）2＝0，所以△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A（－，1），B（，1），所以S△ABF＝×2×1＝，D正确，故选A、C、D. 7.BD　由题图可知，a1＞a2，c1＞c2，所以a1＋c1＞a2＋c2，所以A错误；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝｜PF｜，在椭圆轨道Ⅱ中可得，a2－c2＝｜PF｜，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；所以a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方，得＋＋2a1c2＝＋＋2a2c1，所以－＋2a1c2＝－＋2a2c1，即＋2a1c2＝＋2a2c1，由题图可得，＞，所以2a1c2＜2a2c1，即＜，所以C错误，D正确. 8.5　解析：设直线x－y＋m＝0与椭圆＋＝1相切，联立消去y，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∴Δ＝（32m）2－4×25×（16m2－144）＝0，解得m＝5或m＝－5，∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋5＝0，且两平行直线间的距离为d＝＝＝5，∴点P到直线x－y－5＝0的最大距离为5. 9.2　解析：因为｜｜＝1，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，因为·＝0，所以PM⊥AM，要使｜｜最小，只需｜｜最小，设P（m，n），－6≤m≤6，则＋＝1，其中｜AP｜＝＝＝＝，因为－6≤m≤6，所以当m＝6时，｜AP｜min＝3，此时｜｜min＝＝2. 10.（－1，1）　解析：在△PF1F2中，由正弦定理得＝.∵＝，∴＝，即｜PF1｜＝·｜PF2｜.由椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，则·｜PF2｜＋｜PF2｜＝2a，即｜PF2｜＝.由椭圆的几何性质知｜PF2｜＜a＋c，则＜a＋c，即c2＋2ac－a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，解得e＜－－1或e＞－1.又e∈（0，1），∴e∈（－1，1）. 11.解：（1）由题意知b＝15，a＋9＝34，解得a＝25，b＝15. 所以“挞圆”方程为＋＝1（x≤0）和＋＝1（x≥0）. （2）设P（x0，t）为矩形在第一象限内的顶点，Q（x1，t）为矩形在第二象限内的顶点， 则＋＝1，＋＝1，可得x1＝－x0. 所以内接矩形的面积S＝2t（x0－x1）＝2t·x0＝15×34×2··≤15×34（＋）＝510， 当且仅当＝时，S取最大值510.所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米. 12.解：（1）连接PC1，PC2（图略），设动圆P的半径为r， 由题知｜PC1｜＝r，｜PC2｜＝2－r，所以｜PC1｜＋｜PC2｜＝2＞｜C1C2｜＝2， 所以点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，其长轴长为2a＝2，焦距为2c＝2， 则a＝，c＝，故b＝＝1， 所以曲线C的方程为＋x2＝1. （2）若直线l的斜率不存在，则线段AB的中点为坐标原点，不符合题意. 若直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋1， 将y＝kx＋1代入＋x2＝1，得（3＋k2）x2＋2kx－2＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝－，即＝－＝－， 所以k2－4k＋3＝0，解得k＝1或k＝3， 所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝3x＋1. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　椭圆的综合问题 1.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，离心率相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为（　　） A.30 cm　　 　　　　B.20 cm　　　　 　　C.10 cm　　　　 　　D.10 cm 2.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴长为2，点M在椭圆上，若｜MF｜的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（　　） A.3 B.4 C.1 D.2 3.（2025·莱芜月考）已知P（m，n）是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是（　　） A.（1，2） B.[1，2） C.[1，2] D.（1，2] 4.已知（2，1）是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积（　　） A.有最小值4 B.有最小值8 C.有最大值8 D.有最大值16 5.如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜）与椭圆交于A，B两点，则（　　） A.｜AF｜＋｜BF｜为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6，12] C.当m＝时，△ABF为直角三角形 D.当m＝1时，△ABF的面积为 7.〔多选〕中国的“嫦娥四号”探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（　　） A.a1＋c1＝a2＋c2 B.a1－c1＝a2－c2 C.＜ D.＞ 8.在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：＋＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为　　　　. 9.已知动点P在椭圆C：＋＝1上，若点A的坐标为（3，0），点M满足｜｜＝1，·＝0，则｜｜的最小值是　　　　　. 10.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　. 11.（2025·绍兴月考）如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1（x≤0）和＋＝1（x≥0）组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）. （1）求“挞圆”的方程； （2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t（t∈（0，15）），求该网箱所占水面面积的最大值. 12.在平面直角坐标系中，C1（0，－），圆C2：x2＋（y－）2＝12，动圆P过C1且与圆C2相切. （1）求动圆圆心P所在曲线C的方程； （2）若直线l过点（0，1）且与曲线C交于A，B两点，线段AB的中点在直线x＝－上，求直线l的方程. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $