精品解析：广东佛山市顺德区乐从第一实验学校2025-2026学年七年级第二学期期末模拟数学试卷

2026学年第二学期七年级期末模拟练习数学试卷 本试卷共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、试室号和座号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考生号”栏相应位置填涂自己的考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 人工智能的人脸识别系统，扫描一张人脸的时间约为秒，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. (a2)3=a6 B. a2•a3=a6 C. (ab)2=ab2 D. a6÷a2=a3 5. 如图，直线，直线截直线，形成，，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小丽在池塘的一侧选取点，测得，，那么，间的距离可能是（    ） A. B. C. D. 7. “明天下雨”这个事件是（ ） A. 确定事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 必然事件 8. 跳高运动员跳跃横杆，高度与时间的关系可以用图形近似的刻画的是（　　） A. B. C. D. 9. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A. 在实验开始时，漏刻水位是 B. 第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C. 第7次数据记录时，漏刻水位应为 D. 当漏刻水位为时，对应实验的时间是 10. 如图，在的正方形网格中，线段， 的端点均在格点上，则和的数量关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果，那么_________． 12. 的补角为________°． 13. 一个不透明的袋子里装有红、蓝两种颜色的球共40个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表： 摸球次数 50 100 200 500 800 1000 摸到红球的频数 11 27 50 124 201 249 摸到红球的频率 0.220 0.270 0.250 0.248 0.251 0.249 请估计袋中红球的个数是______ ． 14. 小红设计了如下的运算程序：任意写下一个三位数（三位数字互不相同），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程，则按照此程序运算2026次后得到的数是______． 15. 如图，在中，于点，延长至点 ，使，连接，若，则的面积为_________． 三、解答题：本大题共8小题，共75分． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中 张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券 张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶 瓶”．抽完奖后系统自动更新出 张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． （1）小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． （2）通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 18. 如图，已知：． （1）请你添加一个条件，使与全等，这个条件可以是_______．（只需填写一个） （2）根据你所添加的条件，说明与全等的理由． 19. 尺规作图：已知，求作： （1）的角平分线；保留作图痕迹，不写作法 （2）的中线；保留作图痕迹，不写作法 （3）的高线保留作图痕迹，不写作法 20. 【问题产生】小明在学习平方差公式后，突发奇想：比任意一个偶数大5的数与这个偶数的平方差能被5整除吗？ 【特例尝试】（1）的结果是5的几倍？ 【证明结论】（2）设这个偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除； 【拓展思考】（3）比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差能被10整除吗？若能，请说明理由；若不能，请求出余数． 21. 小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 （2）小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； （3）点A的实际意义是什么？ （4）如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 22. 综合与实践-万花筒里的数学 【发现问题】如图1，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜的背面用胶带粘贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，发现观察到的图形数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律． 【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面镜成轴对称 【数学探究】 探究一：如图2，正方形P放在“镜子门”中间，当“镜子门”张角为时，正方形P关于镜子的轴对称图形是像． （1）请你画出正方形P在镜子中的像（不限作图工具）； （2）像，像会在镜子中再次轴对称成像，像关于的轴对称图形是像，像关于的轴对称图形是像请分析像与像______重合（填写“是”或“否”）． 探究二：如图3，当“镜子门”张角大小是的因数时，观察到的图形数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的． 改变张角∠AOB的大小，并记录观察到的图形数量，得到以下表格： 的度数x/度 45 60 72 90 120 观察到的图形数量y/个 8 6 ______ 4 3 （3）①在这个变化过程中，_______是自变量，______是因变量； ②补充上述表格； ③请写出观察到的图形数量y与的度数x的关系式：__________． 23. 在面对复杂数学问题时，“特殊化与转化”是重要的问题解决策略．从特殊图形出发．将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，将一般转化为特殊，有助于我们发现解决问题的思路． 【问题背景】如图1，在等边中，D、E分别为边、上任意一点，且，连接、，与相交于点O． 【特例感知】（1）当点D为中点，点E为中点时，请直接写出线段与的数量关系______，______； 【一般探究】（2）当D、E分别为边，上任意一点时，第一问的结论还成立吗？请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，在等边中，P、M分别为边、上的点，且，过点P作交于点Q，交于点G；过点M作交于点N，交于点F，则： ①_____； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第二学期七年级期末模拟练习数学试卷 本试卷共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、试室号和座号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考生号”栏相应位置填涂自己的考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出每个选项的数值，再根据有理数大小比较法则，即可找出最小的数． 【详解】解：选项A： ； 选项B：； 选项C：； 选项D：； 又∵ ， ∴ 最小的数是，即最小的数是． 2. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、B、C选项中的数学符号都不能找到一条直线，使数学符号沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的数学符号能找到一条直线，数学符号沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键． 3. 人工智能的人脸识别系统，扫描一张人脸的时间约为秒，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为，故B正确． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（　　） A. (a2)3=a6 B. a2•a3=a6 C. (ab)2=ab2 D. a6÷a2=a3 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：依据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可． 解：A、（a2）3=a6，故A正确； B、a2•a3=a5，故B错误； C、（ab）2=a2b2，故C错误； D、a6÷a2=a4，故D错误． 故选A． 点评：本题主要考查的是幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方以及同底数幂的除法法则的应用，熟练掌握相关法则是解题的关键． 5. 如图，直线，直线截直线，形成，，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，再由邻补角的性质解答即可． 【详解】解：如图 ∵直线，， ∴， ∴． 6. 如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小丽在池塘的一侧选取点，测得，，那么，间的距离可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ， ， ，间的距离可能是． 故选：C． 7. “明天下雨”这个事件是（ ） A. 确定事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 必然事件 【答案】C 【解析】 【详解】解：“明天下雨”这一事件可能发生，也可能不发生，是随机事件． 8. 跳高运动员跳跃横杆，高度与时间的关系可以用图形近似的刻画的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据跳高运动员跳跃横杆时，开始要向上运动的，到最大高度后，会下落，高度就会降低，来求解． 【详解】解：因为运动员跳跃横杆时高度在上升到最大高度，然后会下落，高度就会降低，与C符合． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是分析每种情形下函数值与自变量的变化关系． 9. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A. 在实验开始时，漏刻水位是 B. 第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C. 第7次数据记录时，漏刻水位应为 D. 当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当 时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 10. 如图，在的正方形网格中，线段， 的端点均在格点上，则和的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证出可得，再用邻补角定义求解即可．本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 在和中，， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果，那么_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，根据题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4 12. 的补角为________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据补角的定义，互为补角的两个角的和为，因此用减去已知角的度数即可得到结果． 【详解】解：的补角为． 13. 一个不透明的袋子里装有红、蓝两种颜色的球共40个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表： 摸球次数 50 100 200 500 800 1000 摸到红球的频数 11 27 50 124 201 249 摸到红球的频率 0.220 0.270 0.250 0.248 0.251 0.249 请估计袋中红球的个数是______ ． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用球的总个数乘摸到红球频率的稳定值即可． 【详解】解：随着摸球次数增大，摸到红球的频率越接近 估计袋中红球的个数是（个）， 故答案为：10． 14. 小红设计了如下的运算程序：任意写下一个三位数（三位数字互不相同），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程，则按照此程序运算2026次后得到的数是______． 【答案】495 【解析】 【分析】任选三个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，用所得的结果的三位数重复上述的过程，即可发现规律． 【详解】解：若取数字6，5，3， 第1次运算：， 第2次运算：， 第3次运算：， 第4次运算：， 第5次运算：， …， 可以发现，从第4次运算开始，结果恒为495， ∴按照此程序运算2026次后得到的数是：495． 15. 如图，在中，于点，延长至点 ，使，连接，若，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积计算，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据题意得出，根据可得的面积为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共75分． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，掌握乘法公式是解题的关键． 先根据整式乘法公式和除法法则化简，再把和的值代入计算即可． 【详解】 当时， 原式． 17. 某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中 张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券 张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶 瓶”．抽完奖后系统自动更新出 张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． （1）小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． （2）通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 【答案】（1） （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查概率公式，应用与设计作图， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）用扇形的个数乘对应的概率求出扇形的个数，从而得出答案； 解题的关键是掌握概率公式∶（表示事件发生的概率，是事件发生的情况数，是总情况数 ）． 【小问1详解】 解：∵共有 张刮刮卡，且每张刮刮卡被抽取的可能性相同， ∴总情况数 ， 又∵ “①”是其中 张刮刮卡，即抽中“①”的情况数， ∴抽中“①”的概率． 故答案为：； 【小问2详解】 ∵转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形（设总份数为份，取、 、 的最小公倍数)， 又∵①的概率是，则①对应的份数：份 ； ②的概率是，则②对应的份数：份； ③的概率是；则③对应的份数：份； ∴④的概率：， 则④对应的份数也是 份（与③概率相同，份数相同 ）， 分配扇形内容如下： 按照计算出的份数，在转盘中标记：①占份，②占 份，③占 份，④占 份， 如图： 18. 如图，已知：． （1）请你添加一个条件，使与全等，这个条件可以是_______．（只需填写一个） （2）根据你所添加的条件，说明与全等的理由． 【答案】（1）（或或）；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）答案不唯一，可以添加条件：AB=EC； （2）根据ASA 即可证明△ABD≌△CEB． 【详解】解：（1）AB=EC（或BE=CD或AE=ED）． 故答案为AB=EC（答案不唯一）． （2）理由：∵∠B=∠C=∠AED=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠BAE=∠CED， 在△ABE和△ECD中， 在与中， ∴. 【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件． 19. 尺规作图：已知，求作： （1）的角平分线；保留作图痕迹，不写作法 （2）的中线；保留作图痕迹，不写作法 （3）的高线保留作图痕迹，不写作法 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）作线段的垂直平分线，交于点E，连接即可． （3）结合三角形的高的定义作图即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 20. 【问题产生】小明在学习平方差公式后，突发奇想：比任意一个偶数大5的数与这个偶数的平方差能被5整除吗？ 【特例尝试】（1）的结果是5的几倍？ 【证明结论】（2）设这个偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除； 【拓展思考】（3）比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差能被10整除吗？若能，请说明理由；若不能，请求出余数． 【答案】（1）13倍；（2）见解析；（3）不能，余数为5 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算． （1）利用有理数的乘方法则及减法法则计算后再除以5即可； （2）根据题意列式为，将其计算并整理后进行判断即可； （3）设这个整数为m，根据题意列式为，然后将其除以10后进行判断即可． 【详解】解：（1） ， 即的结果是5的13倍； （2） ， ∵， ∴比大5的数与的平方差能被5整除； （3）设这个整数为m， ， ∵， ∴比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差不能被10整除，余数为5． 21. 小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 （2）小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； （3）点A的实际意义是什么？ （4）如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 【答案】（1）时间；离家距离 （2）； （3）点A的实际意义是“骑行6分钟时到A处，离家距离为米” （4）分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象、行程问题等知识点，利用函数图象获取正确信息是解题关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据图象，路程的最大值即为小亮家到学校的距离；分开始行解答； （3）根据题意可得点A的实际意义即可解答； （4）利用路程速度时间求解即可． 【小问1详解】 解：图象所表示的两个变量中，自变量是时间，因变量是离家距离． 故答案为：时间，离家距离． 【小问2详解】 解：小亮家到学校的距离是米； 本次上学途中，小亮一共骑行了：（米）． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：点A的实际意义是骑行6分钟时到达A处，离家距离为米． 【小问4详解】 解：（米/分）， （分钟）， 所以小亮以往常的速度去学校，需要分钟． 22. 综合与实践-万花筒里的数学 【发现问题】如图1，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜的背面用胶带粘贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，发现观察到的图形数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律． 【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面镜成轴对称 【数学探究】 探究一：如图2，正方形P放在“镜子门”中间，当“镜子门”张角为时，正方形P关于镜子的轴对称图形是像． （1）请你画出正方形P在镜子中的像（不限作图工具）； （2）像，像会在镜子中再次轴对称成像，像关于的轴对称图形是像，像关于的轴对称图形是像请分析像与像______重合（填写“是”或“否”）． 探究二：如图3，当“镜子门”张角大小是的因数时，观察到的图形数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的． 改变张角∠AOB的大小，并记录观察到的图形数量，得到以下表格： 的度数x/度 45 60 72 90 120 观察到的图形数量y/个 8 6 ______ 4 3 （3）①在这个变化过程中，_______是自变量，______是因变量； ②补充上述表格； ③请写出观察到的图形数量y与的度数x的关系式：__________． 【答案】（1） （2）是 （3）①的度数x；观察到的图形数量y；②5； ③ 【解析】 【分析】（1）过点P作的垂线，再在垂线上截取等距离确定即可； （2）整个图形关于的角平分线，补角的角平分线都具有对称性，这种情况下，经过两次轴对称变换后，两个像是完全重合的，求解即可； （3）①根据函数的定义，分析判断求解即可； ②用反比例函数的观点探索求解即可； ③用反比例函数的观点探索求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①解：根据函数的定义，得在这个变化过程中，的度数x是自变量；观察到的图形数量y是因变量； ②解；根据题意，当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 故当时，， ③解：根据②得解答，可得观察到的图形数量y与的度数x的关系式：． 23. 在面对复杂数学问题时，“特殊化与转化”是重要的问题解决策略．从特殊图形出发．将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，将一般转化为特殊，有助于我们发现解决问题的思路． 【问题背景】如图1，在等边中，D、E分别为边、上任意一点，且，连接、，与相交于点O． 【特例感知】（1）当点D为中点，点E为中点时，请直接写出线段与的数量关系______，______； 【一般探究】（2）当D、E分别为边，上任意一点时，第一问的结论还成立吗？请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，在等边中，P、M分别为边、上的点，且，过点P作交于点Q，交于点G；过点M作交于点N，交于点F，则： ①_____； ②求证：． 【答案】（1）；；（2）第一问的结论还成立，理由见解析；（3）①60；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，由点D为中点，点E为中点，得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）①根据平行线的性质得到即可得到结论； ②根据三角形内角和定理得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为中点，点E为中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：第一问的结论还成立，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）①解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60； ②证明：∵，， 且， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点评】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $