2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 第一课时　直线与圆的位置关系 1.C　由题意得圆心到直线的距离为d＝＞，∴m＜2.∵m＞0，∴0＜m＜2.故选C. 2.B　设切点为Q，圆心为C，连接PQ，PC，CQ，如图所示，则CQ⊥PQ，而｜PQ｜＝＝＝2.故选B. 3.C　如图，过点C作CD⊥AB 于D，依题意，｜BD｜＝｜AB｜＝4，因为C（3，1），故｜CD｜＝3，从而，圆的半径为｜BC｜＝＝5，故所求圆的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝25，即x2＋y2－6x－2y－15＝0.故选C .4.B　由x2＋y2－2x－2y－1＝0，得圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝3，如图，图中AB⊥MO，｜MB｜＝，｜MO｜＝，M为圆x2＋y2－2x－2y－1＝0的圆心，A，B为直线AB与圆的交点，易知AB为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，所以｜AB｜＝2＝2＝2.故选B. 5.D　由直线l：kx－y－k＋3＝0的方程得（x－1）k＋（3－y）＝0，由解得即直线l恒过定点A（1，3），∴当点A（1，3）在圆上或圆内时，直线l与圆（x－5）2＋（y－6）2＝r2（r＞0）恒有公共点，∴（1－5）2＋（3－6）2≤r2，即r2≥25，又r＞0，∴r≥5，即r的取值范围为[5，＋∞）.故选D. 6.ABD　圆心C（0，0）到直线l的距离d＝，若点A（a，b）在圆C上， 则a2＋b2＝r2，所以d＝＝r（r＞0），则直线l与圆C相切，故A正确；若点A（a，b）在圆C内， 则a2＋b2＜r2，所以d＝＞r（r＞0），则直线l与圆C相离，故B正确；若点A（a，b）在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以d＝＜r（r＞0），则直线l与圆C相交， 故C错误；若点A（a，b）在直线l上， 则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝＝r（r＞0）直线l与圆C相切， 故D正确.故选A、B、D. 7.ABD　圆C的方程可化为（x－2）2＋y2＝2.可分为两种情况讨论： ①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1，所以直线方程为y＝±x； ②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1（a≠0），即x＋y－a＝0（a≠0），则＝，解得a＝4（a＝0舍去），所以直线方程为x＋y－4＝0. 8.2　解析：如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又｜OD｜＝＝1，∴r＝2｜OD｜＝2. 9.－或－　解析：由已知得点（－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3），由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点（2，－3）.设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－. 10.解：（1）设点C（x，y），则＝（x－3，y）， ＝（x＋1，y）， 由题意可得，·＝（x－3）（x＋1）＋y2＝5， 整理得（x－1）2＋y2＝9， 所以点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝9. （2）由（1）可知，曲线C是以C（1，0）为圆心，r＝3为半径的圆， 则圆心C（1，0）到直线l：x－y＋3＝0的距离d＝＝2， 所以｜MN｜＝2＝2×＝2. 11.D　在直线mx＋y＋1＝0的方程中，令x＝0，得y＝－1，则直线mx＋y＋1＝0过定点（0，－1）.由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则点（0，－1）是圆C的圆心，又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的半径r＝＝.因此，圆C的方程为x2＋（y＋1）2＝2，即x2＋y2＋2y＝1. 12.B　直线l：kx－y－2＝0恒过定点（0，－2），由方程＝x－1，两边平方得（x－1）2＋（y－1）2＝1（x≥1）， 所以曲线C表示以点（1，1）为圆心，半径为1，且位于直线x＝1右侧的半圆，包括点（1，2），（1，0），如图所示，当直线l经过点（1，2）时，l与曲线C有一个交点，此时k＝4；当l与半圆相切时，由＝1，解得k＝，由图可知，当≤k≤4时，l与曲线C至少有一个公共点，故选B. 13.　2　解析：如图，圆x2＋（y－1）2＝1的圆心为C（0，1），半径r＝1，圆与x轴相切于原点O.设点A在y轴正半轴上，由斜率为的直线与x轴交于D，则tan∠ADO＝，所以∠ADO＝60°，∠DAO＝30°，因为｜BC｜＝1，BC⊥AD，所以｜AC｜＝2，｜AB｜＝，｜AO｜＝3，由△ABC∽△AOD，得＝⇒｜OD｜＝，所以｜DB｜＝，｜AD｜＝｜AB｜＋｜BD｜＝2，即｜AB｜＝，｜AD｜＝2. 14.解：（1）由题意，设圆心坐标为C（a，0）（a＞0）， 由题意，得＝， 解得a＝－6（舍）或a＝2， 所以圆的半径为r＝＝， 则圆C的标准方程为（x－2）2＋y2＝2. （2）若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径r＝， 则｜AB｜＝2＝2，符合题意； 若斜率存在，设直线方程为y－3＝k（x－1）， 即kx－y－k＋3＝0. 弦心距d＝， 得｜AB｜＝2＝2， 解得k＝－，直线方程为4x＋3y－13＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝1或4x＋3y－13＝0. 15.解：（1）如图，连接PC，由点P在直线3x＋4y＋8＝0上，可设点P坐标为. 圆的方程可化为（x－1）2＋（y－1）2＝1， 所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××｜AP｜×｜AC｜＝｜AP｜. 因为｜AP｜2＝｜PC｜2－｜CA｜2＝｜PC｜2－1， 所以当｜PC｜最小时，｜AP｜最小. 因为｜PC｜2＝（1－x）2＋＝（x＋1）2＋9. 所以当x＝－时，｜PC＝9. 所以｜AP｜min＝＝2. 即四边形PACB面积的最小值为2. （2）由（1）知圆心C到点P的最小距离为3即点C到直线上点的最小值，若∠BPA＝60°，则需｜PC｜＝2，这是不可能的，所以这样的点P不存在. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　直线与圆的位置关系 1.（2025·河源月考）若直线x－y＝0与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝m相离，则实数m的取值范围是（　　） A.（0，2] B.（1，2] C.（0，2） D.（1，2） 2.从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向圆引切线，则此切线的长为（　　） A. B.2 C. D. 3.（2025·珠海五校联考）若圆C的圆心为（3，1），且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（　　） A.x2＋y2－6x＋2y－15＝0 B.x2＋y2－6x＋2y－7＝0 C.x2＋y2－6x－2y－15＝0 D.x2＋y2－6x－2y－7＝0 4.（2025·大庆期中）在圆x2＋y2－2x－2y－1＝0的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（　　） A.1 B.2 C.2 D.4 5.（2025·中山期中）已知直线l：kx－y－k＋3＝0，若无论k取何值，直线l与圆（x－5）2＋（y－6）2＝r2（r＞0）恒有公共点，则r的取值范围是（　　） A.[3，5] B.（3，＋∞） C.[4，6） D.[5，＋∞） 6.〔多选〕已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2（r＞0），点A（a，b），则下列说法正确的是（　　） A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 7.〔多选〕与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为（　　） A.x＋y＝0 B.x－y＝0 C.x＝0 D.x＋y＝4 8.若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB＝120°（O为坐标原点），则r＝　　　　. 9.一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为　　　　. 10.在平面内，已知A（3，0），B（－1，0），C为动点，若·＝5. （1）求点C的轨迹方程； （2）若直线l：x－y＋3＝0与曲线C交于M，N两点，求｜MN｜的长. 11.已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为（　　） A.x2＋y2－2y＝2 B.x2＋y2＋2y＝2 C.x2＋y2－2y＝1 D.x2＋y2＋2y＝1 12.（2025·泉州期中）若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：＝x－1至少有一个公共点，则实数k的取值范围是（　　） A.［，2］ B.［，4］ C.［－2，－］∪（，2］ D.［，＋∞） 13.若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋（y－1）2＝1相切于点B，与x轴交于点D，则｜AB｜＝　　　　，｜AD｜＝　　　　. 14.已知圆C过点（1，1），圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切. （1）求圆C的标准方程； （2）已知过点P（1，3）的直线l交圆C于A，B两点，且｜AB｜＝2，求直线l的方程. 15.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点. （1）求四边形PACB面积的最小值； （2）直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $