1.1.1 空间向量及其线性运算 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量及其线性运算，引导学生从平面向量迁移到空间向量，理解空间向量的概念、线性运算及运算律，掌握共线共面充要条件，搭建平面到空间的知识支架。 资料通过经典例题与跟踪训练结合，强化概念理解与运算技能，助力学生用数学思维推理空间向量关系，用数学语言表达空间形式，提升空间观念与运算能力，适合课堂教学与自主学习。

1.1.1空间向量及其线性运算（第一课时） 1、 学习目标： 1、 理解由平面向量到空间向量的过程，了解空间向量的概念； 2、 掌握空间向量的线性运算及其运算律； 3、 掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用. 2、 教学过程： 知识点一 空间向量的概念 1、 空间向量： （1） 定义：在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量. （2） 长度或模：空间向量的 叫做空间向量的长度或者模. （3） 表示法：①几何表示法：空间向量用 表示. ②字母表示法：用小写字母 表示. 2、 几类特殊的空间向量： （1） 零向量：长度为 的向量. （2） 单位向量：长度为 的向量. （3） 相反向量：长度 且方向 的向量叫做相反向量. （4） 相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量. （5） 共线向量：方向 或 的非零向量叫做共线向量，也叫 . 3、 经典例题： 【例1】（1）下列说法正确的是（ ） A、 若，则 B、若为相反向量，则 C、空间内两平行向量相等 D、在四边形中， （2） 在正方体中，与向量相等的向量有 ； 与向量相反的向量有 （要求写出所有适合条件的向量）. 【跟踪训练1】给出下列结论： ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②空间中所有的单位向量都相等； ③方向相反的两个向量是相反向量； ④若满足，且同向，则 ； ⑤对于任意向量，必有. 其中正确的序号是 . 知识点二 空间向量的加减运算 1、 加法、减法运算 （1） 加法运算： ① 法则； ② 法则； （2） 减法运算： 法则； 2、 加法运算规律：①交换律： ； ②结合律： ； 【例2】（多选）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（1）空间中任意四个点，则等于(　　) A. B． C． D． （2）在正方体中，则 . （3）化简： . 知识点三 空间向量的数乘运算 1、 定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积任然是一个 ，称为空间向量的 . 2、 几何意义： 与向量的方向 的长度是的 长度的 倍. 与向量的方向 ，其方向是 3、 运算律：①结合律 ； ②分配律 ； ； 【例3】（1）化简： . （2）如图所示，在平行六面体中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3). 4、 课堂小结： 5、 课后作业： 1．判断下列命题中为真命题的是(　　) A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 2．(多选)在正方体中，下列各式中运算结果为的是(　　) A． B． C． D． 3. 如图，在底面为正方形的平行六面体ABCD-A′B′C′D′的棱中，与向量模相等的向量有(　　) A．0个 B．3个 C．7个 D．9个 4.如图，在四面体ABCD中，＝a，＝b，＝c，点M在AB上，且AM＝AB，点N是CD的中点，则＝(　　) A. a－b＋c B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．－a＋b－c 5．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝___________． 学科网（北京）股份有限公司 $