2.5.1 第2课时 直线与圆的方程的实际应用(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第二课时　直线与圆的方程的实际应用 1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，建立如图所示的直角坐标系，则该半圆的方程是（　　） A.x2＋y2＝25 B.x2＋y2＝25（y≥0） C.（x＋5）2＋y2＝25（y≤0） D.x2＋y2＝25（y≤0） 2.如图，圆弧形拱桥的跨度｜AB｜＝12米，拱高｜CD｜＝4米，则拱桥的直径为（　　） A.15米　　B.13米　　C.9米　　D.6.5米 3.一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A，距离小岛10海里范围内可能存在暗礁.若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则暗礁所在区域边界的方程为（　　） A.（x＋20）2＋（y－20）2＝100 B.（x－20）2＋（y＋20）2＝100 C.（x＋20）2＋（y＋20）2＝100 D.（x－20）2＋（y－20）2＝100 4.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段，这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米，当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（　　） A.10米 B.10米 C.6米 D.6米 5.设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公园外两点A（－2，0），B（0，2）与公园边上任意一点修建一处三角形舞台，则舞台面积的最小值为（　　） A.3－ B.3＋ C.3－ D. 6.〔多选〕从点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是（　　） A.若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0 B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0 C.若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过最短路程是5－1 D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是［－，1］ 7.〔多选〕某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则下列结论正确的是（　　） A.该圆拱所在圆的半径为30 m B.支柱A1P1的高为（9－24）m C.支柱A2P2的高为（12＋24）m D.支柱A2P2的高为（12－24）m 8.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为　　　　h. 9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向正东方向走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东走7 km到达公路上的点B.从基地中心O向正北方向走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则｜DE｜的最小值为　　　　. 10.设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，甲、乙两人在何处相遇？ 11.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：现有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分），已知弦｜AB｜＝1尺，弓形高｜CD｜＝1寸，则阴影部分的面积约为（注：π≈3.14，sin 22.5°≈，1尺＝10寸）（　　） A.6.33平方寸 B.5.35平方寸 C.7.37平方寸 D.8.39平方寸 12.某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心O的东北方向20米的点A处，有一360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度.那么观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为　　　　米. 13.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示（单位：cm），四边形AFED为矩形，AB，CD，FE均与圆O相切，B，C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知tan α＝，tan β＝，则该零件的截面的周长为　　　　.（结果保留π） 14.（2025·阳江月考）有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回时，每单位距离，A地的运费是B地的2倍，已知A，B两地相距6千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系. （1）求A，B两地的售货区域的分界线的方程； （2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地. 15.如图，已知某市穿城公路MON自西向东到达市中心O后转向正北方向，∠MON＝，现准备修建一条直线型高架公路L，在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B.且要求市中心O到AB所在直线的距离为10 km. （1）若将出入口A设计在距离中心O点10 km处，求A，B两出入口间的距离； （2）在公路MO段上距离市中心O点30 km处有一古建筑C（视为点），现设立一个以C为圆心，5 km为半径的圆形保护区（包含边界），问如何在古建筑C和市中心O之间设出入口A，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　直线与圆的方程的实际应用 1.B　在给定的坐标系中，上半圆方程中满足y≥0，故选B. 2.B　如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得｜OB｜2＝｜OD｜2＋｜BD｜2，即r2＝（r－4）2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13米. 3.D　易得暗礁所在区域边界为一个圆，过A作y轴的垂线，垂足为B（图略），则∠AOB＝30°，∵｜OA｜＝40，∴｜AB｜＝20，｜OB｜＝＝20，∴暗礁所在区域边界方程为（x－20）2＋（y－20）2＝100. 4.C　根据题意，建立如图所示的圆拱桥模型.设圆O的半径为R，当水面跨度是20米，拱顶离水面4米时，水面为AB，M为AB的中点，即｜AB｜＝20，｜OM｜＝R－4，由勾股定理，得｜AM｜2＝（）2＝｜OA｜2－｜OM｜2，即100＝R2－（R－4）2，解得R＝.当水面上涨2米后，水面为CD，N为CD的中点，此时｜ON｜＝R－2，由勾股定理，得｜CD｜＝2｜CN｜＝2＝6（米）. 5.A　因为直线lAB：x－y＋2＝0，圆心为（1，0），半径为1，则圆心到直线lAB的距离为d＝＝，所以AB边上的高的最小值为－1，所以三角形舞台面积Smin＝×2×（－1）＝3－. 6.BCD　点A（－3，3）关于x轴的对称点为A'（－3，－3）.圆的方程为（x－2）2＋（y－2）2＝1，由题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k（x＋3），即kx－y＋3k－3＝0.由反射光线与圆C相切知＝1，解得k＝或k＝.所以反射光线方程为y＋3＝（x＋3）或y＋3＝（x＋3）.即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误；过A'（－3，－3），C（2，2）的直线方程为y＝x，故B正确；因为｜A'C｜＝＝5，所以光线经过的最短路程为5－1，故C正确；由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为（1，0）和（－，0），所以被挡住的范围是［－，1］，故D正确. 7.ABD　如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为（－18，0），（18，0），（0，6）.设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为A，B，P在此圆上，故有解得故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0，即x2＋（y＋24）2＝302，圆的半径为30 m，选项A正确；将点P1的横坐标x＝3代入上式，结合图形解得y＝－24＋9，故支柱A1P1的高为（9－24）m，选项B正确；将点P2的横坐标x＝6代入上式，结合图形解得y＝－24＋12，故支柱A2P2的高为（12－24）m，选项C错误，D正确.故选A、B、D. 8.1　解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B（40，0）为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，由题意知，台风路径用方程表示为y＝x，则圆心B（40，0）到直线y＝x的距离d＝＝20，可求得｜MN｜＝2＝20，所以城市B处于危险区的时间为1 h. 9.（4－1）（km）　解析：以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴，y轴，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略），则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B（8，0），C（0，8），所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y－8＝0.易知，当O，D，E三点共线且OE⊥BC时，DE的长最小，｜DE｜的最小值为－1＝（4－1）（km）.故｜DE｜的最小值为（4－1）（km）. 10.解：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系. 设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，设D点坐标为（a，0），C点坐标为（0，b），则CD所在直线的方程为＋＝1（a＞3，b＞3），设乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意有 解得 所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇. 11.A　连接OD（图略），设半径为r.由题意知｜AD｜＝5寸，则｜OD｜＝r－1，在Rt△OAD中，｜OA｜2＝｜AD｜2＋｜OD｜2，即r2＝52＋（r－1）2，解得r＝13，则sin∠AOC＝，所以∠AOC≈22.5°，则∠AOB≈2×22.5°＝45°，所以扇形OAB的面积S1＝＝≈66.33（平方寸），△OAB的面积S2＝×10×12＝60（平方寸），所以阴影部分的面积为S1－S2≈66.33－60＝6.33（平方寸）. 12.17.5　解析：以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则O（0，0），A（20，20），观景直道所在直线的方程为y＝－10，由图易知，过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过点A且恰与圆O相切，①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切；②若直线l不垂直于x轴，设l：y－20＝k（x－20），整理得kx－y－20k＋20＝0，所以圆心O到直线l的距离d＝＝4，解得k＝或k＝，所以直线l的方程为3x－4y＋20＝0或4x－3y－20＝0，设这两条直线与y＝－10交于D，E，由解得x＝－20，由解得x＝－2.5，所以｜DE｜＝17.5. 13.84＋6π　解析：以A为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则直线AB的方程为4x＋3y＝0，直线CD的方程为3x－4y－105＝0，直线EF的方程为y＝12，设圆心为O（a，b），则圆心到直线AB，直线CD，直线y＝12的距离均相等且等于r，则r＝＝＝｜12－b｜，解得a＝15，b＝0，r＝12，易得｜AB｜＝＝9，｜CD｜＝＝16，对应弧长为圆的周长，故该零件的截面的周长为9＋16＋24＋35＋＝84＋6π. 14.解：（1）以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则点A（3，0），B（－3，0）， 设每单位距离B地的运费为a元，设售货区域内一点为P（x，y），若在两地的购货费用相同，则2a＝a， 化简可得（x－5）2＋y2＝16，故在A，B两地的售货区域的分界线的方程为（x－5）2＋y2＝16. （2）如图，由（1）可知，A，B两地的售货区域的分界线是以点（5，0）为圆心，以4为半径的圆，所以在圆（x－5）2＋y2＝16上的居民从A，B两地购货的总费用相同. 由2a＞ a，可得（x－5）2＋y2＞16， 所以在圆（x－5）2＋y2＝16外的居民从B地购货便宜； 由2a＜ a，可得（x－5）2＋y2＜16， 所以在圆（x－5）2＋y2＝16内的居民从A地购货便宜. 15.解：（1）如图，过点O作OE⊥AB交AB于点E，则OE＝10 km. 在Rt△AEO中，sin A＝＝，所以cos A＝， 在Rt△ABO中，AB＝＝＝20（km）， 即A，B两出入口间的距离为20 km. （2）以O为原点建立平面直角坐标系，则圆C的方程为（x＋30）2＋y2＝25. 设直线AB的方程为y＝kx＋t（k＞0，t＞0）.则｜OA｜＝，且需＝10，＞5， 解得t＜20k或t＞60k. 因为古建筑C距O点30 km，当t＞60k时，｜OA｜＞60，不合题意， 所以t＜20k，即｜OA｜＜20.故0＜｜OA｜＜20. 所以出口A应设计在与市中心距离20 km以内的位置. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $