1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练习聚焦空间向量及其线性运算，通过基础概念辨析、中档运算应用、综合问题解决三层设计，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|空间向量概念、线性运算基础|选择1（概念辨析）、填空8（向量关系判断），强化数学眼光观察现实世界| |中档层|向量表示与化简、简单应用|选择5（平行六面体向量运算）、解答10（长方体向量问题），培养数学思维推理能力| |综合层|复杂几何体向量综合应用|解答11（平行六面体多中点向量表示），提升数学语言表达与应用意识|

1.1.1 空间向量及其线性运算 第1课时 空间向量及其线性运算 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.下列命题中为真命题的是（　 　） A.向量与的长度相等 B.若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C.空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 2.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝（　 　） A. B.3 C.3 D.2 3．某市119指挥中心接到群众报警称：位于C处的某建筑工地塔吊上D处有一建筑工人突发疾病，急需救援．指挥中心马上指示位于A处的市消防队就近出警，3名消防员立即乘车到达B处，马上下车跑步到达C处，再攀爬到塔吊上D处救下发病工人，则在这个救援过程中消防员运动的位移用向量表示为（　 　） A． B． C． D． 4.如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则＋（－）＝（　 　） A. B. C. D. 5.（多选）在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量运算正确的是（　 　） A.＝－a＋b＋c B.＝－a＋b＋c C.＝a＋b＋c D.＝－a－b＋c 6.（多选）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是（　 　） A.＝b－c B.＝b＋c－a C.＝b－c－a D.＝a＋b＋c 二、填空题 7.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝　 　. 8.如图所示，在三棱柱ABC－A'B'C'中，与是 向量，与是 向量.（均填“相等”或“相反”） 9.在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为　 　. 三、解答题 10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中. （1）单位向量共有多少个？（2）写出模为的所有向量；（3）试写出的所有相反向量. 11.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： （1）；（2）；（3）＋. 答案与解析 一、选择题 1.下列命题中为真命题的是（　A　） A.向量与的长度相等 B.若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C.空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 解析：对于选项A，与方向相反，模相等；对于选项B，终点构成一个球面；对于选项C，空间非零向量能用空间中的一条有向线段表示，但不能说向量就是有向线段；对于选项D，向量a与向量b不相等，有可能它们的模相等，但方向不同.故选A. 2.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝（　B　） A. B.3 C.3 D.2 3．某市119指挥中心接到群众报警称：位于C处的某建筑工地塔吊上D处有一建筑工人突发疾病，急需救援．指挥中心马上指示位于A处的市消防队就近出警，3名消防员立即乘车到达B处，马上下车跑步到达C处，再攀爬到塔吊上D处救下发病工人，则在这个救援过程中消防员运动的位移用向量表示为(　C　) A． B． C． D． 解析：由消防员的运动过程知＋＋＝. 4.如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则＋（－）＝（　C　） A. B. C. D. 解析：因为－＝，（－）＝＝，所以＋（－）＝＋＝.故选C. 5.（多选）在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量运算正确的是（　ABC　） A.＝－a＋b＋c B.＝－a＋b＋c C.＝a＋b＋c D.＝－a－b＋c 解析：＝＋＝＋（＋）＝c＋（－a＋b）＝－a＋b＋c，A正确；＝＋＝（b－a）＋c＝－a＋b＋c，B正确；＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，C正确；＝＋＝c＋（a＋b）＝a＋b＋c，D错误. 6.（多选）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是（　BD　） A.＝b－c B.＝b＋c－a C.＝b－c－a D.＝a＋b＋c 解析：对于A，由向量的平行四边形法则，得＝＋＝b＋c，故A错误； 对于B，由向量的平行四边形法则和三角形法则， 得＝－＝－ ＝（＋）－＝＋－＝b＋c－a，故B正确； 对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以＝＝b＋c－a， 所以＝（b＋c－a）＝b＋c－a，故C错误； 对于D，＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，故D正确.故选BD. 二、填空题 7.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝　－a＋b－c　. 解析：＝＋＝＋（－）＝－＋－＝－c＋b－a. 8.如图所示，在三棱柱ABC－A'B'C'中，与是　相等　向量，与是　相反　向量.（均填“相等”或“相反”） 9.在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为　0　. 解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则＝， 故＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0. 三、解答题 10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中. （1）单位向量共有多少个？ （2）写出模为的所有向量； （3）试写出的所有相反向量. 解：（1）由题意知，AA1＝1，所以向量，，，，，，，，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个. （2）易知A1D＝＝，所以模为的向量有，，，，，，，. （3）根据相反向量的定义，可得向量的所有相反向量为，，，. 11.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： （1）； （2）； （3）＋. 解：（1）因为P是C1D1的中点， 所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b. （2）因为N是BC的中点， 所以＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. （3）因为M是AA1的中点， 所以＝＋＝＋＝－a＋（a＋c＋b）＝a＋b＋c. 又＝＋＝＋＝＋＝c＋a， 所以＋＝（a＋b＋c）＋（a＋c）＝a＋b＋c. 页 学科网（北京）股份有限公司 $