2.4.1 圆的标准方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“圆的标准方程”，引导学生结合圆的定义推导方程，掌握方程形式及求法，解决点与圆位置关系、最值等问题。通过探究确定圆的几何要素，衔接直线方程学习经验，搭建从几何定义到代数表达的学习支架。 资料以探究活动驱动知识建构，通过推导过程培养数学抽象与几何直观，典例练习涵盖直接法、待定系数法等，强化逻辑推理与运算能力。解题感悟与课堂达标设计，助力学生规范表达，提升用数学语言解决问题的能力，适合自主学习与教学评估。

2.4.1 圆的标准方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ★学习目标　1.结合教材实例会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程. 2.会求圆的标准方程. 3.能利用圆的标准方程解决相关的问题. 一、圆的标准方程 探究1　类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素.在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 探究2　如图，在平面直角坐标系中，☉A的圆心A的坐标为（a，b），半径为r，M（x，y）为圆上任意一点，根据圆的定义，写出圆上点的集合P. 探究3　根据两点间的距离公式，用一个代数式表示点M的坐标满足的条件. 探究4　方程（x＋a）2＋（y＋b）2＝m2一定是圆的方程吗？若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？ ★梳理教材 1.圆的定义：平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 2.圆的要素： 和 ，如图所示. 3.圆的标准方程：圆心为A（a，b），半径为r的圆的标准方程是 . 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以 为圆心、r为半径的圆. ★温馨提示　（1）当圆心在原点即A（0，0）时，方程为x2＋y2＝r2. （2）当圆心在原点即A（0，0），半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. （3）相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是相同的. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）确定一个圆的几何要素是圆心和半径.（ 　） （2）（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圆心坐标是（1，2），半径是4.（ 　） （3）方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圆.（ 　） （4）若圆的标准方程为（x＋m）2＋（y＋n）2＝a2（a≠0），此圆的半径一定是a.（ 　） 【典例1】　求满足下列条件的圆的标准方程. （1）圆心在直线y＝x＋1上，半径为2，点（－1，0）在圆上； （2）圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得的线段长为8. ★解题感悟 求圆的标准方程的常用方法 （1）直接法：求出圆心和半径，直接写出方程. （2）待定系数法：一般步骤为 设方程—设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2 列方程组—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组 解方程组—解方程组，求出a，b，r 得方程—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的标准方程 （3）几何法：确定圆心坐标和半径，常用到圆的以下几何性质： ①弦的垂直平分线必过圆心； ②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心； ③圆心与切点的连线长是半径； ④圆心与切点的连线必与切线垂直. 【练习1】　（1）求经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）处的圆的标准方程； （2）已知圆的一条直径的端点为A（2，0），B（2，－2），求该圆的标准方程； （3）求过点A（2，－3），B（－2，－5）且圆心在直线l：x－2y－3＝0上的圆的标准方程. 二、点与圆的位置关系 探究5　A（1，1），B（3，0），C（，）与圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则｜OA｜，｜OB｜，｜OC｜与半径r的关系如何？ 探究6　点M（x0，y0）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2的关系如何判断？ ★梳理教材 点与圆的位置关系的判断 （1）根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断： d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内. （2）根据点M（x0，y0）的坐标与圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2的关系判断： （x0－a）2＋（y0－b）2＞r2⇔点在圆外； （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2⇔点在圆上； （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2⇔点在圆内. ★温馨提示　由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“＜”“＞”或“＝”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）点（0，0）在圆（x－1）2＋（y－2）2＝1上.（ 　） （2）若原点在（x－a）2＋（y－b）2＝r2上，则a2＋b2＝r2.（ 　） 【典例2】　（1）点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　 　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 （2）已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是（ ） A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 ★解题感悟 判断点与圆的位置关系的方法 （1）确定圆的方程：化为（x－a）2＋（y－b）2＝r2. （2）将点的坐标（x0，y0）代入代数式（x－a）2＋（y－b）2，比较代数式的值与r2的大小关系. （3）下结论：若（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2，表示点在圆上；若（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2，表示点在圆外；若（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2，表示点在圆内. ★解题感悟 　　此外，也可以利用点与圆心的距离d与圆的半径r的大小关系来判断.当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内. 【练习2】　（1）已知点P（a，10），圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝12，则点P（ 　） A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.与a的取值有关 （2）已知点（a＋1，a－1）在圆x2＋（y－a）2＝a2＋4外，则实数a的取值范围为（ 　） A.（－∞，1） B.（1，＋∞） C.（0，1） D.（，＋∞） 三、与圆有关的最值问题 【典例3】　（1）已知点A（8，－6）与圆C：x2＋y2＝25，点P是圆C上任意一点，求｜AP｜的最小值； （2）已知x和y满足（x＋1）2＋y2＝，求x2＋y2的最大值和最小值. 【变式探究】　在本典例（2）条件不变的情况下，如何求x2＋y2－2x的最大值和最小值？ ★解题感悟 　　已知点P（x，y）在圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）上，求圆上的点P到定点M（m，n）的距离d＝的最值问题的处理步骤如下： （1）求圆心C（a，b）与定点M（m，n）的距离dMC. （2）根据圆的几何性质知： ①当M在圆外时，dmax＝dMC＋r，dmin＝dMC－r； ②当M在圆内时，dmax＝dMC＋r，dmin＝r－dMC. 【练习3】　已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A（1，0），B（5，0）， （1）求此圆的标准方程； （2）设P（x，y）为圆C上任意一点，试求x2＋（y－4）2的最值. ★课堂达标 1.已知圆C的圆心坐标为（1，1），且过坐标原点，则圆C的标准方程为（ 　） A.（x－1）2＋（y－1）2＝ B.（x－1）2＋（y－1）2＝2 C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝2 D.x2＋y2＝2 2.点P（m，3）与圆（x－2）2＋（y－1）2＝2的位置关系为（ 　） A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.与m的取值有关 3.（多选）若点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，则a的取值不可能是（ 　） A.－2 B.－ C. D.2 4.若实数x，y满足（x＋5）2＋（y－12）2＝142，则x2＋y2的最小值为（ 　） A.2 B.1 C. D. 解析版 2.4.1　圆的标准方程 ★学习目标　1.结合教材实例会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程. 2.会求圆的标准方程. 3.能利用圆的标准方程解决相关的问题. 一、圆的标准方程 探究1　类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素.在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 提示：圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.因此，只要确定一个圆的几何要素：圆心和半径，即可确定圆. 探究2　如图，在平面直角坐标系中，☉A的圆心A的坐标为（a，b），半径为r，M（x，y）为圆上任意一点，根据圆的定义，写出圆上点的集合P. 提示：P＝{M｜＝r}. 探究3　根据两点间的距离公式，用一个代数式表示点M的坐标满足的条件. 提示：根据两点间的距离公式有＝r，两边平方得到（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 探究4　方程（x＋a）2＋（y＋b）2＝m2一定是圆的方程吗？若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？ 提示：当m＝0时，方程（x＋a）2＋（y＋b）2＝m2表示点（－a，－b）. 当m≠0时，方程表示圆，此时圆的圆心为（－a，－b），半径为｜m｜. ★梳理教材 1.圆的定义：平面上到　定点　的距离等于　定长　的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 2.圆的要素：　圆心　和　半径　，如图所示. 3.圆的标准方程：圆心为A（a，b），半径为r的圆的标准方程是　（x－a）2＋（y－b）2＝r2　. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以　原点　为圆心、r为半径的圆. ★温馨提示　（1）当圆心在原点即A（0，0）时，方程为x2＋y2＝r2. （2）当圆心在原点即A（0，0），半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. （3）相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是相同的. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）确定一个圆的几何要素是圆心和半径.（　√　） （2）（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圆心坐标是（1，2），半径是4.（　✕　） （3）方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圆.（　✕　） （4）若圆的标准方程为（x＋m）2＋（y＋n）2＝a2（a≠0），此圆的半径一定是a.（　✕　） 【典例1】　求满足下列条件的圆的标准方程. （1）圆心在直线y＝x＋1上，半径为2，点（－1，0）在圆上； （2）圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得的线段长为8. 解：（1）设所求圆的圆心坐标为（a，a＋1），则所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－a－1）2＝8，代入点（－1，0），得（－1－a）2＋（0－a－1）2＝8.解得a＝1或a＝－3. 故所求圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝8或（x＋3）2＋（y＋2）2＝8. （2）方法一（几何性质法）：如图所示，由题设知｜AC｜＝r＝5，｜AB｜＝8，所以｜AO｜＝4. 在Rt△AOC中， ｜OC｜＝＝＝3. 设点C坐标为（a，0），则｜OC｜＝｜a｜＝3，所以a＝±3， 故所求圆的标准方程为（x＋3）2＋y2＝25或（x－3）2＋y2＝25. 方法二（待定系数法）：由题意设所求圆的标准方程为（x－a）2＋y2＝25. 因为圆截y轴所得的线段长为8，所以圆过点A（0，4）， 代入方程得a2＋16＝25，所以a＝±3. 故所求圆的标准方程为（x＋3）2＋y2＝25或（x－3）2＋y2＝25. ★解题感悟 求圆的标准方程的常用方法 （1）直接法：求出圆心和半径，直接写出方程. （2）待定系数法：一般步骤为 设方程—设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2 列方程组—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组 解方程组—解方程组，求出a，b，r 得方程—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的标准方程 （3）几何法：确定圆心坐标和半径，常用到圆的以下几何性质： ①弦的垂直平分线必过圆心； ②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心； ③圆心与切点的连线长是半径； ④圆心与切点的连线必与切线垂直. 【练习1】　（1）求经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）处的圆的标准方程； （2）已知圆的一条直径的端点为A（2，0），B（2，－2），求该圆的标准方程； （3）求过点A（2，－3），B（－2，－5）且圆心在直线l：x－2y－3＝0上的圆的标准方程. 解：（1）方法一：圆的半径 r＝＝5， 又∵圆心为点C（8，－3）， ∴圆的标准方程为（x－8）2＋（y＋3）2＝25. 方法二：∵圆心在C（8，－3）处，故设圆的标准方程为（x－8）2＋（y＋3）2＝r2. 又∵点P（5，1）在圆上， ∴代入得（5－8）2＋（1＋3）2＝r2， ∴r2＝25. ∴所求圆的标准方程为（x－8）2＋（y＋3）2＝25. （2）由已知得圆心坐标为（2，－1），半径r＝·｜AB｜＝1， ∴所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝1. （3）方法一：连接AB（图略），由已知得圆心必在AB的垂直平分线上，由A（2，－3），B（－2，－5），得线段AB的中点为（0，－4），kAB＝， ∴AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0. 解方程组得 ∴圆心为（－1，－2）， 半径为r＝＝. 故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10. 方法二：设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， ∴ 即 ②－①，得2a＋b＋4＝0. ④ 由③④，得a＝－1，b＝－2，代入①得r2＝10. ∴所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10. 二、点与圆的位置关系 探究5　A（1，1），B（3，0），C（，）与圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则｜OA｜，｜OB｜，｜OC｜与半径r的关系如何？ 提示：｜OA｜＜r，｜OB｜＞r，｜OC｜＝r. 探究6　点M（x0，y0）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2的关系如何判断？ 提示：（1）（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2⇔点在圆外. （2）（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2⇔点在圆上. （3）（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2⇔点在圆内.也可用点到圆心的距离与圆的半径作比较. ★梳理教材 点与圆的位置关系的判断 （1）根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断： d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内. （2）根据点M（x0，y0）的坐标与圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2的关系判断： （x0－a）2＋（y0－b）2＞r2⇔点在圆外； （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2⇔点在圆上； （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2⇔点在圆内. ★温馨提示　由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“＜”“＞”或“＝”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）点（0，0）在圆（x－1）2＋（y－2）2＝1上.（　✕　） （2）若原点在（x－a）2＋（y－b）2＝r2上，则a2＋b2＝r2.（　√　） 【典例2】　(1)点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　B　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 (2)已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　A　) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 解析：(1)12＋32＝10<24，故点P在圆内． (2)由题意，a＋b＝1，ab＝－， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8， ∴点P在圆C内，故选A. ★解题感悟 判断点与圆的位置关系的方法 （1）确定圆的方程：化为（x－a）2＋（y－b）2＝r2. （2）将点的坐标（x0，y0）代入代数式（x－a）2＋（y－b）2，比较代数式的值与r2的大小关系. （3）下结论：若（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2，表示点在圆上；若（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2，表示点在圆外；若（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2，表示点在圆内. ★解题感悟 　　此外，也可以利用点与圆心的距离d与圆的半径r的大小关系来判断.当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内. 【练习2】　（1）已知点P（a，10），圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝12，则点P（　C　） A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.与a的取值有关 （2）已知点（a＋1，a－1）在圆x2＋（y－a）2＝a2＋4外，则实数a的取值范围为（　B　） A.（－∞，1） B.（1，＋∞） C.（0，1） D.（，＋∞） 解析：（1）∵（a－1）2＋（10－1）2＝（a－1）2＋81＞12， ∴点P在圆外，故选C. （2）圆x2＋（y－a）2＝a2＋4的圆心为（0，a），半径r＝. 因为点（a＋1，a－1）在圆外， 所以点（a＋1，a－1）到圆心（0，a）的距离大于半径， 即＞，解得a＞1，故实数a的取值范围为（1，＋∞）. 三、与圆有关的最值问题 【典例3】　（1）已知点A（8，－6）与圆C：x2＋y2＝25，点P是圆C上任意一点，求｜AP｜的最小值； （2）已知x和y满足（x＋1）2＋y2＝，求x2＋y2的最大值和最小值. 解：（1）由于82＋（－6）2＝100＞25，故点A在圆外，从而｜AP｜的最小值为－5＝10－5＝5. （2）据题意知，x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值. 原点O（0，0）到圆心（－1，0）的距离d＝1，圆的半径r＝，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. 【变式探究】　在本典例（2）条件不变的情况下，如何求x2＋y2－2x的最大值和最小值？ 解：令t＝x2＋y2－2x＝（x－1）2＋y2－1，其几何意义表示圆上的点到点（1，0）距离的平方减1，而圆心为（－1，0），故圆上的点到点（1，0）的距离的最大值和最小值分别为和，故t的最大值为，最小值为. ★解题感悟 　　已知点P（x，y）在圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）上，求圆上的点P到定点M（m，n）的距离d＝的最值问题的处理步骤如下： （1）求圆心C（a，b）与定点M（m，n）的距离dMC. （2）根据圆的几何性质知： ①当M在圆外时，dmax＝dMC＋r，dmin＝dMC－r； ②当M在圆内时，dmax＝dMC＋r，dmin＝r－dMC. 【练习3】　已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A（1，0），B（5，0）， （1）求此圆的标准方程； （2）设P（x，y）为圆C上任意一点，试求x2＋（y－4）2的最值. 解：（1）由已知得，圆心C（3，0），半径r＝｜AB｜＝2， ∴圆C的标准方程为（x－3）2＋y2＝4. （2）x2＋（y－4）2表示点M（0，4）与圆C上任意一点P（x，y）距离的平方，连接PM（图略）. 由（0－3）2＋42＞4知点M（0，4）在圆C外部. 又｜MC｜＝＝5，且圆C的半径r＝2， ∴｜PM｜max＝5＋2＝7，｜PM｜min＝5－2＝3. ∴｜PM＝49，｜PM＝9. 即x2＋（y－4）2的最大值为49，最小值为9. ★课堂达标 1.已知圆C的圆心坐标为（1，1），且过坐标原点，则圆C的标准方程为（　B　） A.（x－1）2＋（y－1）2＝ B.（x－1）2＋（y－1）2＝2 C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝2 D.x2＋y2＝2 解析：因为圆心C（1，1），且过原点O，所以半径r＝｜OC｜＝，故圆C的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2. 2.点P（m，3）与圆（x－2）2＋（y－1）2＝2的位置关系为（　A　） A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.与m的取值有关 解析：∵（m－2）2＋（3－1）2＝（m－2）2＋4＞2，∴点P（m，3）在圆（x－2）2＋（y－1）2＝2外，故选A. 3.（多选）若点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，则a的取值不可能是（　AD　） A.－2 B.－ C. D.2 解析：由已知条件可得，（1－a）2＋（1＋a）2＜4，即2a2＋2＜4，解得－1＜a＜1.结合选项，故选AD. 4.若实数x，y满足（x＋5）2＋（y－12）2＝142，则x2＋y2的最小值为（　B　） A.2 B.1 C. D. 解析：方程（x＋5）2＋（y－12）2＝142表示以（－5，12）为圆心，14为半径的圆，x2＋y2表示圆上的点到原点距离的平方.∵圆心到原点的距离为13，∴圆上的点到原点的距离的最小值为14－13＝1，∴x2＋y2的最小值为1. 页 学科网（北京）股份有限公司 $