第5章 图形的轴对称 单元复习（6大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年北师大版七年级数学下学期

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了图形的轴对称知识体系，将轴对称图形与成轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形等核心知识点按“定义-性质-判定-应用”逻辑呈现，并用对比表格清晰区分易混概念，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如轴对称图形识别培养几何直观，培优题型如等腰三角形“三线合一”应用发展推理意识，压轴题型如将军饮马模型提升空间观念。配套易错点总结和方法技巧指导，助力不同层次学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

第5章 图形的轴对称 知识点1：轴对称图形与成轴对称 1.轴对称图形：一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这条直线叫做对称轴。 2.成轴对称：两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，这条直线是这两个图形的对称轴。 3.轴对称的核心性质 对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 对应线段相等，对应角相等。 对比维度 轴对称图形 成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 对称轴数量 至少1条 只有1条 联系 都沿某条直线折叠后重合；把成轴对称的两个图形看成一个整体，就是轴对称图形 知识点2：线段的垂直平分线 1.定义：垂直且平分一条线段的直线，简称中垂线。 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 3.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 知识点3：角平分线 1.性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 2.判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 知识点4：等腰三角形 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2.核心性质 轴对称性：对称轴是顶角平分线所在的直线； 三线合一：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等边对等角：两个底角相等。 3.判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 知识点5：等边三角形 1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 2.核心性质 轴对称性：有3条对称轴； 三个内角都相等，且每个角都等于； 具备等腰三角形的所有性质。 3.判定 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 知识点6：尺规作图 1.作已知线段的垂直平分线； 2.作已知角的平分线； 3.作一个图形关于某条直线对称的图形。 知识点7：轴对称的实际应用 1.利用轴对称设计图案； 2.最短路径问题（将军饮马模型）：通过作对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求解。 【基础必考题型】 【题型1】轴对称图形的识别 1.核心知识点: 轴对称图形的定义 常见轴对称图形（线段、角、等腰三角形、等边三角形、圆、正方形等） 2.解题方法技巧: 找对称轴：尝试沿不同直线折叠，看是否能完全重合 排除法：平行四边形、一般梯形不是轴对称图形 【例题1】.（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026九年级下·甘肃·学业考试）下列运动图标中，是轴对称图形的为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）下面的图标是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【题型2】对称轴数量的判断 1.核心知识点: 常见轴对称图形的对称轴条数 正n边形有n条对称轴 2.解题方法技巧: 逐一画出所有可能的对称轴，避免遗漏 注意：长方形有2条，正方形有4条，圆有无数条 【例题2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）图中三角形4与图中哪些三角形成轴对称？整个图形中有几条对称轴？ 【变式题2-1】.（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，该轴对称图形有______________条对称轴． 【变式题2-2】.（2026·陕西榆林·三模）如图，正五边形的对称轴条数为______条． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，观察这些轴对称图形，按照它们对称轴条数的多少从少到多依次排列为：________． 【题型3】轴对称性质的应用 1.核心知识点: 轴对称对应线段相等、对应角相等 对应点连线被对称轴垂直平分 2.解题方法技巧: 在图中标注相等的线段和角，转化为已知条件 利用三角形内角和、平行线性质进行倒角计算 【例题3】.（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·河南安阳·期末）如图，将一张长方形纸条折成图中的形状，若，则的度数为______． 【题型4】线段垂直平分线计算 1.核心知识点: 线段垂直平分线的性质（到两端点距离相等） 三角形周长的转化 2.解题方法技巧: 看到垂直平分线，立即转化为相等线段 求三角形周长时，将分散的线段转移到同一直线上 【例题4】.（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点．若的面积为，则的长为（    ） A． B．5 C．7 D．14 【变式题4-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）墙上钉了一根木条，李叔叔想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平．在这个测平仪中，，边的中点处挂了一个重锤．李叔叔将边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点．如果重垂线过点，那么这根木条就是水平的．请说明其中的道理． 【变式题4-2】.（21-22八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在中． (1)作的角平分线交于点D； (2)作边上的垂直平分线l交于点E； (3)连接，若，，则________． 【题型5】角平分线的计算 1.核心知识点: 角平分线的性质（到两边距离相等） 角平分线的定义（平分角） 2.解题方法技巧: 过角平分线上的点向两边作垂线，构造相等线段 利用面积法计算线段长度 【例题5】.（2026·陕西西安·一模）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【变式题5-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）校园一角的形状如图（1）所示，其中，，表示围墙．如图（2）所示，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点，使得点到三面墙的距离都相等．请解释他这样做的道理． 【变式题5-2】.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 【变式题5-3】.（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型6】等腰三角形边角计算 1.核心知识点: 等腰三角形等边对等角 三角形内角和定理 2.解题方法技巧: 已知顶角求底角： 已知底角求顶角： 【例题6】.（2026·安徽蚌埠·二模）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 【题型7】尺规作图的识别与应用 1.核心知识点: 线段垂直平分线、角平分线的尺规作图痕迹 作图的原理与应用 2.解题方法技巧: 识别作图痕迹：圆弧交点→垂直平分线/角平分线 结合性质判断作图的目的（找距离相等的点、平分角等） 【例题7】.（25-26七年级下·广东梅州·期中）如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为___________． 【变式题7-1】.（2026·北京昌平·二模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式题7-3】.（2026·广东·二模）如图，已知． 【动手操作】 (1)请用圆规和无刻度的直尺按照以下步骤作图： 步骤1：以点O为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点 M，交于点 N； 步骤 2： 分别以点 M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部交于点 C； 步骤3：作射线． 【推理证明】 (2)请证明平分． 【题型8】等腰三角形“三线合一”的综合应用 1.核心知识点: 等腰三角形三线合一的性质 角平分线、中线、高的转化 2.解题方法技巧: 已知等腰三角形+中线/高/角平分线，立即推出另外两个结论 作辅助线：等腰三角形中作底边上的高，构造全等三角形 【例题8】.（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江西上饶·期中）作图： (1)如图1，，平分，平分，分别交于点，请你仅用无刻度直尺作出的重心点； (2)已知：如图2，四边形是等腰梯形，点是边上一点，连接，请你仅用无刻度直尺作出，使得． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在锐角上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点，求证：平分； (2)如图3，在（1）的条件下，过点作，垂足为，在边上，若，求证：． 【压轴素养题型】 【题型9】轴对称最值问题（将军饮马模型） 1.核心知识点: 轴对称的性质 两点之间线段最短 三角形三边关系 2.解题方法技巧: 作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点 交点即为所求的最短路径点，线段长度即为最小值 【例题9】.（2026七年级下·山东济南·专题练习）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为______． (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，军营和军营在河岸的同一侧，将军骑马从军营到河岸上的点处，沿河岸向东遛马至点处后骑马去军营，遛马的距离同图中的长度，遛马点，如何设置才能使军营到点与军营到点的距离之和最短？请画出示意图，并说明原因． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·广东梅州·阶段检测）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个． (1)求的面积； (2)请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点P，使得最短． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 ∴, ∴, ∵长度不变， ∴此时管道路径最短， ∴最短路径为:, 这正好对应方案的作法． 【题型10】折叠综合探究题 1.核心知识点: 折叠的轴对称性质 等腰三角形、直角三角形的判定与性质 分类讨论思想 2.解题方法技巧: 分情况讨论折叠后点的位置（落在边上、内部、外部） 利用勾股定理建立方程求解未知线段 【例题10】.（25-26七年级上·上海普陀·期末）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点分别在边上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边上． (2)设，的交点为，请求出的度数． (3)折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·山东德州·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，点，分别在边，上，分别以，为折痕进行折叠并压平，点，的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图，其中； 乙同学的操作如图，落在所在直线上； 丙同学的操作如图，落在上，落在上． 【阅读理解】 (1)求图中的度数； (2)图中 ； (3)求图中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·广东深圳·期末）【综合探究】探究小组通过动手折叠一张长方形纸片来研究角度问题． (1)【操作探究】如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，点是边上的点，为折痕，此时测量，则_____： (2)【深入探究】如图2，按（1）的折叠方式，将长方形纸片的一角沿EF为折痕折叠，使得恰好平分，求的度数； (3)【拓展提升】如图3，在长方形纸片中，连接，在上取一点，沿经过点的折痕折叠，使得点落在直线上的点处，沿经过点的折痕折叠，使得点落在线段上的点处，展开后，连接，请直接用含的代数式写出两条折痕所夹的的度数． 易错点 1.概念混淆：混淆“轴对称图形”（一个图形）与“成轴对称”（两个图形）；误认为平行四边形是轴对称图形。 2.等腰三角形漏解：已知边或角时，未分情况讨论（如腰与底、顶角与底角），导致多解问题漏解。 3.性质误用：等腰三角形“三线合一”仅适用于顶角平分线、底边上的中线和高，不能用于底角平分线和腰上的中线、高。 4.折叠问题漏条件：未利用折叠的轴对称性质，遗漏相等的边和角，导致计算错误。 5.最值问题对称点找错：作对称点时，找错对称轴或对称点位置，导致最短路径计算错误。 6.尺规作图原理不清：无法识别线段垂直平分线和角平分线的作图痕迹，不能结合性质解题。 重点 1.轴对称的性质：对应线段相等、对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分（选择、填空必考）。 2.线段垂直平分线和角平分线的性质与判定：是证明线段相等、角相等的重要依据。 3.等腰三角形的性质与判定：“等边对等角”“等角对等边”和“三线合一”是解答题核心考点。 4.等边三角形的性质与判定：角的应用和等边三角形的判定是常考内容。 5.尺规作图：作线段垂直平分线、角平分线和轴对称图形是期末必考题型。 6.轴对称最值问题：将军饮马模型是中考高频考点，考查数形结合思想。 难点 1.等腰三角形的分类讨论：需要结合三角形三边关系验证，容易出现漏解或错解。 2.轴对称最值问题的变形：如两动一定、两定两动等复杂模型，需要灵活转化。 3.折叠综合探究题：涉及多个知识点的综合应用，需要较强的逻辑推理和计算能力。 4.多结论判断题：需要对每个结论进行严谨的推理，容易出现漏判或错判。 5.线段垂直平分线与角平分线的综合证明：需要构造辅助线，结合全等三角形进行证明。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，正方形网格中的八条等长线段形成了一个轴对称图形．将标号①②③④的四条线段随机擦去其中的两条后，剩下的图形仍是轴对称图形的概率为（     ） A． B． C． D． 3．如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿 折叠成图3，则图3中的的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 5．【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 6．图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 三、解答题 7．如图，在中，请用尺规作图法作的垂直平分线交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 8．取一张长、宽的纸条，将它每一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来（如图）．在折叠好的纸的中央画出一朵“小花”，并把画出的“小花”挖去．拉开“手风琴”纸条，你会得到一条什么样的花边？在这条花边中，相邻的“小花”之间有什么关系？ 9．完成以下问题 (1)在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． ①计算的面积______； ②在图（1）中作出关于直线l对称的； (2)如图（2），在的正方形网格中，点、在格点网格线的交点上． ①请在网格中找出一个格点，使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点有______个． 10．综合与实践课上，同学们探究长方形纸片的折叠问题． 如图1，已知长方形纸片，点M在边上（不与A，B重合），点N在边上（不与B，C重合）．将长方形纸片沿直线折叠，使顶点B落在点处，点在长方形内部． 【图形感知】 (1)图1中，________（填“>”“=”或“<”）； 【作图探究】 (2)在图1中边上确定一点G（不与A，D重合），使得纸片沿着折叠后，点A的对应点A'刚好落在射线上，请用无刻度直尺和圆规作出该点G；（不写作法，保留作图痕迹） 【计算探究】 (3)如图2，若点F是图1中边上一动点（不与A，D重合），连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为，点落在长方形内部，若，，求的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 图形的轴对称 知识点1：轴对称图形与成轴对称 1.轴对称图形：一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这条直线叫做对称轴。 2.成轴对称：两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，这条直线是这两个图形的对称轴。 3.轴对称的核心性质 对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 对应线段相等，对应角相等。 对比维度 轴对称图形 成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 对称轴数量 至少1条 只有1条 联系 都沿某条直线折叠后重合；把成轴对称的两个图形看成一个整体，就是轴对称图形 知识点2：线段的垂直平分线 1.定义：垂直且平分一条线段的直线，简称中垂线。 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 3.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 知识点3：角平分线 1.性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 2.判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 知识点4：等腰三角形 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2.核心性质 轴对称性：对称轴是顶角平分线所在的直线； 三线合一：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等边对等角：两个底角相等。 3.判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 知识点5：等边三角形 1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 2.核心性质 轴对称性：有3条对称轴； 三个内角都相等，且每个角都等于； 具备等腰三角形的所有性质。 3.判定 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 知识点6：尺规作图 1.作已知线段的垂直平分线； 2.作已知角的平分线； 3.作一个图形关于某条直线对称的图形。 知识点7：轴对称的实际应用 1.利用轴对称设计图案； 2.最短路径问题（将军饮马模型）：通过作对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求解。 【基础必考题型】 【题型1】轴对称图形的识别 1.核心知识点: 轴对称图形的定义 常见轴对称图形（线段、角、等腰三角形、等边三角形、圆、正方形等） 2.解题方法技巧: 找对称轴：尝试沿不同直线折叠，看是否能完全重合 排除法：平行四边形、一般梯形不是轴对称图形 【例题1】.（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察各选项图形： A选项中的图案沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形；B、C、D选项中的图案均找不到这样的直线，不是轴对称图形． 【变式题1-1】.（2026九年级下·甘肃·学业考试）下列运动图标中，是轴对称图形的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、该图是轴对称图形，符合题意； B、该图不是轴对称图形，不符合题意； C、该图不是轴对称图形，不符合题意； D、该图不是轴对称图形，不符合题意． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）下面的图标是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 【变式题1-3】.（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的定义识别．根据轴对称图形定义，依次判断各选项图形能否沿一条直线对折后完全重合，风车图案无符合条件的直线． 【详解】解：轴对称图形定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形． A（雪花）：有多条对称轴，是轴对称图形． B（风车）：无论沿哪条直线对折，两边都无法重合，只有旋转对称性，不是轴对称图形． C：有3条对称轴，是轴对称图形． D（太阳图案）：有多条对称轴，是轴对称图形． 【题型2】对称轴数量的判断 1.核心知识点: 常见轴对称图形的对称轴条数 正n边形有n条对称轴 2.解题方法技巧: 逐一画出所有可能的对称轴，避免遗漏 注意：长方形有2条，正方形有4条，圆有无数条 【例题2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）图中三角形4与图中哪些三角形成轴对称？整个图形中有几条对称轴？ 【答案】三角形4与图中三角形1、三角形3成轴对称，整个图形共有两条对称轴； 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义即可得到结果． 【详解】解：三角形4与图中三角形1、三角形3成轴对称，整个图形共有两条对称轴； 【变式题2-1】.（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，该轴对称图形有______________条对称轴． 【答案】 【详解】解：如图，该轴对称图形共有条对称轴． 【变式题2-2】.（2026·陕西榆林·三模）如图，正五边形的对称轴条数为______条． 【答案】 5 【分析】正五边形的对称轴为其顶点与该顶点对边中点的连线所在的直线． 【详解】解：如图所示，正五边形有5条对称轴． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，观察这些轴对称图形，按照它们对称轴条数的多少从少到多依次排列为：________． 【答案】④①②③ 【分析】本题考查了求对称轴条数，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：如图所示，图①的对称轴的条数是条，图②的对称轴的条数是3条，图③的对称轴的条数是4条，图④的对称轴的条数是1条， ∴按照它们对称轴条数的多少从少到多依次排列为：④①②③． 【题型3】轴对称性质的应用 1.核心知识点: 轴对称对应线段相等、对应角相等 对应点连线被对称轴垂直平分 2.解题方法技巧: 在图中标注相等的线段和角，转化为已知条件 利用三角形内角和、平行线性质进行倒角计算 【例题3】.（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段，即可进行判断． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴点A与点D是对应点，点B与点E是对应点，点C与点F是对应点， ∴直线l垂直平分线段、、， ∵C与D不是对应点， ∴线段不能被直线l垂直平分． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，，结合，证明，得到，结合，可得，即得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·河南安阳·期末）如图，将一张长方形纸条折成图中的形状，若，则的度数为______． 【答案】/59度 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴． 【题型4】线段垂直平分线计算 1.核心知识点: 线段垂直平分线的性质（到两端点距离相等） 三角形周长的转化 2.解题方法技巧: 看到垂直平分线，立即转化为相等线段 求三角形周长时，将分散的线段转移到同一直线上 【例题4】.（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点．若的面积为，则的长为（    ） A． B．5 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，过点作于，由等腰三角形的性质得，进而由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是等腰底边上的中线， ∴， 又∵平分， ∴， ∵的面积为7， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，是底边， ∴， 故选：． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）墙上钉了一根木条，李叔叔想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平．在这个测平仪中，，边的中点处挂了一个重锤．李叔叔将边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点．如果重垂线过点，那么这根木条就是水平的．请说明其中的道理． 【答案】解：∵，为的中点 ∴垂直平分， ∵重垂线过点， ∴重垂线与重合， ∵木条所在的直线与竖直的直线垂直 ∴这根木条是水平的． 【分析】通过轴对称的性质即可求解． 【详解】略． 【变式题4-2】.（21-22八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，进而求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在中． (1)作的角平分线交于点D； (2)作边上的垂直平分线l交于点E； (3)连接，若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （3）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：的角平分线如图所示， （2）解：的垂直平分线如图所示， （3）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【题型5】角平分线的计算 1.核心知识点: 角平分线的性质（到两边距离相等） 角平分线的定义（平分角） 2.解题方法技巧: 过角平分线上的点向两边作垂线，构造相等线段 利用面积法计算线段长度 【例题5】.（2026·陕西西安·一模）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点作于，根据三角形面积公式求出的长，再根据角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 平分，， ． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）校园一角的形状如图（1）所示，其中，，表示围墙．如图（2）所示，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点，使得点到三面墙的距离都相等．请解释他这样做的道理． 【答案】解：如图，过作于，于，于， ，分别是，的角平分线， ，， ， 故点到三面墙的距离都相等． 【分析】过作于，于，于，根据角平分线的性质即可得到结论． 【详解】略 【变式题5-2】.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 【答案】C 【分析】由等边对等角可得，由作图可得，平分，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得，平分， ∴． 【变式题5-3】.（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由尺规作图的痕迹可得平分，，然后根据全等三角形的性质和角平分线的性质逐项证明判断即可． 【详解】解：根据基本作图，得平分，， ∴， ∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，故B选项正确，不符合题意； 无法证明， 故C选项错误，符合题意； 根据题意，得，故D选项正确，不符合题意． 【培优高频题型】 【题型6】等腰三角形边角计算 1.核心知识点: 等腰三角形等边对等角 三角形内角和定理 2.解题方法技巧: 已知顶角求底角： 已知底角求顶角： 【例题6】.（2026·安徽蚌埠·二模）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据等边对等角可得的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数． 【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点， ∴平分（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【分析】先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 【详解】解：， ， ． ∵， ∴， 在和中， ， ，． ， ． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ，     的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． ， ． 【题型7】尺规作图的识别与应用 1.核心知识点: 线段垂直平分线、角平分线的尺规作图痕迹 作图的原理与应用 2.解题方法技巧: 识别作图痕迹：圆弧交点→垂直平分线/角平分线 结合性质判断作图的目的（找距离相等的点、平分角等） 【例题7】.（25-26七年级下·广东梅州·期中）如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为___________． 【答案】/28度 【分析】如图，连接，证明即可得到答案. 【详解】解：如图，连接，通过尺规作图可知， ， 又， ， ∴. 【变式题7-1】.（2026·北京昌平·二模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段（，），进而证明和，最终利用证明，从而得出平分的结论． 【详解】∵由作图可知，， ∴， 在和中， ∵ ∴（）， ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴， ∴， ∴选项正确． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图，点即为所求． 【分析】先连接，然后作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求． 【详解】略 【变式题7-3】.（2026·广东·二模）如图，已知． 【动手操作】 (1)请用圆规和无刻度的直尺按照以下步骤作图： 步骤1：以点O为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点 M，交于点 N； 步骤 2： 分别以点 M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部交于点 C； 步骤3：作射线． 【推理证明】 (2)请证明平分． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的判定与性质： （1）根据尺规作图的步骤完成作图即可； （2）连接，通过证明三角形全等，利用全等三角形对应角相等来证明角平分． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：连接， 由作图步骤1可知，， 由作图步骤2可知，， ， ， ， 平分． 【题型8】等腰三角形“三线合一”的综合应用 1.核心知识点: 等腰三角形三线合一的性质 角平分线、中线、高的转化 2.解题方法技巧: 已知等腰三角形+中线/高/角平分线，立即推出另外两个结论 作辅助线：等腰三角形中作底边上的高，构造全等三角形 【例题8】.（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积； （1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证； （2）由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：，为中点， ． （2）解：的面积 （）． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定和性质解答． 根据等腰三角形的性质和平行线的判定得出，利用平行线的性质解答即可． 【详解】证明：，为边的中点， ， ， ∴， ∴，， ， ， ． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江西上饶·期中）作图： (1)如图1，，平分，平分，分别交于点，请你仅用无刻度直尺作出的重心点； (2)已知：如图2，四边形是等腰梯形，点是边上一点，连接，请你仅用无刻度直尺作出，使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形重心的相关知识，线段垂直平行线的判定和性质等知识． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出M，N分别为和的中点，则连接和交于点Q，点Q即为所求． （2）连接，它们相交于点O，延长，它们相交于V点，通过证明可判断垂直平分，同理可证点S在的垂直平分线上，从而得到，则，即． 【详解】（1）解：连接和交于点Q，点Q即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在锐角上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点，求证：平分； (2)如图3，在（1）的条件下，过点作，垂足为，在边上，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）证明，即可解答； （2）在上截取，证明，可得，从而得到，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：在和中 ， 是的平分线； （2）证明：在上截取， 由（1）得：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【压轴素养题型】 【题型9】轴对称最值问题（将军饮马模型） 1.核心知识点: 轴对称的性质 两点之间线段最短 三角形三边关系 2.解题方法技巧: 作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点 交点即为所求的最短路径点，线段长度即为最小值 【例题9】.（2026七年级下·山东济南·专题练习）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为______． (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1) (2)如图，即为所求： (3)如图，点P即为所求： 【分析】（1）根据割补法即可求的面积； （2）根据轴对称的性质即可画出关于直线l的轴对称图形； （3）结合，连接交直线l于点P，根据两点之间线段最短得值最小． 【详解】（1）解：的面积． （2）解：略； （3）解：略； 【变式题9-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，军营和军营在河岸的同一侧，将军骑马从军营到河岸上的点处，沿河岸向东遛马至点处后骑马去军营，遛马的距离同图中的长度，遛马点，如何设置才能使军营到点与军营到点的距离之和最短？请画出示意图，并说明原因． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查轴对称的性质，解题关键是利用轴对称的性质得出线段相等，进而将问题转化为在直线上找一点，使得最小． 将点向东平移的长度得到点，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，在直线上任取一点，连接，，，将问题转化为求的最小值，当点，，在同一条直线上时，取得最小值，由此即可得到点，的位置． 【详解】解：点，的位置如图所示．理由如下： 将点向东平移的长度得到点，作点关于直线的对称点， 连接交直线于点，在直线上任取一点，连接，，． 连接，将向西平移的长度得到． 由作图可得，，，． 要求的最小值，即求的最小值． ， 当点，，在同一条直线上时，取得最小值， 即点与点重合时，最小， 故点，即为所求． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·广东梅州·阶段检测）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个． (1)求的面积； (2)请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点P，使得最短． 【答案】(1) (2)①； ② 【分析】（1）用割补法求解； （2）①作出的三个顶点关于直线对称的对应点，依次连接即可； ②连接交于点P，则点P为满足条件的点． 【详解】（1）解：； （2）解：①略； ②连接交于点P，则， ∴， ∴点P为满足条件的点． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 【答案】C 【分析】本题考查了作轴对称最短路线问题，运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路线的求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴, ∴, ∵长度不变， ∴此时管道路径最短， ∴最短路径为:, 这正好对应方案的作法． 【题型10】折叠综合探究题 1.核心知识点: 折叠的轴对称性质 等腰三角形、直角三角形的判定与性质 分类讨论思想 2.解题方法技巧: 分情况讨论折叠后点的位置（落在边上、内部、外部） 利用勾股定理建立方程求解未知线段 【例题10】.（25-26七年级上·上海普陀·期末）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点分别在边上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边上． (2)设，的交点为，请求出的度数． (3)折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，尺规作角平分线，解题的关键是掌握以上知识点． （1）作，的角平分线即可． （2）根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到； （3）延长，交于T，作的角平分线即可． 【详解】（1）解：作，的角平分线， 如图所示、即为所求： （2）解：如（1）图所示， ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴； ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （3）解：延长，交于T，作的角平分线， 如图所示即为所求： 【变式题10-2】.（25-26七年级上·山东德州·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，点，分别在边，上，分别以，为折痕进行折叠并压平，点，的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图，其中； 乙同学的操作如图，落在所在直线上； 丙同学的操作如图，落在上，落在上． 【阅读理解】 (1)求图中的度数； (2)图中 ； (3)求图中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)的度数为或． 【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （）由折叠性质可得，，则，然后通过角度和差即可求解； （）由折叠的性质得，，所以，从而可得，即，从而求解； （）由折叠的性质得，，所以，通过角度和差可得，即，从而求解； （）分当三角形与三角形不重叠时，当三角形与三角形重叠时，两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质得：，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为：； （3）解：由折叠的性质得：，， ∵落在上，落在上， ∴， ∵， ∴，即； （4）解：的度数为或， 分两种情况进行讨论： 当三角形与三角形不重叠时，如图所示： 由折叠的性质得：，， ∴， ∵，即， ∴， ∴； 当三角形与三角形重叠时，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴的度数为或． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·广东深圳·期末）【综合探究】探究小组通过动手折叠一张长方形纸片来研究角度问题． (1)【操作探究】如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，点是边上的点，为折痕，此时测量，则_____： (2)【深入探究】如图2，按（1）的折叠方式，将长方形纸片的一角沿EF为折痕折叠，使得恰好平分，求的度数； (3)【拓展提升】如图3，在长方形纸片中，连接，在上取一点，沿经过点的折痕折叠，使得点落在直线上的点处，沿经过点的折痕折叠，使得点落在线段上的点处，展开后，连接，请直接用含的代数式写出两条折痕所夹的的度数． 【答案】(1)70 (2) (3)或 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，角的和差关系推导，熟练掌握相关知识，分类讨论，数形结合借助方程解决问题是解题的关键； （1）根据折叠的性质即可解答； （2）设，使得恰好平分，，，根据折叠的性质列方程求解即可； （3）分是否在或内部两种情况讨论，设，，则 ，，根据和差关系得，或，分别求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得； （2）解：设， ∵使得恰好平分， ∴，， 由折叠的性质得， ， 解得， ∴； （3）解：设，，则，， 如图3，当 在或 内部时； ∵， ∴， 由于、、共线，， ∴ ∴， ∴； 如图4，当 不在或 内部时； ∵， ∴， 由于、、共线，， ∴ ∴， ∴， ∴或． 易错点 1.概念混淆：混淆“轴对称图形”（一个图形）与“成轴对称”（两个图形）；误认为平行四边形是轴对称图形。 2.等腰三角形漏解：已知边或角时，未分情况讨论（如腰与底、顶角与底角），导致多解问题漏解。 3.性质误用：等腰三角形“三线合一”仅适用于顶角平分线、底边上的中线和高，不能用于底角平分线和腰上的中线、高。 4.折叠问题漏条件：未利用折叠的轴对称性质，遗漏相等的边和角，导致计算错误。 5.最值问题对称点找错：作对称点时，找错对称轴或对称点位置，导致最短路径计算错误。 6.尺规作图原理不清：无法识别线段垂直平分线和角平分线的作图痕迹，不能结合性质解题。 重点 1.轴对称的性质：对应线段相等、对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分（选择、填空必考）。 2.线段垂直平分线和角平分线的性质与判定：是证明线段相等、角相等的重要依据。 3.等腰三角形的性质与判定：“等边对等角”“等角对等边”和“三线合一”是解答题核心考点。 4.等边三角形的性质与判定：角的应用和等边三角形的判定是常考内容。 5.尺规作图：作线段垂直平分线、角平分线和轴对称图形是期末必考题型。 6.轴对称最值问题：将军饮马模型是中考高频考点，考查数形结合思想。 难点 1.等腰三角形的分类讨论：需要结合三角形三边关系验证，容易出现漏解或错解。 2.轴对称最值问题的变形：如两动一定、两定两动等复杂模型，需要灵活转化。 3.折叠综合探究题：涉及多个知识点的综合应用，需要较强的逻辑推理和计算能力。 4.多结论判断题：需要对每个结论进行严谨的推理，容易出现漏判或错判。 5.线段垂直平分线与角平分线的综合证明：需要构造辅助线，结合全等三角形进行证明。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形. 2．如图，正方形网格中的八条等长线段形成了一个轴对称图形．将标号①②③④的四条线段随机擦去其中的两条后，剩下的图形仍是轴对称图形的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出共有种等可能结果，根据轴对称图形的定义结合题意分析出剩下的图形仍是轴对称图形的可能数，进而根据概率公式即可求解． 【详解】解：擦去①和②，①和③，②和④，③和④，剩下的图形都是轴对称图形； 擦去②和③，①和④，剩下的图形不是轴对称图形． 共有种等可能结果，其中有4种符合题意， ∴随机擦去其中的两条后，剩下的图形仍是轴对称图形的概率为． 3．如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿 折叠成图3，则图3中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由长方形的性质可知，由此可得出，再根据折叠的性质求得图2中，由此即可算出图3中度数． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ． 由折叠的性质可知： 图2中，， ∴， ∴图3中，． 二、填空题 4．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 5．【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用光的反射规律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据光的反射规律可得， ∵， ∴． 6．图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义和已知条件 求出的度数，最后利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， 平面镜是一条直线， ， ， ， ， 三、解答题 7．如图，在中，请用尺规作图法作的垂直平分线交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，直线即为所求． 【分析】分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两个交点作直线即可． 【详解】略 8．取一张长、宽的纸条，将它每一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来（如图）．在折叠好的纸的中央画出一朵“小花”，并把画出的“小花”挖去．拉开“手风琴”纸条，你会得到一条什么样的花边？在这条花边中，相邻的“小花”之间有什么关系？ 【答案】得到一个以“小花”为基本图案的花边，相邻两朵“小花”成轴对称 【分析】根据在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，结合题意，即可得出结论． 【详解】略 9．完成以下问题 (1)在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． ①计算的面积______； ②在图（1）中作出关于直线l对称的； (2)如图（2），在的正方形网格中，点、在格点网格线的交点上． ①请在网格中找出一个格点，使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点有______个． 【答案】(1)①5；②见解析 (2)①见解析；②4 【详解】（1）解：① ； ②如图，即为所求； （2）解：①如图，、、、均为轴对称图形， ②符合条件的点有4个． 10．综合与实践课上，同学们探究长方形纸片的折叠问题． 如图1，已知长方形纸片，点M在边上（不与A，B重合），点N在边上（不与B，C重合）．将长方形纸片沿直线折叠，使顶点B落在点处，点在长方形内部． 【图形感知】 (1)图1中，________（填“>”“=”或“<”）； 【作图探究】 (2)在图1中边上确定一点G（不与A，D重合），使得纸片沿着折叠后，点A的对应点A'刚好落在射线上，请用无刻度直尺和圆规作出该点G；（不写作法，保留作图痕迹） 【计算探究】 (3)如图2，若点F是图1中边上一动点（不与A，D重合），连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为，点落在长方形内部，若，，求的度数． 【答案】(1)= (2) (3)或 【分析】（1）由折叠性质直接得到对应角相等． （2）利用折叠性质，先以为圆心、为半径作弧确定射线上的点，再作的平分线交于点即可． （3）根据折叠性质得到角相等关系，结合平角定义，对点在射线上的两种位置（在左侧或右侧）分别列方程求解． 【详解】（1）解：长方形纸片沿直线折叠，顶点落在点处， ； （2）解：如图，点即为所求。 纸片沿着折叠后点的对应点落在射线上， ， 以点为圆心、为半径作弧，交射线于点， 再作的平分线，交边于点， 则点即为所求作的点； （3）解：长方形沿直线折叠，顶点落在点处， ， ， 长方形沿直线折叠，顶点落在点处， ， ， 当在的左侧时， ， 即， ， ， 当在的右侧时， ， 即， ， ， 综上所述：或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $