第1章 整式的乘除 单元复习（5大知识点+12 大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版七年级数学下学期培优讲义

第1章 整式的乘除 知识点1：幂的运算性质 运算类型 法则表达式 适用条件 核心要点 同底数幂的乘法 ，、为正整数 底数不变，指数相加 幂的乘方 ，、为正整数 底数不变，指数相乘 积的乘方 ，，为正整数 每个因式分别乘方，再乘所得幂 同底数幂的除法 ，、为正整数，且 底数不变，指数相减 零指数幂 非零数的零次幂等于1 负整数指数幂 ，为正整数 负指数幂等于正指数幂的倒数 知识点2：整式的乘法 1.单项式与单项式相乘： 法则：把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 示例：。 2.单项式与多项式相乘： 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（分配律）。 示例：。 3.多项式与多项式相乘： 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 示例：。 知识点3：整式的除法 1.单项式除以单项式： 法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 示例：。 2.多项式除以单项式： 法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 示例：。 知识点4：乘法公式 公式名称 表达式 结构特征 注意事项 平方差公式 两个二项式相乘，一项相同，一项互为相反数 结果为相同项的平方减相反项的平方 完全平方公式 二项式的平方，展开为三项式 中间项为两数积的2倍，符号与二项式符号一致 完全平方公式 二项式的平方，展开为三项式 中间项为两数积的2倍，符号与二项式符号相反 知识点5：科学记数法 1.表示形式：（，为整数）。 2.应用场景： 表示大数：为正整数，等于原数的整数位数减1； 表示小数：为负整数，绝对值等于原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数。 【基础必考题型】 【题型1】幂的基本运算 1.核心知识点: 幂的六种运算性质；指数的四则运算 2.解题方法技巧: 先判断运算类型，明确对应法则（如同底数幂相乘→指数相加）； 底数为负数时，注意幂的符号（积的乘方中负因式的个数决定符号）； 零指数幂和负整数指数幂运算前，先验证底数不为0。 【例题1】.（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）计算 的结果是（    ） A． B． C． D．1 【变式题1-1】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·河南安阳·期末）化简 (1) (2) 【题型2】整式乘除混合运算 1. 核心知识点: 单项式乘除法则；多项式乘除法则；同类项合并；幂的运算性质 2. 解题方法技巧: 先算乘方（如积的乘方、幂的乘方），再算乘除，最后合并同类项； 单项式乘除时，系数、同底数幂分别运算，单独字母保留其指数； 多项式除以单项式，按“逐项相除再相加”计算，避免漏项； 运算中注意符号变化，分步化简每一步，减少后续计算误差。 【例题2】.（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·广东江门·期中）计算：______． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： (1)； (2)． 【题型3】平方差公式的直接应用 1.核心知识点: 平方差公式的结构特征；同类项合并 2.解题方法技巧: 识别公式结构：找出相同项（）和互为相反数的项（）； 直接套用公式：，结果化为最简形式。 【例题3】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）乘积等于的式子是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建龙岩·期末）下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，有一个圆环形的观景台，已知，，则观景台（阴影部分）的面积是______（结果保留）． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏南通·期末）运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【题型4】完全平方公式的直接应用 1.核心知识点: 完全平方公式的结构特征；中间项的符号与系数 2.解题方法技巧: 区分和平方与差平方，确定中间项符号； 展开时确保三项齐全（平方项+中间项），避免遗漏中间项或计算错误（如）。 【例题4】.（25-26八年级上·河南周口·期末）下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（2026·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中，． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5】科学记数法的表示与转化 1.核心知识点: 科学记数法的定义；大数与小数的转化 2.解题方法技巧: 表示大数时，确定（）和（整数位数减1）； 表示小数时，为左起第一个非0数字前0的个数； 逆向转化时，根据的正负移动小数点，确保位数准确。 【例题5】.（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写______次（科学记数法表示）． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·山东青岛·期中）海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的________倍． 【变式题5-2】.（23-24八年级·全国·课后作业）计算（结果用科学记数法表示）： (1)； (2)． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． ． 【培优高频题型】 【题型6】整式的化简求值 1.核心知识点: 整式的乘除法则；乘法公式；代数式化简 2.解题方法技巧: 先按运算法则化简代数式（去括号、合并同类项、运用公式）； 代入数值时，注意符号（尤其是负数和分数）的运算； 计算过程分步进行，避免因直接代入导致的计算错误。 【例题6】.（25-26八年级上·广东·月考）先化简，再求值： ，其中，． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知，，． (1)先化简，再计算当时，求该式子的值； (2)若，求x的值． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）已知， (1)求代数式的值． (2)求代数式的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【题型7】幂的运算与代数式求值 1.核心知识点: 幂的运算性质；整体思想；代数式变形 2.解题方法技巧: 构造整体（如已知，则）； 将所求代数式变形为含已知整体的形式（如）； 代入整体值计算，避免直接求解字母，简化运算。 【例题7】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式题7-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【变式题7-2】.（25-26六年级下·全国·课后作业）（1）已知，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·广东深圳·月考）（1）已知，，则求的值； （2）若，，求的值． 【题型8】整式乘法中“不含某项”“无关”问题 1.核心知识点: 多项式乘多项式法则；同类项的定义；方程思想 2.解题方法技巧: 将多项式展开，合并同类项，找出指定项（如一次项、二次项）； 令指定项的系数为0，列方程求解字母的值； 验证所求字母值是否满足题意，确保结果唯一。 【例题8】.（24-25七年级下·河南平顶山·月考）已知的展开式中不含项和项，求的值． 佳佳的解法如下： 解：， 展开式中不含项和项， 解得：， ， ． 请问佳佳的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·四川成都·期末）【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 【变式题8-3】.（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【压轴素养题型】 【题型9】乘法公式的变形应用 1.核心知识点: 完全平方公式的变形（）；平方差公式的逆向应用 2.解题方法技巧: 分析已知条件与所求代数式的关系，构造公式变形形式； 整体代入已知条件（如已知，，直接代入）； 验证变形过程的正确性，确保符号无误。 【例题9】.（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：___________； 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，求的值； （3）若满足，求的值； 【拓展】 （4）如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，是一个长为4a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系． (2)利用（1）中的结论，请求下列问题： ①若，求的值； ②若，求的值． (3)如图3，正方形和正方形重叠，重叠部分是长方形，若正方形的边长为，长方形的面积是，求正方形的面积（若正方形的面积是定值，请求出这个定值；若正方形EFGH的面积不是定值，请用含的代数式表示）． 【题型10】乘法公式的几何背景应用 1.核心知识点: 平方差公式、完全平方公式的几何意义；图形面积的计算 2.解题方法技巧: 分析几何图形的构成（如正方形、长方形的拼接），用两种方法表示图形面积； 建立面积等式，推导或验证乘法公式； 结合图形边长与代数式的对应关系，解决求值问题（如已知图形面积求边长）。 【例题10】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． (2)通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度    方法二：从“形”的角度 解：，        解：， ，即：，    又， 又        ， ．        ． 即．        即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【变式题10-2】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常用方法． (1)【观察发现】图1是用边长为、的四个长方形拼成的一个大正方形，图2是用边长为、、的三个正方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的关系式为：图1：___________，图2：_________． (2)【解决问题】如图3，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，分别连接、、、，若的面积为3，，求阴影部分的面积的和． 【题型11】新定义下的整式运算（创新型） 1.核心知识点: 整式的乘除法则；乘法公式；新定义的理解与应用 2.解题方法技巧: 仔细阅读新定义规则，明确运算本质（如定义，实质是平方差运算）； 将新定义运算转化为熟悉的整式运算，逐步推导； 结合幂的性质和乘法公式验证结果，确保符合定义要求。 【例题11】.（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 【变式题11-1】.（2024七年级下·全国·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”． (1)求，的“和方差数”． (2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值． (3)若，，求，的“和方差数”． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·贵州遵义·期末）阅读材料，回答下列问题（规定且）： 材料一：乘方：求个相同因数（）乘积的运算，叫作乘方，记作：，其中，为底数，为指数，结果为幂．如：．设，，有如下性质： （1）； （2）； 材料二：开方：如果一个数的次方等于（即：），称为的次方根．记作： ，为被开方数，为根指数．如： 材料三：对数：如果，那么被称为以为底的对数，记作，其中为对数的底数，为真数．如：，则．设，，则，，，有如下性质及推导过程： （1）； （2）； （1）推导过程： ； 规律总结：乘方、开方、对数之间的关系：． (1)根据以上材料规律：已知；则______；______ (2)类比材料三的推导过程，求证：； (3)根据阅读材料计算：． 【题型12】阅读材料型整式运算综合应用（探究推理） 1.核心知识点: 整式乘除法则；乘法公式；规律探究；整体思想、转化思想 2.解题方法技巧: 精读材料，提取核心方法（如降次代换、图形面积法、杨辉三角规律）； 类比材料中的解题思路，结合整式运算或乘法公式转化问题； 针对规律探究类，先计算特殊值归纳规律，再用整式运算验证或应用规律； 复杂问题拆分步骤，先化简代数式，再结合材料条件整体代入或推理求值。 【例题12】.（25-26八年级上·山西大同·期末）阅读与思考 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为______． [类比探究] 观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． [知识应用] （2）根据图②所得的公式，若，，则______． （3）若x满足，求的值． [拓展应用] （4）如图③，在四边形ABCD中，于点E，，，，若与的面积和为，则与的面积和为______． 【变式题12-1】.（25-26八年级上·云南昭通·期末）阅读材料：如果将（，n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 观察上式，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． 应用规律： (1)根据规律的展开式共有_____项，直接写出它的展开式，_______； (2)观察上式，可以发现的展开式中，时，前两行共有3项，时，前三行共有6项，时，前四行共有10项……依此类推，当时，前行共有多少项？ 【变式题12-2】.（22-23七年级上·上海奉贤·期中）阅读以下材料，并解答问题． 阅读一：画与三角形面积相等的长方形． (1)如图1，已知，①画边上的高；②取线段的中点E；③以为边画长方形，使得那么长方形的面积等于的面积． 根据“阅读一”，如果，那么长方形的面积=______． 阅读二：画与长方形面积相等的正方形． 如图2，已知长方形，①延长，截取； ②以的中点O为圆心，为半径作半圆； ③过点F画 的垂线，交半圆于点I；④以为边画正方形那么正方形的面积等于长方形的面积． (2)根据“阅读二”，设，如果等面积的正方形边长为5，请猜想a、b的数量关系并加以说明； (3)根据“阅读一”由画出它的等面积长方形，在长方形的基础上，再根据“阅读二”画出等面积正方形FIJK，设，当H为的中点时，m、n的数量关系为：______． 【变式题12-3】.（24-25七年级上·江苏常州·期中）综合与实践 【阅读材料1】著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，几何问题也可以转化为代数问题解决． 如常用两种方法计算同一图形面积，得到等式．将边长为b的正方形如图1所示放置在边长为a的正方形中， _______（用含有a，b的代数式表示）；如图2沿虚线分割成两个形状大小相同的梯形，则_______，那么可以构建等式_______． 【阅读材料2】如图3，学校打算用长的篱笆围成长方形生物园饲养小兔．怎样围可使小兔的活动范围尽可能大？可以用以下方法探索： 将围栏抽象成长方形，设一边为，面积为，用含的代数式表示_______； 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越_______（填“大”或“小”），面积越大：即当_______时，S最大． 【深入思考】归纳以上结论：若，则当_______（填a，b满足的关系）时，的值最大，请结合以上材料利用数轴说明． 【实践应用】如图5，为扩大小兔活动范围，现决定利用一面长度为n（）的墙扩大范围，篱笆总长12m，要求使长方形的一边包含整个墙，请直接写出当长方形一边长x满足何条件时（用含有n的式子表达），围成的面积最大． 易错点 1.混淆幂的运算法则，如将同底数幂相乘误算为“底数相乘，指数相加”，或幂的乘方误算为“底数不变，指数相加”。 2.单项式乘多项式时漏乘常数项，或多项式乘多项式时漏乘某一项（如漏乘）。 3.应用完全平方公式时，遗漏中间项（如误写为）或中间项符号错误。 4.负整数指数幂转化时符号错误，如将误写为，或忽略零指数幂“底数不为0”的前提。 5.整式除法中，同底数幂相除时指数相减出错（如误算为以外的结果），或单项式除以单项式时遗漏单独字母。 重点 1.掌握幂的六种运算性质，能熟练进行正向和逆向运算，为整式乘除奠定基础。 2.熟练运用整式乘除法则（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式、整式除法），准确化简代数式。 3.理解并灵活应用平方差公式和完全平方公式，解决化简、求值、证明等问题。 4.掌握科学记数法的表示方法，能实现大数、小数与科学记数法的相互转化。 5.能进行整式的化简求值，结合整体思想、方程思想解决实际问题。 难点 1.幂的混合运算与整式混合运算的顺序把握，尤其是含多种运算法则时的分步化简。 2.乘法公式的灵活变形与逆向应用（如、的变形求值）。 3.整式乘法中“不含某项”问题的求解，需通过系数为0建立方程，体现方程思想。 4.跨学科和新定义情境下的整式应用，需从非数学情境中提取数量关系，转化为整式运算问题。 5.几何背景下乘法公式的验证与应用，需结合图形面积的两种表示方法建立等式，体现数形结合思想。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知，则的值为(　　)． A．， B．， C．， D．， 2．如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．6 B． C． D． 5．若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 7．已知，这四个数中最大数和最小数的积为 _______ ． 8．如图，有正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形甲与正方形乙．若甲、乙中阴影部分的面积分别12，30，则正方形B的面积为________． 9．已知都是实数，，则的最小值是___________． 10．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式，则的值是 ________ ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．用简便方法计算： (1)； (2)． 13．先化简，再求值∶，其中． 14．你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： （1）_______； （2）_______； （3）_______；… （4）由此我们可以得到_______； 请你利用上面的结论，完成下面三题的计算： （5）； （6）； （7）若，求的值． 15．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 整式的乘除 知识点1：幂的运算性质 运算类型 法则表达式 适用条件 核心要点 同底数幂的乘法 ，、为正整数 底数不变，指数相加 幂的乘方 ，、为正整数 底数不变，指数相乘 积的乘方 ，，为正整数 每个因式分别乘方，再乘所得幂 同底数幂的除法 ，、为正整数，且 底数不变，指数相减 零指数幂 非零数的零次幂等于1 负整数指数幂 ，为正整数 负指数幂等于正指数幂的倒数 知识点2：整式的乘法 1.单项式与单项式相乘： 法则：把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 示例：。 2.单项式与多项式相乘： 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（分配律）。 示例：。 3.多项式与多项式相乘： 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 示例：。 知识点3：整式的除法 1.单项式除以单项式： 法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 示例：。 2.多项式除以单项式： 法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 示例：。 知识点4：乘法公式 公式名称 表达式 结构特征 注意事项 平方差公式 两个二项式相乘，一项相同，一项互为相反数 结果为相同项的平方减相反项的平方 完全平方公式 二项式的平方，展开为三项式 中间项为两数积的2倍，符号与二项式符号一致 完全平方公式 二项式的平方，展开为三项式 中间项为两数积的2倍，符号与二项式符号相反 知识点5：科学记数法 1.表示形式：（，为整数）。 2.应用场景： 表示大数：为正整数，等于原数的整数位数减1； 表示小数：为负整数，绝对值等于原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数。 【基础必考题型】 【题型1】幂的基本运算 1.核心知识点: 幂的六种运算性质；指数的四则运算 2.解题方法技巧: 先判断运算类型，明确对应法则（如同底数幂相乘→指数相加）； 底数为负数时，注意幂的符号（积的乘方中负因式的个数决定符号）； 零指数幂和负整数指数幂运算前，先验证底数不为0。 【例题1】.（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）计算 的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据零指数幂的运算性质，运用“任何非零数的0次幂等于1”即可计算得出结果． 【详解】解：． 【变式题1-1】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ∴A选项中，A错误． ∵与不是同类项，不能合并． ∴B选项错误． ∵积的乘方，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘． ∴C选项中，C错误． ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减． ∴D选项中，D正确． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 根据题意得， ． 【点睛】重点掌握幂的运算． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·河南安阳·期末）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项等知识点，熟练掌握幂的相关运算法则及有理数的运算规则是解题的关键． （1）先根据负整数指数幂、零指数幂及乘方的运算法则，分别计算、和，再进行加减运算． （2）先根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则及积的乘方法则，分别计算、和，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2】整式乘除混合运算 1. 核心知识点: 单项式乘除法则；多项式乘除法则；同类项合并；幂的运算性质 2. 解题方法技巧: 先算乘方（如积的乘方、幂的乘方），再算乘除，最后合并同类项； 单项式乘除时，系数、同底数幂分别运算，单独字母保留其指数； 多项式除以单项式，按“逐项相除再相加”计算，避免漏项； 运算中注意符号变化，分步化简每一步，减少后续计算误差。 【例题2】.（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【详解】解： . 【变式题2-1】.（25-26八年级上·广东江门·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式等知识点，解题关键是掌握单项式乘多项式法则． 根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据多项式除以单项式、积的乘方法则计算，然后合并同类项即可； （2）先根据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答； （2）利用多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型3】平方差公式的直接应用 1.核心知识点: 平方差公式的结构特征；同类项合并 2.解题方法技巧: 识别公式结构：找出相同项（）和互为相反数的项（）； 直接套用公式：，结果化为最简形式。 【例题3】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）乘积等于的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用多项式乘法与平方差公式计算，即可得到正确结果． 【详解】解：A、，所以选项A错误，不符合题意； B、，所以选项B错误，不符合题意； C、，所以选项C正确，符合题意； D、，所以选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建龙岩·期末）下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据平方差公式为逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算； 选项B：， 两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算； 选项C：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算； 选项D：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算． 故选：B． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，有一个圆环形的观景台，已知，，则观景台（阴影部分）的面积是______（结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆环面积计算，平方差公式的应用，用大圆的面积减去小圆的面积，即可求解． 【详解】解：依题意，观景台（阴影部分）的面积是 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏南通·期末）运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式对整式进行变形，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行变形即可． 【详解】解： 故选：D． 【题型4】完全平方公式的直接应用 1.核心知识点: 完全平方公式的结构特征；中间项的符号与系数 2.解题方法技巧: 区分和平方与差平方，确定中间项符号； 展开时确保三项齐全（平方项+中间项），避免遗漏中间项或计算错误（如）。 【例题4】.（25-26八年级上·河南周口·期末）下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方的非负性，根据完全平方公式和平方的非负性逐一判断即可． 【详解】解：A、，原等式成立，故此选项不符合题意； B、，原等式成立，故此选项不符合题意； C、，且（除非），原等式不成立，符合题意； D、，，且，原等式成立，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，根据完全平方公式，平方差公式，逐一判断即可． 【详解】解：A选项：，故A错误． B选项：，故B正确． C选项：，故C错误． D选项：，故D错误． 故选B． 【变式题4-2】.（2026·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法运算，合并同类项，根据完全平方公式，平方差公式进行化简，再合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ． 当 ， 时，原式 ． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）原式运用完全平方公式进行计算即可； （2）原式运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式运用完全平方公式进行计算即可； （4）原式运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【题型5】科学记数法的表示与转化 1.核心知识点: 科学记数法的定义；大数与小数的转化 2.解题方法技巧: 表示大数时，确定（）和（整数位数减1）； 表示小数时，为左起第一个非0数字前0的个数； 逆向转化时，根据的正负移动小数点，确保位数准确。 【例题5】.（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写______次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·山东青岛·期中）海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的________倍． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，用海豚能听到的声音的最高频率除以人类能听到声音的最高频率，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式题5-2】.（23-24八年级·全国·课后作业）计算（结果用科学记数法表示）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算，用科学记数法表示数的乘法和学记数法表示数的除法． （1）首先根据整式的乘法定义化简，然后根据同底数幂的乘法计算出结果，最后同科学计算法表示即可． （2）首先根据整式的除法定义化简，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后同科学计算法表示即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式题5-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的除法以及科学记数法，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据单项式除单项式法则计算即可； （2）利用科学记数法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【培优高频题型】 【题型6】整式的化简求值 1.核心知识点: 整式的乘除法则；乘法公式；代数式化简 2.解题方法技巧: 先按运算法则化简代数式（去括号、合并同类项、运用公式）； 代入数值时，注意符号（尤其是负数和分数）的运算； 计算过程分步进行，避免因直接代入导致的计算错误。 【例题6】.（25-26八年级上·广东·月考）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查根据平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知，，． (1)先化简，再计算当时，求该式子的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把分别代入后再化简，然后代入求值； （2）把代入等式后再解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）解：由题意可得：， 解得：． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）已知， (1)求代数式的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】本题主要考查代数式求值，正确进行代数式变形是解答关键． （1）根据已知得，等式两边同除以可得结论； （2）先由已知条件得到，再将降次并代入进行化简，最终利用整体代入法求值即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，整式的加减运算，准确运用公式和合并同类项法则是解题关键． 先利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，最后用括号内的每一项分别除以，化简后代入数值计算． 【详解】解： ， 当，， ． 【题型7】幂的运算与代数式求值 1.核心知识点: 幂的运算性质；整体思想；代数式变形 2.解题方法技巧: 构造整体（如已知，则）； 将所求代数式变形为含已知整体的形式（如）； 代入整体值计算，避免直接求解字母，简化运算。 【例题7】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆用可进行求解； （2）根据同底数幂乘法与除法及幂的乘方的逆用可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题7-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】56 【分析】本题考查了求代数式的值，积的乘方，幂的乘方的逆用，根据积的乘方及幂的乘方的逆用将原式化为，即可求解． 【详解】解：原式 ． 【变式题7-2】.（25-26六年级下·全国·课后作业）（1）已知，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 【答案】（1）8；（2）32 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法运算，以及整体代入的思想． 解题的关键是将所求代数式转化为以2为底的幂，再利用已知条件进行整体代入．利用幂的乘方公式，将所求代数式转化为含的形式，再代入计算． 【详解】（1）解：由 ，得 ． 将 转化为． 代入，得． (2)解： 将代入，得 ． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·广东深圳·月考）（1）已知，，则求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）72 【分析】本题考查求代数式的值，以及同底数幂的乘方、乘法计算，熟练掌握对应公式是解题的关键． （1）将代入，可求得的值，最后求出的值； （2）由变形成，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； 解：（2）∵， ∵，， ∴， ∴． 【题型8】整式乘法中“不含某项”“无关”问题 1.核心知识点: 多项式乘多项式法则；同类项的定义；方程思想 2.解题方法技巧: 将多项式展开，合并同类项，找出指定项（如一次项、二次项）； 令指定项的系数为0，列方程求解字母的值； 验证所求字母值是否满足题意，确保结果唯一。 【例题8】.（24-25七年级下·河南平顶山·月考）已知的展开式中不含项和项，求的值． 佳佳的解法如下： 解：， 展开式中不含项和项， 解得：， ， ． 请问佳佳的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程． 【答案】佳佳的解法不正确，正确过程见解析． 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及结果中不含某项，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据多项式乘多项式计算法则化简出结果，再根据展开式中不含项和项得项和项前的系数为，即可求出、的值，再将、的值代入原式即可求解． 【详解】解：佳佳的解法不正确，正确解答如下： ． 展开式中不含项和项， ， 解得：， ， ， ， ， ． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法． 先计算单项式与多项式的乘法，再根据计算结果中不含x的三次项得到，求解即可． 【详解】解：． 计算结果不含x的三次项， ， 解得． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·四川成都·期末）【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减运算中的无关型问题： （1）把x看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解； （2）先将所给整式化简，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解． 【详解】（1）解：， 的值与x的取值无关， ， ； （2）解： ， 整式的值与x无关， ， ． 【变式题8-3】.（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和合并同类项，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）把含有的项提取公因式，然后根据关于的代数式的值与的取值无关，列出关于的方程，解方程即可； （2）把已知条件中的和代入，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据的值与无关，列出关于的方程，解方程即可； （3）设，由图可知，，然后再求出，最后根据的值始终保持不变，得到关于，的等式即可． 【详解】解：（1） ， 关于的代数式的值与的取值无关， ， 解得：， 故答案为：4； （2）， ， 的值与x无关， ， 即； （3）设，由图可知， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， 【压轴素养题型】 【题型9】乘法公式的变形应用 1.核心知识点: 完全平方公式的变形（）；平方差公式的逆向应用 2.解题方法技巧: 分析已知条件与所求代数式的关系，构造公式变形形式； 整体代入已知条件（如已知，，直接代入）； 验证变形过程的正确性，确保符号无误。 【例题9】.（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式求值，把两边同时平方，可得：，整理可得：． 【详解】解：， ， 可得：， ， ， 即． 故选：C． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值． (1)利用完全平方公式可得：，，把等式两边分别相减即可求出的值； (2)利用完全平方公式可得：，根据，即可求出； (3)利用完全平方公式可得：，把代入即可求代数式的值． 【详解】（1）解： ， ， 整理得：， ， ， 整理得：， 得：， 解得：； （2）解：， ， 整理得：， 又， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 原式. 【变式题9-2】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：___________； 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，求的值； （3）若满足，求的值； 【拓展】 （4）如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】 （1）； （2）； （3）3； （4）种草区域的面积和为60平方米． 【分析】本题考查几何背景下的完全平方公式，通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）根据图2中阴影部分的面积即可求解； （2）将已知条件整体代入（1）的结论，计算即可； （3）设，则，由（1）可得，整体代入，计算即可； （4）设，，则种花区域的面积，由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和． 【详解】（1）解：图2中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为，两个长方形的宽和长分别为， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积-两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又， ； （3）解：设，则， ，即， ； （4）解：设， 于点米， （平方米），（平方米），（平方米），（平方米），（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）． 种草区域的面积和为60平方米． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，是一个长为4a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系． (2)利用（1）中的结论，请求下列问题： ①若，求的值； ②若，求的值． (3)如图3，正方形和正方形重叠，重叠部分是长方形，若正方形的边长为，长方形的面积是，求正方形的面积（若正方形的面积是定值，请求出这个定值；若正方形EFGH的面积不是定值，请用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①16；②13 (3)401 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解此题的关键． （1）大正方形的面积可以表示为，还可以表示为中间小正方形的面积加上四个长方形的面积，即，由此即可得解； （2）①利用（1）中的结论计算即可得解； ②设，，可知，，再运用完全平方公式计算即可得解； （3）由题意易求，，，设，，则有，，，再根据正方形的面积为解答即可． 【详解】（1）解：由图可得：大正方形的面积可以表示为， 还可以表示为中间小正方形的面积加上四个长方形的面积，即， ∴之间的等量关系是． （2）解：①∵， ∴； ②设，，则， ∵， ∴， ∴ ． （3）解：∵正方形的边长为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵长方形的面积是， ∴，即， 设，，则，， ∴， ∴正方形的面积为． 【题型10】乘法公式的几何背景应用 1.核心知识点: 平方差公式、完全平方公式的几何意义；图形面积的计算 2.解题方法技巧: 分析几何图形的构成（如正方形、长方形的拼接），用两种方法表示图形面积； 建立面积等式，推导或验证乘法公式； 结合图形边长与代数式的对应关系，解决求值问题（如已知图形面积求边长）。 【例题10】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． (2)通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度    方法二：从“形”的角度 解：，        解：， ，即：，    又， 又        ， ．        ． 即．        即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)；； (2)12 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式与图形面积的结合，解题的关键是通过图形的分割、拼接，将代数式与几何图形的面积建立联系，利用“数形结合”的思想进行转化求解； （1）图1：通过面积和列等式，得到完全平方和公式；图2：通过大正方形减去两个矩形，再加上重叠的小正方形，得到完全平方差公式；图3：通过面积相等得到平方差公式； （2）设，，根据完全平方公式及条件求出的值，再根据阴影部分是直角三角形，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设，， 则． 因为， 即， ， 即阴影部分的面积为12． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【答案】(1)；； (2) (3)3 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方式的几何背景、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． （1）用两种不同的方式表示大正方形的面积， （2）根据这两个面积相等列出等式即可； （3）根据（2）得结论，可得，再代入已知计算，即可求解． 【详解】（1）解：利用图1，可以得到等式：； 利用图2，可以得到等式：； 利用图3，可以得到等式：； （2）类比（1）可得： （3）， ， 即： ， ， 解得． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 【答案】（1），；（2）；（3），；（4） 【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式与图形面积等知识点，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）直接根据图形列出等式即可解答； （2）根据（1）的结论作差即可解答； （3）①由，得，即可求解，②令，则，根据题意可知，代入，即可求解； （4）由，两边平方再化简，可得，根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，即，代入，即可求解． 【详解】（1）解：由①可得， 由②可得， 故答案为：，； （2），， ， 即， 故答案为：； （3）解：①， ， 故答案为：； ②令， 则， ， ； 由（2）可知， 则． （4）解：根据题意可知， ， ， 根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，故阴影部分的面积为， 故答案为：． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常用方法． (1)【观察发现】图1是用边长为、的四个长方形拼成的一个大正方形，图2是用边长为、、的三个正方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的关系式为：图1：___________，图2：_________． (2)【解决问题】如图3，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，分别连接、、、，若的面积为3，，求阴影部分的面积的和． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义、代数式的变形与求值，熟练掌握完全平方公式的变形及几何图形面积的转化是解题的关键． （1）通过大正方形面积的两种表示方法推导完全平方公式相关关系式． （2）解题关键在于设元，将几何条件转化为关于a、b的方程，并利用公式整体求出的值，最后代入面积公式求得结果． 【详解】（1）解：利用图形可以推导出的关系式为，图1：； 图2：. 故答案为：， （2）解：设，，则， ， ， ， ， ，， ． 【题型11】新定义下的整式运算（创新型） 1.核心知识点: 整式的乘除法则；乘法公式；新定义的理解与应用 2.解题方法技巧: 仔细阅读新定义规则，明确运算本质（如定义，实质是平方差运算）； 将新定义运算转化为熟悉的整式运算，逐步推导； 结合幂的性质和乘法公式验证结果，确保符合定义要求。 【例题11】.（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【详解】（1）解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． （2）因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以 【变式题11-1】.（2024七年级下·全国·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”． (1)求，的“和方差数”． (2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值． (3)若，，求，的“和方差数”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，完全平方公式的应用．掌握“和方差数”的定义是解题的关键； （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义，可得，即，再将其代入中所求代数式计算即可； （3）根据题意，可知，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即：，， ∴； （3）解：∵， 又，， ∴． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·贵州遵义·期末）阅读材料，回答下列问题（规定且）： 材料一：乘方：求个相同因数（）乘积的运算，叫作乘方，记作：，其中，为底数，为指数，结果为幂．如：．设，，有如下性质： （1）； （2）； 材料二：开方：如果一个数的次方等于（即：），称为的次方根．记作： ，为被开方数，为根指数．如： 材料三：对数：如果，那么被称为以为底的对数，记作，其中为对数的底数，为真数．如：，则．设，，则，，，有如下性质及推导过程： （1）； （2）； （1）推导过程： ； 规律总结：乘方、开方、对数之间的关系：． (1)根据以上材料规律：已知；则______；______ (2)类比材料三的推导过程，求证：； (3)根据阅读材料计算：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关系是求解本题的关键． （1）根据材料二，材料三中的计算公式，类比得出结果； （2）类比材料二，将、代入，通过同底数幂的乘法，结合得出，又由，即可证明； （3）利用材料三的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，得， ∴，得， ∵，得， ∴，得， 故答案为：；． （2）解：令，， 则，，， ∴． （3）解：根据材料三的性质， 得， ∵， ∴． 【题型12】阅读材料型整式运算综合应用（探究推理） 1.核心知识点: 整式乘除法则；乘法公式；规律探究；整体思想、转化思想 2.解题方法技巧: 精读材料，提取核心方法（如降次代换、图形面积法、杨辉三角规律）； 类比材料中的解题思路，结合整式运算或乘法公式转化问题； 针对规律探究类，先计算特殊值归纳规律，再用整式运算验证或应用规律； 复杂问题拆分步骤，先化简代数式，再结合材料条件整体代入或推理求值。 【例题12】.（25-26八年级上·山西大同·期末）阅读与思考 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为______． [类比探究] 观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． [知识应用] （2）根据图②所得的公式，若，，则______． （3）若x满足，求的值． [拓展应用] （4）如图③，在四边形ABCD中，于点E，，，，若与的面积和为，则与的面积和为______． 【答案】（1）；；（2）5；（3）5；（4）2． 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用． （1）由题意知，； 由题意知，； （2）将，代入，计算求解即可； （3）由题意知，，根据，计算求值即可； （4）由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据，计算求值即可． 【详解】解：（1）由题意知，， 故答案为：； 由题意知，， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：5； （3）解：由题意知，， ∴； （4）∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式题12-1】.（25-26八年级上·云南昭通·期末）阅读材料：如果将（，n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 观察上式，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． 应用规律： (1)根据规律的展开式共有_____项，直接写出它的展开式，_______； (2)观察上式，可以发现的展开式中，时，前两行共有3项，时，前三行共有6项，时，前四行共有10项……依此类推，当时，前行共有多少项？ 【答案】(1)五， (2)前行共有351项． 【分析】本题考查了整式乘法的应用、数字规律的探究，理解题意弄清展开式各项系数的规律是解题的关键． （1）根据前三个式子，找出规律，根据规律作答即可； （2）根据前四个式子，找出规律，根据规律作答即可． 【详解】（1）解：由杨辉三角知： 的展开式有二项，； 的展开式有三项，； 的展开式有四项，； ∴的展开式有五项，； （2）解：由题可得，当时，展开有1项， 当时，展开有2项， 时，展开有3项，前三行共有项， 时，展开有4项，前四行共有项 …… ∴时，展开有26项． ∴前26行共有：． 答：前行共有351项． 【变式题12-2】.（22-23七年级上·上海奉贤·期中）阅读以下材料，并解答问题． 阅读一：画与三角形面积相等的长方形． (1)如图1，已知，①画边上的高；②取线段的中点E；③以为边画长方形，使得那么长方形的面积等于的面积． 根据“阅读一”，如果，那么长方形的面积=______． 阅读二：画与长方形面积相等的正方形． 如图2，已知长方形，①延长，截取； ②以的中点O为圆心，为半径作半圆； ③过点F画 的垂线，交半圆于点I；④以为边画正方形那么正方形的面积等于长方形的面积． (2)根据“阅读二”，设，如果等面积的正方形边长为5，请猜想a、b的数量关系并加以说明； (3)根据“阅读一”由画出它的等面积长方形，在长方形的基础上，再根据“阅读二”画出等面积正方形FIJK，设，当H为的中点时，m、n的数量关系为：______． 【答案】(1)16 (2)；证明见解析 (3) 【分析】（1）由长方形的面积等于的面积可得答案； （2）根据，得，，而等面积的正方形边长为5，有，故； （3）求出，由H为的中点，得，而，即得，从而． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵长方形的面积等于的面积， ∴， 故答案为：16； （2）解：； 证明：∵， ∴，， ∵等面积的正方形边长为5， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵长方形的面积等于的面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵H为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，涉及三角形，长方形，正方形的面积，解题的关键是读懂题意，利用等面积列出所需等式． 【变式题12-3】.（24-25七年级上·江苏常州·期中）综合与实践 【阅读材料1】著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，几何问题也可以转化为代数问题解决． 如常用两种方法计算同一图形面积，得到等式．将边长为b的正方形如图1所示放置在边长为a的正方形中， _______（用含有a，b的代数式表示）；如图2沿虚线分割成两个形状大小相同的梯形，则_______，那么可以构建等式_______． 【阅读材料2】如图3，学校打算用长的篱笆围成长方形生物园饲养小兔．怎样围可使小兔的活动范围尽可能大？可以用以下方法探索： 将围栏抽象成长方形，设一边为，面积为，用含的代数式表示_______； 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越_______（填“大”或“小”），面积越大：即当_______时，S最大． 【深入思考】归纳以上结论：若，则当_______（填a，b满足的关系）时，的值最大，请结合以上材料利用数轴说明． 【实践应用】如图5，为扩大小兔活动范围，现决定利用一面长度为n（）的墙扩大范围，篱笆总长12m，要求使长方形的一边包含整个墙，请直接写出当长方形一边长x满足何条件时（用含有n的式子表达），围成的面积最大． 【答案】[阅读材料1]；；；[阅读材料2]，小，；[深入思考]；[实践应用] 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，整式的乘法与图形的面积； [阅读材料1]图1，根据大正方形的面积减去小正方形的面积；图2根据两个梯形的面积和计算，进而得出等式； [阅读材料2]根据长方形的面积公式计算即可求解，根据列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越小（填“大”或“小”），面积越大； [深入思考]仿照例题，构造边长为的长方形与边长为的正方形，通过比较面积，求得面积最大时，； [实践应用]根据题意表示出长方形的另一边，进而根据面积最大时，正方形的面积大于长方形的面积，得出的关系式，即可求解． 【详解】解：[阅读材料1]如图1， ，如图2， ， ∴ 故答案为：；；． [阅读材料2]设一边为，面积为，用含的代数式表示； 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越小，面积越大； ∴ 解得 ，即当 时，S最大． 故答案为：，小，． [深入思考]∵ 设，则， 当相差越小时，越大 ∴ 如图，设，四边形是正方形，边长为，， ∵，求的最大值，则大于 设为原点，则长方形的面积为，正方形的面积为， ∴当时，，此时面积最大，即取得最大值 故答案为：． [实践应用] 长方形一边长为，则另一边长为， ∴，即时，面积最大， 易错点 1.混淆幂的运算法则，如将同底数幂相乘误算为“底数相乘，指数相加”，或幂的乘方误算为“底数不变，指数相加”。 2.单项式乘多项式时漏乘常数项，或多项式乘多项式时漏乘某一项（如漏乘）。 3.应用完全平方公式时，遗漏中间项（如误写为）或中间项符号错误。 4.负整数指数幂转化时符号错误，如将误写为，或忽略零指数幂“底数不为0”的前提。 5.整式除法中，同底数幂相除时指数相减出错（如误算为以外的结果），或单项式除以单项式时遗漏单独字母。 重点 1.掌握幂的六种运算性质，能熟练进行正向和逆向运算，为整式乘除奠定基础。 2.熟练运用整式乘除法则（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式、整式除法），准确化简代数式。 3.理解并灵活应用平方差公式和完全平方公式，解决化简、求值、证明等问题。 4.掌握科学记数法的表示方法，能实现大数、小数与科学记数法的相互转化。 5.能进行整式的化简求值，结合整体思想、方程思想解决实际问题。 难点 1.幂的混合运算与整式混合运算的顺序把握，尤其是含多种运算法则时的分步化简。 2.乘法公式的灵活变形与逆向应用（如、的变形求值）。 3.整式乘法中“不含某项”问题的求解，需通过系数为0建立方程，体现方程思想。 4.跨学科和新定义情境下的整式应用，需从非数学情境中提取数量关系，转化为整式运算问题。 5.几何背景下乘法公式的验证与应用，需结合图形面积的两种表示方法建立等式，体现数形结合思想。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知，则的值为(　　)． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 2．如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】科学记数法表示数的形式为，其中，为整数． 【详解】解：根据科学记数法的要求，． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算法则和完全平方公式，根据相关法则逐一判断选项的计算正误即可． 【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4．若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 是完全平方式， ． ． 故选：C． 5．若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用幂的乘方运算法则，通过逐步代换变形，得到底数为3的幂，对比指数即可得到的值 【详解】解：∵ ，， ∴ 将代入，可得 ， 由幂的乘方法则得 ， ∵ ，将代入得 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 二、填空题 6．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 【答案】 【分析】观察图形，拼成的长方形的两边长与两正方形边长之间的关系，求出长方形的另一边长，即可求出答案． 【详解】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据图形可得，拼成的长方形的一边长为，另一边长为， 则这个长方形的面积为：． 7．已知，这四个数中最大数和最小数的积为 _______ ． 【答案】 【分析】分别计算a、b、c、d的值，比较大小后再计算即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴最大数为，最小数为， ∴最大数和最小数的积为 ． 8．如图，有正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形甲与正方形乙．若甲、乙中阴影部分的面积分别12，30，则正方形B的面积为________． 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设正方形A的边长为，正方形B的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影的面积，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设正方形A的边长为，正方形B的边长为， 由题意得：图甲中阴影的面积为， ； 图乙中阴影的面积为， ， ， ， 正方形B的面积为， 故答案为：． 9．已知都是实数，，则的最小值是___________． 【答案】 2023 【分析】本题考查了二元二次代数式的最值求解，解题的关键是通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，利用完全平方式的非负性求解． 先对含的项进行配方，再对含的项进行配方，得到两个非负完全平方式与常数的和，当两个完全平方式同时为0时，代数式取得最小值． 【详解】解： 根据完全平方式的非负性，，，当且仅当两个完全平方式都为0时，取得最小值． 由得，将代入，解得． 此时的最小值为． 10．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式，则的值是 ________ ． 【答案】192 【分析】读懂题意并根据所给的式子寻找规律,将展开，即可求解． 【详解】解：观察发现，， ， ∴， ， ∴． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算负整数指数幂、有理数的乘方运算、零指数幂、绝对值，再计算加减运算即可； （2）先利用积的乘方、单项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 13．先化简，再求值∶，其中． 【答案】，2． 【详解】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把a的值代入计算得到答案． 【解答】解： ， 当时，原式． 14．你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： （1）_______； （2）_______； （3）_______；… （4）由此我们可以得到_______； 请你利用上面的结论，完成下面三题的计算： （5）； （6）； （7）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）1 【分析】（1）（2）（3）根据多项式乘多项式直接计算即可； （4）根据计算规律可直接得出结果； （5）（6）将原式变形，然后利用（4）中规律求解即可； （7）利用（3）可得，即，再根据指数幂的运算求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：由此我们可以得到； （5）解： ； （6） ； （7）， ， 解得， ． 15．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）用2种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由图可知：． （2）∵，， ∴． （3）由题意，得： ． （4）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $