精品解析：吉林省长春市二道区长春五十二中赫行实验学校2025-2026学年九年级下学期6月中考模拟数学

长春市二道区长春五十二中赫行实验学校2025-2026学年 九年级下学期6月中考模拟数学 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是长春某一天的天气预报，则长春这一天的温度差为（ ） 多云 气温： A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用最高温度减最低温度即可． 【详解】解：． 2. 如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 四棱锥 【答案】A 【解析】 【分析】根据展开图的面数和形状判断几何体类型，观察图形知，侧面由3个三角形组成，符合三棱锥的特征． 【详解】解：观察图形可知， 该几何体的侧面由共用一个顶点的3个三角形组成，符合三棱锥的特征， ∴该几何体是三棱锥． 3. 如图，已知直线 ，点、点为同一平面内的点，若，垂足为，且 ，垂足为，则可以判断直线 与直线重合的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知直线  与直线  都经过点  且都垂直于直线 ，利用垂线的性质即可解答． 【详解】解：∵ ，垂足为 ， ，垂足为 ， ∴ 直线  与直线 都经过点  且与直线l 垂直， 又∵ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴直线 与直线  重合． 4. 已知一次函数（b为常数）的图象经过第四象限，则b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，利用一次项系数的符号确定直线必过的象限，再结合题目条件判断b的取值范围即可． 【详解】解：∵ 一次函数中，一次项系数 ， ∴ 该函数图象一定经过第一，第三象限． ∵ 函数图象经过第四象限，说明直线与轴的交点在轴的负半轴， 又∵ 一次函数 中，b是直线与轴交点的纵坐标， ∴ ． 5. 如图，数轴上点对应的数是0，点对应的数是1，，垂足为，且．连接，以点为圆心、长为半径画圆弧，交数轴于点（点在点的右侧），则和点对应的数最接近的整数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，运用勾股定理得到，再根据无理数的估算即可求解． 【详解】解：数轴上点对应的数是0，点对应的数是1， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心、长为半径画圆弧，交数轴于点（点在点的右侧）， ∴， ∵， ∴， ∴和点对应的数最接近的整数是． 6. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在C处操控无人机巡查，无人机从点C处飞行到点A处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得C处到A处的距离为500米，无人机从点A测得C点的俯角为，据此算出B，C之间的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用三角函数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴； 故B，C之间的距离是米； 故选D． 7. 如图，在矩形中，，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转得到，根据余弦值求角的度数得到，结合矩形的性质得到，再根据弧长公式即可求解． 【详解】解：将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴，则， ∴， ∴ ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的顶点、分别落在轴正半轴和轴正半轴上，顶点落在函数的图象上．函数的图象分别交边和边于点、，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，则点的纵坐标为，点的横坐标为，代入反比例函数中得，，结合三角形面积的计算列式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵顶点落在函数的图象上， ∴设， ∵函数的图象分别交边和边于点、， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， 在反比例函数中，当时，， 解得，，则， 当时，，则， ∴，， ∴ ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 因式分解： ________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可解答． 【详解】解 观察多项式，两项的公因式为 ， 提取公因式可得． 10. 一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及平均数的定义． 由方差的计算算式知，这组数据共有8个，且这组数据的平均数为2，再根据平均数的概念可得答案． 【详解】解：由方差的计算算式知，这组数据共有8个，且这组数据的平均数为2， ∴这组数据的和为， 故答案为：16． 11. 如图，蜂房的顶部由三个全等的平行四边形拼接而成，每个平行四边形中的两个锐角均为，则两个钝角的度数均为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形邻角互补列式求解即可． 【详解】解：∵蜂房的顶部由三个全等的平行四边形拼接而成，两个锐角均为，根据平行四边形的邻角互补， ∴， ∴两个钝角的度数均为 ． 12. 如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，则大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设含的直角三角形中所对直角边长为，则另一个直角边，， ∴，且， ∴是等边三角形，则， 同理，， 是等边三角形，， ∴， ∴大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为 ． 13. 已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小． 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14. 如图，矩形的顶点 、在上，边和交于点 ，边和相切于点 ，为的直径，连接 、 、 ， 和交于点 ，给出下面四个结论： ①点是边的中点； ②平分 ； ③； ④当时，是等边三角形； 上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质及矩形性质证明，结合为中点利用平行线分线段成比例定理判断①；由得，由平行线的性质及等量代换可判断②；利用及相似三角形对应边成比例计算判断③；利用相似三角形判定及性质证明，结合垂径定理及特殊角三角函数值判断④． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点 ， ，  四边形是矩形，  ， ∴，  ∴， 为的直径，  为的中点，  ∴ ， ∴ ， ∴ ， 为的中点，故①正确；  ∵， ∴， ∵， ∴， ， 即平分 ，故②正确； 为直径， ， ，  ，  ，  ，  ，  ∴， ，  ， ，③故错误； ， ， ，  ， ， 为直径， ， ， ， ，即， ∵是直径， ∴垂直平分， ， 在 中，， ， ， ， 是等边三角形，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 三、解答题：本题共10小题，共87分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，. 【解析】 【分析】运用整式的混合运算法则计算，再代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，． 16. 如图，小球从入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能性，且可能性相等．用画树状图法求从点落出的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图，根据树状图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从 点落出有1种，即可求解． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从 点落出有1种， ∴小球从 点落出的概率是． 17. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个．求制作1个榫需要的木材为多少千克？ 【答案】制作1个榫需要的木材为千克． 【解析】 【分析】设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克．根据“用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个”这一等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克， 根据题意得， 解得， 答：制作1个榫需要的木材为千克． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，作出线段的中点； （2）在图②中，作出的中线； （3）在图③中，作，使点是的重心． 【答案】（1）如图，点即为所求． （2）如图，即为所求． （3）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接所在矩形的另一条对角线，与的交点，即为所求； （2）连接所在矩形的另一条对角线，与的交点为的中点，连接，即为所求； （3）根据重心的性质，连接，延长至点，作射线，如（1）作出线段的中点，作射线，与射线的交点即为点，连接，，即得所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，两锐角的角平分线，相交于点O，于点F，于点G．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：如图，作与H点，     ∵，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】作与H点，首先根据三个角是直角的四边形是矩形证明出四边形是矩形，然后根据角平分线的性质得到，进而证明出四边形是正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的判定，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． 20. 为了了解九年级男生掷实心球项目的训练水平，某中学对九年级男生进行了一次模拟测试，获得了他们的成绩，并随机抽取了30名男生的成绩进行整理、描述和分析．下面是给出的部分信息： ①成绩频数分布表： 成绩（米） 频数 3 8 10 5 4 ②成绩在这组的数据是（单位：米）：9 9 9.1 9.3 9.4 9.6 9.7 9.7 9.7 9.9 ③规定：成绩不低于9.6米，记为“满分”；成绩不低于9米，记为“优秀”． 根据以上信息，回答下列问题： （1）这30名男生掷实心球成绩的中位数是________米； （2）该校九年级有男生180人，且所有男生都参加了模拟测试．估计其中满分的男生人数； （3）为了使样本数据更精确的反映总体情况，又随机抽取了其他10名男生的测试成绩．这10名男生成绩的中位数恰好为9.6米，且加入10名男生的成绩后，整体的优秀率保持不变．下列说法正确的是________（填序号） ①根据题目中所给条件，能求出原来30名男生掷实心球成绩的平均数； ②新抽取的10名男生的成绩中，有3名男生的成绩低于9米； ③这40名男生成绩的中位数的最大值为9.9米． 【答案】（1） （2） 满分的男生人数约为96人 （3）② 【解析】 【分析】（1）根据中位数的计算求解即可； （2）根据样本百分比估算总体数量即可； （3）根据平均数，中位数的计算，结合题意判定即可． 【小问1详解】 解：随机抽取了30名男生的成绩， ∴中位数是第15，16名男生成绩的平均数，即； 【小问2详解】 解：成绩不低于9.6米，记为“满分”， ∴成绩在这组的数据中，满分的有5个， ∴（人）， ∴满分的男生人数约为96人； 【小问3详解】 解：原来30名男生中，仅组给出具体数据，其余分组只有频数，没有具体成绩，无法计算总成绩， 因此不能求出平均数，①错误； 原来30名中优秀（成绩不低于9米）的人数为，优秀率为，加入10人后优秀率不变，总人数40，总优秀人数为， 因此新抽取的10人中优秀人数为，成绩低于9米的人数为，②正确； 40个数据的中位数是第20和第21个数据的平均数，原来30人中小于米的共有18人，新抽取的10人中位数为米， 因此新增中至少有5个数据小于等于米，即至少5个小于米， 因此总共有至少个数据小于米， 因此第20、21个数据都小于米，中位数一定小于米，③错误； 综上所述，正确的有②． 21. 有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知与满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求与之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积； （3）当探针与液面刚接触时，求装置内液面的高度． 【答案】（1） （2） （3）装置内液面的高度为． 【解析】 【分析】（1）根据题目给出的两组对应数值，利用待定系数法设出一次函数解析式，列方程组求解和； （2）将的值代入求得的函数解析式中，计算对应的值； （3）设圆柱底面积为S，根据（1）中所求表达式可求得S的值，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 根据题意，将和代入得， ， 解得：， 与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时， ， 答：当探针浸入液面以下的长度为时，装置内液体的体积为． 【小问3详解】 解：设圆柱底面积为S， 由，得液面每升高，体积增加，即， ∴时液面高度，浸入长度从0增加到5，液面升高， 因此探针刚接触液面时，液面高度为， 答：当探针与液面刚接触时，装置内液面的高度为． 22. 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为 ； ②△ABC面积的最大值为 ； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明． （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长，，点P在直线CD的左侧，且则线段PB长的最小值为 ． 【答案】（1）①2；② （2）见详解 （3）BP最小= 【解析】 【分析】（1）①过点C作CD⊥BC，交于D，根据同弧所对圆周角性质得出∠BDC=30°，然后利用30°直角三角形性质求出直径即可；②取BC中点E，过点E作AE⊥BC，交与A，连结OB和OC，点O在AE上，以为底时，AE为最大高；利用圆周角定理得出∠BOC=2∠BAC=60，可证△BOC为等边三角形，利用勾股定理求出弦心距，然后利用三角形面积公式计算即可； （2）延长交于F，连结FC，根据圆周角定理得出，根据是△的外角，得出即可； （3）取BC中点G，连结DG，以GD为直径作，点O为GD中点，连结OB交于P，此时BP最小，过点O作OH∥CD，交GC于H，根据G为BC中点，得出GC=BG=，在Rt△GCD中tan∠DGC=，得出优弧上点P都满足，先证△OGH∽△DGC，得出，，利用勾股定理BO=，OG=即可． 【小问1详解】 解：（1）①过点C作CD⊥BC，交于D， ∵∠BAC=30°， ∴∠BDC=30°， ∵∠DCB=90°， ∴BD为直径， ∴BD=2BC=4， ∴的半径为2； 故答案为：2； ②取BC中点E，过点E作AE⊥BC，交与A，连结OB和OC，点O在AE上，以为底时，AE为最大高； 最大， ∵∠BAC=30°， ∴∠BOC=2∠BAC=60°，BO=CO， ∴△BOC为等边三角形， ∴OB=BC=OC=2，BE=CE=1， ∴， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 设交于F， 由圆周角定理知， 是△的外角， ， ∴； 【小问3详解】 解：取BC中点G，连结DG，以GD为直径作，点O为GD中点，连结OB交于P，此时BP最小，过点O作OH∥CD，交GC于H， ∵G为BC中点， ∴GC=BG=， 在Rt△GCD中tan∠DGC=， ∴优弧上点P都满足， ∴△OGH∽△DGC， ∴，即，， ∴BH=BG+GH=， 在Rt△BOH中，BO=， 在Rt△GHO中，OG=， ∴BP最小=． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，三角形外角的性质，矩形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是运用定弦对定角构造辅助圆． 23. 如图，在中，，，，点在边上，，点在边上，过点作的垂线交射线于点，连接、． （1）求边的长 （2）当时，求的长； （3）当点在边上，且和相似时，求的长； （4）当被边分成两部分，且这两部分重新拼接后能拼成一个新三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）的长为15 （2）的长为5 （3）的长为6或 （4）的长为或或 【解析】 【分析】（1）勾股定理进行求解即可； （2）根据，求出的长，进而求出的长即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可； （4）分，和，三种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当和相似时，分两种情况， ①时，则， ∴； ∴； ②当时，则， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：当被边分成两部分，且这两部分重新拼接后能拼成一个新三角形时，设交于点，分三种情况： ①，如图，拼接时，重合，即可得到一个新的三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②，如图，拼接时，重合，即可得到一个新的三角形， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得， ∴； ③，如图，拼接时，重合，即可得到一个新的三角形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或. 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点B在抛物线上．设其横坐标为m．点C是平面直角坐标系中异于点B的一点，其坐标是，连接，当不与坐标轴垂直时，以为斜边作 ，使轴． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当点B在抛物线对称轴左侧，且是等腰直角三角形时，求m的值； （3）当的边与抛物线有公共点时，求m的取值范围； （4）当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）再结合直角三角形、等腰直角三角形的性质得到点坐标与线段关系，根据题目要求列方程或不等式求解；用到抛物线的单调性、坐标与线段长度的关系等初中知识点，逐步推导即可得到结果； （3）先求出的横坐标和纵坐标的范围，再将横坐标代入到抛物线中，根据与抛物线有交点可得，代入解不等式即可； （4）根据抛物线的解析式可知抛物线的对称轴和增减性，数形结合求出的取值范围，同时要注意不与坐标轴垂直时的的值即可． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数表达式为． 【小问2详解】 解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B横坐标为m， ∴ ， 由点在对称轴左侧，得， ∵，是 的斜边， ∴ ， 又∵轴， ∴轴，， ∵， ∴ ， ∴轴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ ，， ∴， 此时分两种情况讨论： ①， 解得， ∵， ∴ ； ②  ， 解得， ∵， ∴  由不与坐标轴垂直得，两个解均满足条件， ∴m的值为或． 【小问3详解】 解：∵是竖直线段， ∴横坐标为，纵坐标范围介于和之间， 若与抛物线有公共点，则抛物线在处的纵坐标需满足要求， ∴抛物线在处的纵坐标为， ∴， 代入整理得， ∴所有零点为，，，， 解得或， ∵不与坐标轴垂直， ∴，即， ∴m的取值范围是 或 ． 【小问4详解】 抛物线的对称轴为，当时随增大而减小，当时随增大而增大； 如图所示，当点在抛物线上时，即, 解得 如图所示，当时，抛物线在三角形内部随增大而增大， ∵不与坐标轴垂直， ∴， 解得， 当抛物线与三角形无公共部分在三角形的内部， 当时，抛物线在三角形内部也具有单调性， ∴的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市二道区长春五十二中赫行实验学校2025-2026学年 九年级下学期6月中考模拟数学 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是长春某一天的天气预报，则长春这一天的温度差为（ ） 多云 气温： A. B. C. D. 2. 如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 四棱锥 3. 如图，已知直线 ，点、点为同一平面内的点，若，垂足为，且 ，垂足为，则可以判断直线 与直线重合的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4. 已知一次函数（b为常数）的图象经过第四象限，则b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，数轴上点对应的数是0，点对应的数是1，，垂足为，且．连接，以点为圆心、长为半径画圆弧，交数轴于点（点在点的右侧），则和点对应的数最接近的整数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在C处操控无人机巡查，无人机从点C处飞行到点A处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得C处到A处的距离为500米，无人机从点A测得C点的俯角为，据此算出B，C之间的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在矩形中，，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的顶点、分别落在轴正半轴和轴正半轴上，顶点落在函数的图象上．函数的图象分别交边和边于点、，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 因式分解： ________． 10. 一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于______． 11. 如图，蜂房的顶部由三个全等的平行四边形拼接而成，每个平行四边形中的两个锐角均为，则两个钝角的度数均为________． 12. 如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，则大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为________． 13. 已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 14. 如图，矩形的顶点 、在上，边和交于点 ，边和相切于点 ，为的直径，连接 、 、 ， 和交于点 ，给出下面四个结论： ①点是边的中点； ②平分 ； ③； ④当时，是等边三角形； 上述结论中，正确结论的序号是________． 三、解答题：本题共10小题，共87分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，小球从入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能性，且可能性相等．用画树状图法求从点落出的概率． 17. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个．求制作1个榫需要的木材为多少千克？ 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，作出线段的中点； （2）在图②中，作出的中线； （3）在图③中，作，使点是的重心． 19. 如图，在中，两锐角的角平分线，相交于点O，于点F，于点G．求证：四边形是正方形． 20. 为了了解九年级男生掷实心球项目的训练水平，某中学对九年级男生进行了一次模拟测试，获得了他们的成绩，并随机抽取了30名男生的成绩进行整理、描述和分析．下面是给出的部分信息： ①成绩频数分布表： 成绩（米） 频数 3 8 10 5 4 ②成绩在这组的数据是（单位：米）：9 9 9.1 9.3 9.4 9.6 9.7 9.7 9.7 9.9 ③规定：成绩不低于9.6米，记为“满分”；成绩不低于9米，记为“优秀”． 根据以上信息，回答下列问题： （1）这30名男生掷实心球成绩的中位数是________米； （2）该校九年级有男生180人，且所有男生都参加了模拟测试．估计其中满分的男生人数； （3）为了使样本数据更精确的反映总体情况，又随机抽取了其他10名男生的测试成绩．这10名男生成绩的中位数恰好为9.6米，且加入10名男生的成绩后，整体的优秀率保持不变．下列说法正确的是________（填序号） ①根据题目中所给条件，能求出原来30名男生掷实心球成绩的平均数； ②新抽取的10名男生的成绩中，有3名男生的成绩低于9米； ③这40名男生成绩的中位数的最大值为9.9米． 21. 有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知与满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求与之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积； （3）当探针与液面刚接触时，求装置内液面的高度． 22. 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为 ； ②△ABC面积的最大值为 ； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明． （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长，，点P在直线CD的左侧，且则线段PB长的最小值为 ． 23. 如图，在中，，，，点在边上，，点在边上，过点作的垂线交射线于点，连接、． （1）求边的长 （2）当时，求的长； （3）当点在边上，且和相似时，求的长； （4）当被边分成两部分，且这两部分重新拼接后能拼成一个新三角形时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点B在抛物线上．设其横坐标为m．点C是平面直角坐标系中异于点B的一点，其坐标是，连接，当不与坐标轴垂直时，以为斜边作 ，使轴． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当点B在抛物线对称轴左侧，且是等腰直角三角形时，求m的值； （3）当的边与抛物线有公共点时，求m的取值范围； （4）当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $