专题2.4 平面向量的数量积及其应用8大题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题2.4 平面向量的数量积及其应用（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01定义法求数量积 题型02基底法求数量积及最值（范围） 题型03坐标法求数量积及最值（范围） 题型04极化恒等式求数量积及最值（范围） 题型05投影法求数量积及最值（范围） 题型06利用数量积求模 题型07利用数量积求夹角 题型08利用数量积求投影向量 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求数量积 熟练运用定义法（模乘模乘夹角）、坐标法（横纵坐标积之和）、投影法（一个向量模乘另一向量在其上的投影）；能根据图形特征选择最优解法 每年必考，选择题、填空题高频，常与三角形、平行四边形结合，考查对数量积几何意义和代数运算的灵活应用 求数量积的最值与范围 掌握坐标化后转化为函数最值、利用几何意义（如投影长度的变化）结合图形分析、运用不等式（如均值不等式）求范围；注意动点轨迹对取值的影响 中等偏上难度，常在压轴小题出现，综合性强，需根据题目条件选择函数法、几何法或不等式法，数形结合是关键 求模长 掌握通过平方转化为数量积求模长；能利用坐标公式求模；会处理向量和差、线性运算后的模长问题 基础高频，常与数量积结合考查，选择题、填空题中多见，注意平方技巧的应用和模长的非负性 求夹角 熟练运用夹角公式，由数量积除以模长乘积得夹角余弦；能根据条件求数量积和模长后代入计算；注意夹角的范围是零到派 基础高频，选择题、填空题常考，有时在解答题中作为中间步骤，需准确计算并判断夹角是锐角、直角还是钝角（通过数量积正负号） 求投影向量 理解投影是向量，非标量；掌握投影向量的计算公式，即数量积除以投影方向向量的模的平方再乘以该方向向量；能区分投影（数量）与投影向量 常与数量积定义结合，注意概念辨析：投影数量可正可负 知识点01 平面向量数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． 注意：数量积是数量，不是向量。 2、数量积满足的运算律 ；（交换律）；（分配律）． 知识点02 平面向量数量积的应用 1、利用数量积求模长 如果知道，的模长，以及、向量夹角，则可以根据求向量的模长 2、利用数量积求夹角 根据可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角 3、向量的投影： 向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 向量在上的投影向量模长： 知识点03 平面向量数量积的最值与范围 1、 直接利用数量积公式求最值，两平面向量的数量积大小根据两个向量模长、夹角大小来确定，若模长固定，则可根据夹角大小来确定。 2、 利用极化恒等式来求数量积的最值。 (1) 平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：. (2) 极化恒等式 3、利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式，如其中有一边为固定的长度，则直接根据（可看做是AC在AB边上的投影数量）来决定数量积的范围。 题型一 定义法求数量积 解｜题｜技｜巧 1、直接利用平面向量数量积的定义和运算律来求平面向量数量积 2、根据数量积公式，数量积大小由模长、夹角来决定，如果模长都是固定的，则可以通过夹角的大小决定数量积 【典例1】（25-26高一下·广东广州·期中）已知，，与的夹角为60°，则（   ） A． B． C．36 D．72 【答案】A 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 则. 【典例2】（25-26高一下·河南开封·阶段检测）设，，是单位向量，且，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由，，得，，． 【变式1】（25-26高一下·广西河池·期中）已知单位向量满足,（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】已知等式平方把模转化为数量积求得，然后再由数量积的运算律计算． 【详解】因为是单位向量，且， 所以，所以， 所以. 【变式2】（2026·广东佛山·模拟预测）已知向量，，满足，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将用表示，通过平方运算求得，再代入所求数量积表达式计算结果. 【详解】由已知，移项得，两边同时取模平方， 得， 代入 ，得 ，解得， 将代入所求表达式： ， . 题型二 基底法求数量积及最值（范围） 答｜题｜模｜板 基底法求数量积：将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的分配律展开计算。 【典例1】（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，已知四边形，，，是的中点，，若，则的最小值为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，结合题中已知条件得出，，，，通过，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果. 【详解】解：令，因为，，， 所以，， 又因为是的中点，，所以，，， 故可得，， 所以 ， 当时，取得最小值， 【典例2】（25-26高一下·福建宁德·期中）如图，是以为直径的圆上的动点，已知，则的最大值是__________. 【答案】2 【分析】由向量的几何意义可知，=，求解最大，即可根据不等式求解求得最值. 【详解】如图，先将视为定点，设，则， 连接，则， 过作的平行线交圆于，交于，且为垂足， 又知当在同侧时，取最大值， 设在的投影为， 当确定时，为定点，则当落在处时，最大， 由向量的几何意义可知，=，最大时为， 又,， ∴最大为 ,当且仅当时等号成立，即， ∴的最大值为2. 【变式1】（25-26高一下·福建宁德·期中）已知圆的半径为3，弦，是圆上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，则，, 所以 ， 因为，所以. 【变式2】（25-26高一下·云南昆明·期中）在中，点满足，点是边上靠近的四等分点，与所成的夹角为，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】先用表示，换元简化向量，再利用已知条件转化向量关系，最后计算最大值. 【详解】由题意因为，所以 点是边上靠近的四等分点，故， 联立，解得 已知与所成的夹角为，可得， 这是关于的二次函数，开口向下，最大值在顶点处：， 此时， 故答案为：. 题型三 坐标法求数量积及最值（范围） 答｜题｜模｜板 通过建系设坐标的方式表示数量积，解决数量积的最值、范围问题 【典例1】（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，设出P、Q点坐标，根据数量积公式，可得m，n的关系，结合基本不等式，整理计算，即可得答案；法二：设，则∠BCP＝，根据三角函数的定义，可得CQ、CP的长，根据数量积公式，结合余弦函数的图象与性质，分析求解，即可得答案. 【详解】法一： 建立以A为坐标原点，为轴，为轴的平面直角坐标系， 则，设， 所以，则， 又， 则有， 令，，则， 左右同时平方得， 则，整理得， 所以，又，所以， 则，即， 解得，或（舍去）， 又，且， 所以，即， 综上所述. 法二：设，则∠BCP＝， ∵正方形ABCD的边长为2，， ∴. ∴， ∵，则， ∴， ∴. 【典例2】（25-26高一下·上海·期中）在直角梯形中，，，且，，对角线与交于点，点满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】法1：建立平面直角坐标系，求得，结合，即可求解； 法2：根据，得到的长，由向量的线性运算得到，求得，结合，即可求解． 【详解】法1：以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，可得， 所以，， 因为，且，，所以， 又因为， 可得， 所以，因为，可得， 所以的取值范围是． 法2：因为，可得， 又因为，可得， 所以，所以， 由，且相似比为，可得， 所以， 因为， 所以 ， 由，可得，所以的取值范围是． 【变式1】（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）在梯形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，且，点F在线段AB上，且，平面内的动点P满足，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】根据得到，再以A为原点建立直角坐标系，再根据向量数量积求解即可. 【详解】由得，. 以为原点，为轴建立直角坐标系，则，. 设，则. 由得：，即 ①； 由，相似比得​​， 故​，即 ②. ②-①得： ，代入①得​，因此，. 由得，动点满足， 故轨迹为以为圆心，半径1的圆. 设，为与x轴的夹角. 进而， ， 所以，其中. 故的最大值为. 【变式2】（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】以点为原点建立如图所示直角坐标系， 因为，，， 所以， 因为，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 设点， 因为，所以， 所以，解得， 所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值为. 题型四 极化恒等式求数量积及最值（范围） 答｜题｜模｜板 用极化恒等式的信号： 1. 出现一动点与两定点（或固定长度的两点）。 2. 出现对角线长度已知的平行四边形。 3. 已知两个向量的和向量与差向量的长度。 【典例1】（25-26高一下·湖南·月考）如图，点在边上，以为直径的半圆与等腰直角三角形的直角边都相切，是所在平面内一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】取MN的中点为点O，通过作适当的辅助线求出圆的半径，然后利用极化恒等式进行求解. 【详解】设为的中点，作垂直于BC于点D，OE垂直于AB于点E，则四边形OEBD为正方形， 设，在中, ， 即，解得， 则， ， 当且仅当与重合时等号成立，所以的最小值为. 【典例2】（25-26高一下·上海·期中）已知直角三角形，，斜边，是它的内切圆的一条弦，点为三角形三边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是________. 【答案】 【分析】先求出内切圆的半径，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据条件，将问题转化成，再求出的最大值和最小值，即可求解. 【详解】由题知，设内切圆的半径为， 则，得到，解得， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则内切圆的圆心为，又是它的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，是内切圆的直径， 则， 又，圆与三角形各边均相切， 所以，又，且点为三角形三边上的动点， 所以，则，所以的取值范围是. 【变式1】（25-26高一下·吉林·月考）四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段AE上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系. 则，，，. 设，. 则， ， 所以， 所以当时，取得最小值，为. 故答案B正确. 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】因为，由向量的线性运算可得，又因为整理可得，由此得到的最小值为. 【详解】 因为 如图所示设中点为，则， 所以； 设中点为, 当且仅当，即点与点重合时，有最小值. 故答案为：. 题型五 投影法求数量积及最值（范围） 答｜题｜模｜板 当两向量中有一个向量的模长已知，且能找到另一个向量到该向量的投影数量，则考虑用投影法去求数量积及最值或范围。 【典例1】（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆为的外接圆，，，则（   ） A．10 B．20 C．26 D．52 【答案】C 【分析】取、中点、，连接、，可得， ，再利用数量积公式计算即可得. 【详解】取、中点、，连接、， 由垂径定理可知，、， 则 . 【典例2】（25-26高一下·江苏泰州·期中）如图，将六个边长为1的小正方形拼成一个大长方形，是原来小正方形的两个顶点，是小正方形的其余顶点，的所有不同的数值有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据条件，求出在上的投影数量，再利用数量积的几何意义，即可求解. 【详解】由图可知，所以， 因为在上的投影数量为，且，所以， 又在上的投影数量为，所以， 综上所述，的所有不同的数值有个. 【变式1】（25-26高一下·北京朝阳·期中）在Rt中，是斜边上的高，如图，则下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助数量积公式计算可得A、B、C；借助等面积法计算可得D. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：由，则， 又，， 则，故D正确. 【变式2】（25-26高一下·上海·期中）设是边长为的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为________ 【答案】 【分析】利用等边三角形的几何性质，结合向量的运算即可求解. 【详解】如图，设为各边三等分点，根据等边三角形可知，相交于中心点， 根据等边三角形可知：四边形是菱形，则由菱形的对角线互相垂直平分可得：是线段的垂直平分线， 所以当时，动点一定在上，同 理，当时，动点一定在上，当时，动点一定在上， 所以当时，结合点在三角形的内部， 可得集合为正六边形及其内部区域， 所以当与重合时，，即可取到最小值， 当与重合时，，即可取到最大值， 因此的取值范围为. 题型六 利用数量积求模 答｜题｜模｜板 利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 【典例1】（25-26高一下·广西河池·期中）已知平面向量，满足，，且，则_________． 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律，由，得到 ，再结合求出. 【详解】由, 又，所以； 又 所以，，，. 【典例2】（2026·湖北·三模）已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题意可得，根据模长结合数量积运算律可得，进而可得，即可得模长. 【详解】由题意可知：， 因为，即， 则， 即，可得， 则，所以. 【变式1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知向量，满足，，，若，，且，分别是在，上的投影向量，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】由题可得，，然后由向量模长公式可得，据此可得答案. 【详解】，，类似可得， ， 当且仅当时等号成立. 【变式2】（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：, , 当且仅当时，. 题型七 利用数量积求夹角 答｜题｜模｜板 1、 利于向量数量积公式=来计算向量的夹角。 2、有关向量夹角的两个结论 (1)若与的夹角为锐角，则；若，则与的夹角为锐角或0. (2)若与的夹角为钝角，则；若，则与的夹角为钝角或π. 【典例1】（25-26高一下·天津南开·期中）已知，，，则向量与夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模长公式，结合向量数量积的定义及运算律计算夹角即可． 【详解】设向量与的夹角为， 则. 因为，，代入可得： ，解得， 因为，故． 【典例2】（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，则 ， 解得， 设向量与的夹角为，则． 【变式1】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，在梯形ABCD中，，CD=3，·=2·，且·=45，则∠BAD=____. 【答案】 【分析】利用向量数量积的分配律化简已知等式，推导出，再结合向量加法的三角形法则与数量积公式，建立关于的方程求解，进而求出，得到. 【详解】设，由，得， 即，所以， 所以|，所以，即. 又， 解得，所以，又，所以，即. 【变式2】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平面内两个不共线的向量和，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将的模求出，运用向量的数量积的性质求出的范围. 【详解】因为，所以，又，且和的夹角为， 所以， 由题意可知，且与不共线， 由，得出，解得， 如果与反向共线，则， 综上所述. 题型八 利用数量积求投影向量 答｜题｜模｜板 根据投影向量公式，向量在上的投影向量：，公式比较长，可以从几何角度去理解记忆，先求投影数量，再乘上单位向量。 【典例1】（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）两个非零向量满足，且，则在方向上投影向量的模为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的定义及投影向量的计算公式即可求解． 【详解】， 则在方向上投影向量的模， 又，所以在方向上投影向量的模为． 【典例2】（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为________. 【答案】 【详解】∵向量，的夹角为，且，， ∴，向量在向量上的投影向量为. 【变式1】（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，结合向量关系式推得共线，依托外心性质判定三角形为等腰三角形，利用边长算出顶角为60°，再套用投影向量公式计算得出结果。 【详解】设的中点为，由向量中点公式得. 由条件，得， 故，，三点共线，且在中线上. 因为是的外心，所以垂直平分，即，. 设外接圆半径为，则，，. 在中，，，故，即. 所以，由圆心角与圆周角关系得，因此为等边三角形. 向量在上的投影向量为. 设，则，代入得投影向量为. 【变式2】（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知平面向量满足，记在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】代入投影向量公式求解. 【详解】在上的投影向量为， 所以. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到是的中点，再由得到是等边三角形，作即可求解. 【详解】，， 是的外接圆圆心，是中点， 又，所以是等边三角形，， 设，则，作于H，则， 所以， 即为向量在向量上的投影向量，， 2．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）若向量满足，，则与夹角的余弦值为______． 【答案】 【详解】设与的夹角为，由 得 两式相加得＝1，则，则，得． 3．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， ， 所以， ，当且仅当，即时取等号，最小值为． 4．（25-26高一下·江苏无锡·月考）如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，根据向量夹角的余弦值求解即可. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 则，，是中点，故； 由，，得； 是上靠近的四等分点， 由定比分点公式得 . 为向量与的夹角，所以. 因为，， 所以， ，. 进而． 5．（25-26高一下·江苏·期中）在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______． 【答案】1 【详解】如图所示,在边长为2的菱形中，，E为中点， 所以 ， ， ， ， . 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案. 【详解】取的中点，连接， 则，， 两式分别平方再相减得， 设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2， 当与或重合时，最大，最大值为， 所以. 2．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，建立平面直角坐标系，根据，设出点P坐标，利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换即可求解． 【详解】在中，由，可得， 根据，得，， 以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，则， 设为平面内满足的点， 则有，， 则， 由于P在单位圆上，可设，， 则， 故的取值范围为 故选:A 3．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的几何意义结合已知图形得出的最值，再利用数量积即可求出. 【详解】， 由投影的定义知，结合图形得， 当过P的直线与半圆弧相切于P点且平行于BC时，最大为， 此时； 当P与C或B点重合时，最小为， 此时， ∴. 4．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________    【答案】 【分析】过C作交延长线于E点，则，结合图象，当位于点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】    如图，过作交延长线（或反向延长线）于点， 则， 因为个正六边形的边长均为，如图，当位于点时，取得最大值， 此时，，， 则此时，即. 5．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，已知是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的对称性，结合平面向量数量积的几何意义进行求解即可. 【详解】由正六边形的对称性可知，易知正六边形的每个内角为. 设与的夹角为，则， 所以当最大时，取得最大值； 当最小时，取得最小值. 可知当与重合时，取得最大值， ，此时.. 当与重合时，取得最小值，此时， 此时，故的取值范围为. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一下·浙江·期中）已知半径为2的圆上有三点A，B，C，满足，点是圆上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以圆心为原点建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算将所求表达式转化为与圆心和点相关的形式，再结合正弦函数的性质求解取值范围. 【详解】以圆心为原点建立平面直角坐标系，设，则， 设，则，且在圆上，满足， 两式相减得，解得， 不妨取， 设，则， ， 所以 ， ， 相加得 ， ， 因为， 所以，即， 所以，所以， 所以的取值范围为. 2．（25-26高一下·北京·期中）设向量，，满足，，，则的取值不可能为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】取平面内一点 作为共同起点，分别作 ，，，把向量条件转化为点 ，， 的位置关系．由，先求出和，再由转化为．利用固定弦所对圆周角确定点的轨迹，从而得到的取值范围，再判断各选项． 【详解】取平面内一点 作为共同起点，分别作 ，，． 因为，，所以 所以． 又 所以． 由可知，向量与的夹角为，即． 因为是定长，且，所以点在以为弦、圆周角为的圆弧上． 设相应圆的半径为，则 所以 这样的圆有两个．其中一个圆就是以为圆心、半径为的圆，在该圆对应的圆弧上，． 另一个圆的圆心记为，它与在直线的两侧， 可推得该圆心与点的距离，且该圆半径． 在这个圆对应的圆弧上，从端点附近的连续变化到最大值． 因此的可能取值不超过，且，，均可以取到，而 所以的取值不可能为．      3．（25-26高一下·黑龙江·期中）已知平面向量满足，非零向量满足，向量满足，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】先由已知单位向量与的数量积求出与夹角为,再设各向量对应定点,利用得出点的轨迹是以为圆心、半径为1的圆,将转化为定点到动点的距离,过圆心作的垂线,在直角三角形中求出垂线段长,减去圆半径即可得到的最小值. 【详解】因为非零向量满足. 所以向量与的夹角为，设， 则. 所以有，则，所以点的轨迹为以为圆心的圆. 过点，作，垂足为，交圆于点. 根据图象可得出即为的最小值. 在中，有，所以有. 又，所以. 4．（25-26高一下·四川成都·期中）已知为边长为的正三角形，为所在平面内动点，满足，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】先建立坐标系化简条件得到点的运动轨迹，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 则正三角形坐标为，，，设动点. 则. 由，平方化简得，即的轨迹是以重心为圆心，半径的圆. ，，因此， 圆上点的横坐标范围为圆心横坐标加减半径，即，因此. 即的取值范围是. 5．（25-26高一下·上海杨浦·期中）已知正六边形 的边长为 是其边上的动点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作直线，分别延长交直线于点，则在直线上的射影在线段上，利用数量积的定义可得结论. 【详解】是正六边形，则， 所以， ，则， 过作直线，则，分别延长交直线于点， 则是矩形，， 作于，由图可知，当在正六边形的边上移动时，在线段之间移动， ， 又由向量夹角定义知， ， 当在线段时，，当在线段时，， 所以. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.4平面向量的数量积及其应用（期末复习讲义） 内容导航 明~期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破•重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01定义法求数量积 题型02基底法求数量积及最值（范围） 题型03坐标法求数量积及最值（范围） 题型04极化恒等式求数量积及最值（范图） 题型05投影法求数量积及最值（范围） 题型06利用数量积求模 题型07利用数量积求夹角 题型O8利用数量积求投影向量 过分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 求数量积 熟练运用定义法（模乘模乘夹角）、坐 每年必考，选择题、填空题高频，常与 标法（横纵坐标积之和）、投影法（一 三角形、平行四边形结合，考查对数量 个向量模乘另一向量在其上的投影)： 积几何意义和代数运算的灵活应用 能根据图形特征选择最优解法 求数量积的 掌握坐标化后转化为函数最值、利用几 中等偏上难度，常在压轴小题出现，综 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 最值与范围 何意义（如投影长度的变化）结合图形 合性强，需根据题目条件选择函数法、 分析、运用不等式（如均值不等式）求 几何法或不等式法，数形结合是关键 范围；注意动点轨迹对取值的影响 求模长 掌握通过平方转化为数量积求模长：能 基础高频，常与数量积结合考查，选择 利用坐标公式求模；会处理向量和差、 题、填空题中多见，注意平方技巧的应 线性运算后的模长问题 用和模长的非负性 求夹角 熟练运用夹角公式，由数量积除以模长 基础高频，选择题、填空题常考，有时 乘积得夹角余弦；能根据条件求数量积 在解答题中作为中间步骤，需准确计算 和模长后代入计算：注意夹角的范围是 并判断夹角是锐角、直角还是钝角（通 零到派 过数量积正负号) 求投影向量 理解投影是向量，非标量；掌握投影向 常与数量积定义结合，注意概念辨析： 量的计算公式，即数量积除以投影方向 投影数量可正可负 向量的模的平方再乘以该方向向量；能 区分投影（数量）与投影向量 记·必备知识 属知识点01平面向量数量积 1、定义：已知两个非零向量a方则1a6cosa,叫做a的数量积，记作a-石即 a-b=lallb cos a,b) 零向量与任何向量的数量积为0，特别地，aa=a: 注意：数量积是数量，不是向量。 2、数量积满足的运算律 a6=λa-a-i=6:à（交换律）：ā-6+=à-6+a-:(分配律）· 2/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 属知识点02平面向量数量积的应用 1、利用数量积求模长 如果知道à，b的模长，以及a、b向量夹角，则可以根据a±=-a±-V±2ab+b求a±b向量的 模长 2、利用数量积求夹角 根据c05ā，=a6可以求向量夹角的余弦值，从面可以求向量的夹角 lal- 3、向量的投影： 向量ā在b上的投影向量： .b=al.cose 16 其中后是与b同方向的单位向量 a.b 向量à在b上的投影向量模长： 6 尽知识点03平面向量数量积的最值与范围 1、直接利用数量积公式求最值，两平面向量的数量积大小根据两个向量模长、夹角大小来确定，若模长 固定，则可根据夹角大小来确定。 2、利用极化恒等式来求数量积的最值。 1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：1a+P+a-b=2à+P) @极化恒等式a-6=a+-a- 3、利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式AB,AC=ABAC|c0s<AB,AC>,如其中有一边AB 为固定的长度，则直接根据AC cos<AB,AC>(可看做是AC在AB边上的投影数量)来决定数量积的 范围。 破·重难题型 题型一 定义法求数量积 解|题|技|巧 3/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1、直接利用平面向量数量积的定义和运算律来求平面向量数量积 2、根据数量积公式，数量积大小由模长、夹角来决定，如果模长都是固定的，则可以通过夹角的 「大小决定数量积 【典例1)(25-26高-下广东广州期中)已知可-6，同4， a与b的夹角为60°，则 (a+2)-(a-36)=() A.-72 B.-36 C.36 D.72 【典例2】(2526高一下河南开封阶段检测设°，6，是单位向量， a+b=c ,则”的值为 () B. 1 A.2 C.3 D.3 【变式1】(25.236高一下f西河池期中)已知单位向量a,5满足日-6=3,6+2汤-a=(） A.2 B.3 C.2 D.3 【变式2】(2026广东佛山模拟预测)已知向量a,6,c满足回=1，同=2，月=5,3近+25+=0， 则a.b+ac+b.c=() A.-11 B.-8 C.11 D.12 巴题型二 基底法求数量积及最值（范围） 答引题|模」板 基底法求数量积：将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的分配律展 开计算。 【典例1】(25-26高一下·北京朝阳期中)如图，己知四边形ABCD,AD⊥CD,AC⊥BC,E是AB的 中点，CE=,若D1/CE,则4CBD 最小值为()· 4/15 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.-2 B.-2 C.-1 D. 【典例2】(25-26高一下福建学德期中)如图，CD是以B为直径的同0上的动点，己知M=4,则 AC.BD 的最大值是 B 【变式1】(2526高一下福建宁德期中)己知圆0的半径为3，弦4B=25,C是园0上的一个动点， 则oc(C@+C丽)的取值范围是（) A.【-30,-12] 8.【30,-6] c.【-24-6 D.【24-12 【变式2】(2525高-下云南昆明别中)在ABC中，点D满足而-C,点B足边BC上近C的 4 四等分点， AD=l,AD与柜所成的夹角为3，则AB.AC的最大值为 巴影型三坐标法求数量积及最值《范围） 答|题|模|板 通过建系设坐标的方式表示数量积，解决数量积的最值、范围问题 【典例1】(25-26高一下·湖南邵阳期中)如图，正方形ABCD的边长为2，P,Q分别为边AB,DA上的 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 动点，若PC0=45°，则-C 的取值范围() A P B A.[8w2-84] B.[42-44] C.[2,4 D.[8-42,8 【典例2】(25-26高一下·上海期中)在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,且AB=2CD=2, AD=5,对角线4C与D交于点0，点M满足C=ACB(0≤≤)，则40W的取值范围是 【变式1】(25-26高一下江苏盐城阶段检测)在梯形ABCD中， AB=3DCAB=3,BC=2,AC与 8D交于点且，且=3 ，点P在线段AB上，且AF=5FB,平面内的动点P满足PF-1,则(DPAC) 的最大值为 【变式2】(2026山东烟台一模)已知平行四边形ABCD中，AB=4:BC=22,∠BD=平 4,点 PQ在四边形ABCD所在平面上，且满足B即=1,20-QP,则DP.D0的最大值为() 17 19 A.3 B.3 C.3 D.3 巴影型四极化恒等式求数量积及最值（范圈） 答|题|模|板 用极化恒等式的信号： 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1出现一动点与两定点（或固定长度的两点）。 2.出现对角线长度已知的平行四边形。 3己知两个向量的和向量与差向量的长度。 【典例1】(25-26高一下湖南月考)如图，点M,N在边AC上，以MN为直径的半圆与等腰直角三角形 ABC BA=BC=2,P△ABC M.PN 的直角边都相切， 是 所在平面内一点，则 的最小值为() A.-2 B.-1 D.0 【典例2】(25-26高一下·上海期中)已知直角三角形ABC,AB=4,斜边BC=5,MN是它的内切圆的 一条弦，点”为三角形三边上的动点，当弦W PM·PN 的长度最大时， 的取值范围是 CD=4DE 【变式1】(25-26高一下·吉林·月考)四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E,使得 FB·FC 若点F为线段AE上的动点，则 的最小值为() 65 16 A. 64 B.17 C.1 D.16 【变式2】(2026高-全国专题练习)设P是△BC所在平面内的-点，若2-那-C=2.则 PA.PB+PA-PC 的最小值为 题型五投影法求数量积及最值（范围） 答|题引模|板 当两向量中有二个向量的模长已知，且能找到另一个向量到该向量的投影数量，则考虑用投影法去求」 7/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数量积及最值或范围。 【典例1】(25-26高一下广东东莞期中)如图，圆M为△ABC的外接圆，AB=4,AC=6,则 AM(4B+AC)=() M A.10 B.20 C.26 D.52 【典例2】(2526高一下江苏泰州期中)如图，将六个边长为1的小正方形拼成一个大长方形，A,B是 原来小正方形的两个顶点， P=12,…,10)是小正方形的其余顶点， B亚=1,2，…，10)的所有不同的 数值有() B P& Po P10 P6 P P2 P3 A.10个 B.7个 C.5个 D.3个 【变式1】(25-26高一下·北京朝阳期中)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式错误 的是() B A.AC"-AC.a8 B.BC=BA.BC 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.Icof- AC·AB(BA.BC) C.aB=AC.CD AB 【变式2】(25-26高一下上海期中)设D是边长为3的等边 RE2B P 及其内部的点构成的集合，点“是 aPRB的中心，集合S={PP∈D,P明≤P四，i=1,23.则gPP的取值范国为 巴题型六利用数量积求模 答题|模|板 利用同=V及后士)”=士2公方+。中向景的核的运花化为数量运兰。 【典例1)(25-26高-下广西河池期中)已知平面向量a,6满足l=1,2a-=3,且(a-26)1a 【典例2】(2026湖北三模)已知单位向量a,万，c满足2a+36+4e=0,则6+-（) 5 V10 3W2 A.2 B.2 C.2 D.2 【变式1】（2526高二下湖南长沙期中)已知向童。，6满足同-=2，风=4，位，-子若-a+5: 元ER,且m,n分别是c在a,上的投影向量，则m+川的最小值为 【变式2】(25-26高-下浙江期中)已知向量0A,OB满足10AH0B=4,(O10丽)=背，若 Oc=0A+u0丽(a,4eR),且+4=1，则oC的最小值为（) A.25 B V5 c.22 D V3 巴题型七利用数量积求夹角 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答|题模」板 a.b aLb-a.b=0 1、利于向量数量积公式©os0二ab来计算向量的夹角。 2、 有关向量夹角的两个结论 (1)若a与b的夹角为锐角，则ab>0;若ab>0,则a与b的夹角为锐角或o. (2)若a与b的夹角为钝角，则ab<0;若a·b<0,则ā与b的夹角为钝角或元 【典例1】(25-26高一下天津南开期中)已知问=2，=3.a-万 则向量ā与b夹角为 () A.60 B.120 C.135 D.150 【典例2】(25-26高二下浙江金华阶段检测)已知向量云，万满足=1=2.（位-26）1(3ā+列 则向量ā与b夹角的余弦值是() 3 5 A.2 B.2 c.3 D.2 AB/ICD 【变式1】(25-26高一下·安徽阜阳阶段检测)如图，在梯形ABCD中， CD=3,AB.AC=2 丽.D,且D.C=5,则∠BMD=一 D B 【变式2】(25-26高一下海南省直辖县级单位期中)已知平面内两个不共线的向呈ā和6，同=2=2， 且a和方的夹角为3，若a+6与25-ā的夹角为钝角，则实数k的取值范围为（) 715 B.24 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e〔o n〔到 巴题型八利用数量积求投影向量 答题|模|板 根据投影向量公式，向量，在上的投影向量： 公式比较长，可以从几何角度 a b 去理解记忆，先求投影数量，再乘上单位向量。 【典例1】（25.26高一下重庆沙坪坝期中)两个半零向量a5满足回-2啊， 且a-6=2, 则b在ā方 向上投影向量的模为() 1 A.1 B.2 c.2 D.4 【典例2】(25-26高一下广东珠海阶段检测)已知向量。，石的夹角为3，且同=1，=2，则向量a 在向量乃上的投影向量为 【变式】（25-26有一下湖南益阳期中)已知△16C的外接园圆心为0，且30=丽+C ,则在 AC 上的投影向量为() B.24C c.44c D.C 【变式2】(25-26高一下江苏准安期中)已知平面向量ā，b满足b =2,ā-石=5，记a在5上的投影向 量为6，则入的植为() A.4 B. c.1 D.2 过·分层验收 11/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ---------------------------------------------------------- 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高一下广西南宁期中)己知△ABC AB+AC-AB-AC40AB 的外接圆圆心为O,且 则向量BA在向量BC上的投影向量为() B.4 BC C.4 BC D.4 2.(2526高-下甘肃兰州期中)若向量a,6满足间-2,1a+25@2a-万丽，则a与5灰 角的余弦值为一 3.（25-26高一下广西南宁·期中)已知向量a,6满足同=2， 设a-b与a+b的夹角为0，则cos0的 最小值为() 3-5 4 A. B. D.5 4.(25-26高一下江苏无锡月考)如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°，AC边上的 中线为BN,M为BC边上靠近B的四等分点，连接AM交BN于点P.则∠NPM的余弦值为 5.(25-26高一下·江苏·期中)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD中点，则AE·BD的值 为 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高一下黑龙江辽宁期中)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半 ABCD 圆上（正方形 内部，含边界)，则PCPD 的取值范围为() 12/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.(0,16) B.[0,16] C.(0,4) D.0,4 2。(25:26高三上福建厦门期中)）已知△48C 中， BAC=0.BC=2MB=2,P是△M1BC 所在平面内的 任意一点，且满足P网=1，则BPBC的取值范围是《) A.【13 B.[-2,2] c.【-12] D.3] 3.(25-26高一下广东中山阶段检测)如图，ABCD是边长2的正方形，P为半圆弧BC上的动点（含端 点)，则BP 的取值范围为() A.[2,3] B.[34] c.[4, D.[4,8 4.(25-26高一下·内蒙古赤峰期中)正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状 常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知6个边长均为2的正六边形的 ,B B为正六边形的顶点，C是这‘个正六边形内部（包括边界）的动点，则 B·AC 摆放位置如图所示，“ 的最大值为 13/15 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26高一下·安徽合肥期中)如图，已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不含边界）， 0 为其中心，则 C·AP 的取值范围是() E B A.(-2,4) B.(2,6) c.（4,2) D.4,4) 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 0 1.(25-26高一下浙江期中)已知半径为2的圆上有三点A,B,C,满足1 +0=0,点”是圆上一 点，则P1.Po+PBP 的取值范围是() A.[-4,14] B.[-2,14 c.[0,16 D.[2,18] 2.(25-26高一下北京期中)设向量a,6,满足d-同-2，a:6-2,(位-c,6-)=于，则的取 值不可能为() 9 A.4 B.3 D.2 1 .c= 3.(25-26高一下黑龙江期中)己知平面向量ā，6，c满足=1，非零向量a满足同2，向量6满足 6-2c6-4）=0,则-6的最小值是 14/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26高一下·四川成都期中)已知△ABC为边长为3的正三角形，P为△ABC所在平面内动点，满足 PA+PB+PC= ,则PAB的取值范围为一 AAAAAsAs 5.(25-26高一下·上海杨浦期中)已知正六边形 的边长为2，P 是其边上的动点，则 AA·A,P 的取值范围是() A.[-26] B.[-62] c.[-2,2] D.[66] 15/15