1.3 空间向量及其坐标表示讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的坐标表示这一核心知识点，系统梳理空间向量的坐标运算（加法、减法、数乘、数量积）及平行、垂直、模、夹角的坐标表示。通过思考引入与表格对比，搭建从平面向量到空间向量的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 该资料以题型分层设计为亮点，例题结合正方体、正四面体等具体几何体，通过“反思与感悟”提炼方法，培养学生的空间观念（数学眼光）和推理能力（数学思维）。针对训练与课后作业覆盖多种题型，助力学生用数学语言表达空间关系，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固提升、查漏补缺。

1.3 空间向量及其坐标表示 【知识梳理】 一、空间向量的坐标运算 思考　设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？ 答案　m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2. （1）空间向量，，其坐标形式为，． 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 二、空间向量的平行、垂直及模、夹角 空间向量，，其坐标形式为，． 向量运算 向量表示 坐标表示 平行 （，） 其中， 垂直 （，） 模 |a|＝ 夹角公式 （，） 【题型精讲】 题型一、空间直角坐标系与空间向量的坐标表示 例1.（25-26高二上·全国·单元测试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】由题意，得到，，再利用向量线性关系求解. 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 反思与感悟　建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜． 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标． 【针对训练】 1. （多选）在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标表示一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 2．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，正四面体的棱长为1，是的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为________，的坐标为________．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量的正交分解和坐标表示求解. 【详解】设为所建空间直角坐标系的一个单位正交基底，由题意可知， , 所以， 所以， 所以，． 故答案为: ;. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．为与的交点，点为空间中一点，且满足，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】直接由，所以，化成方程组且求解即可. 【详解】由题意知：，设点， 则，，，， 因为，，所以， 且，则 解得：， 所以点． 故选：C. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，为的中点，点在平面内.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量基底概念及辨析 【分析】分别求出得，，再结合点共面，所以，从而可求解. 【详解】由题意得，，则，，， 因为点共面， 所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 题型二、空间向量平行、垂直的坐标表示 例2．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知空间中三点共线，则的值为____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据题意，求得，由，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】由空间三点，可得， 因为三点共线，则存在实数，使得， 可得，解得，所以. 故答案为：. 例3．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知，，如果，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直的坐标表示直接计算可得. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：A 例4．（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则 C．若向量，则在上的投影向量是 D．若向量，则与共线的单位向量是 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】求投影向量、空间向量模长的坐标表示、空间向量共线的判定、零向量与单位向量 【分析】根据向量共线定理、模的计算公式、投影向量、单位向量的定义逐项判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以，A正确； 对于B：因为，所以，B正确； 对于C：因为，所以， ，所以在上的投影向量是，C正确； 对于D：因为，所以， 所以与共线的单位向量是，D错误. 例5．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点为坐标原点，向量，计算： (1)求向量同向的单位向量； (2)若，求的值； 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】空间向量的有关概念、null、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据单位向量定义求向量同向的单位向量； （2）应用向量的线性运算和垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】（1）因为，， 所以，与同向的单位向量为. （2）因为，， 又， 所以，即. 反思与感悟　向量平行与垂直问题的三种题型 题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断． 题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用， 解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程； ②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 题型3：利用向量坐标处理空间中的平行与垂直：（在空间向量应用中的线面关系运用） ①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； ②向量关系代数化：即写出向量的坐标； ③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解． 【针对训练】 1．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知两个向量，，且，则的值为（   ） A．1 B． C．6 D．4 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据向量平行的有关结论列式求. 【详解】由. 故选：C 2．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 3．多选（24-25高二上·广东深圳·期末）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B．已知两个向量，，且，则 C．若，且，，则 D．，，则在上的投影向量为 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】求投影向量、空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，，且， 因为对空间中任意一点，有，且， 故、、、四点不共面，A错； 对于B选项，已知两个向量，，且， 设，即，则，解得，故，B对； 对于C选项，若，且，，则，C对； 对于D选项，若，，则在上的投影向量为 ，D错. 故选：BC. 题型三、空间向量的夹角与长度的计算 例6．（25-26高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，， 因为，可得，解得， 所以，则. 故选：D. 例7．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量、空间向量的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 例8．（25-26高二上·广东深圳·期中）向量，则下列向量中与的夹角为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量夹角公式逐项验证即可求解. 【详解】对于A，向量，； 对于B，向量，，则； 对于C，向量，，则； 对于D，向量，. 故选：B. 例9．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，设． (1)求在方向上的投影向量（用坐标表示）； (2)求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用 【分析】（1）利用向量的坐标运算以及投影向量的定义，即可求得答案； （2）利用向量的坐标运算以及夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）由， 得， 故， 则在方向上的投影向量为； （2）， 故，， 故. 【针对训练】 1．（24-25高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】利用向量垂直求出，再求出的坐标后即可求其模. 【详解】由，得，解得， 所以，则， 所以. 故选：D. 2．多选（25-26高二上·河南周口·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】根据向量的坐标运算即可求解AB，根据夹角公式以及投影向量的计算公式即可求解CD. 【详解】对A， 因为，所以A错误； 对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为， 所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确； 对C，又因为， 所以与夹角的余弦值为，所以C错误； 对D在上投影向量为：，所以选项D正确． 故选：BD． 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.73 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东潮州·阶段检测）已知非零向量和互相垂直，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用代入坐标计算即得． 【详解】由可得， 解得. 故选：C． 2．（24-25高二上·广东深圳·期中）设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量垂直、平行的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 由可知，，解得，所以. 故选：B. 3．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】求空间向量的数量积、求投影向量 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 4．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据关于轴对称性的点的坐标特点是，横，竖坐标互为相反数，纵坐标不变即可求解． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 故选：A． 5．（25-26高二上·山东临沂·期中）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．若，则 B．向量是的一个单位向量 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、求投影向量 【分析】利用空间向量的模的坐标运算来判断A，空间单位向量的坐标运算来判断B，利用空间向量夹角为钝角的充要条件来判断C，利用投影向量计算来判断D. 【详解】由，，可得，故A错误； 由的单位向量是，故B错误； 由为钝角，则， 又当， 所以为钝角，则且，故C错误； 由在上的投影向量为，故D正确； 故选：D. 二、多选题 6．如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、求空间图形上的点的坐标 【分析】求出向量坐标，逐项判断可得答案. 【详解】在空间直角坐标系中，，，， ，， 对于A，因为，，所以，故A不正确； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D不正确. 故选：BC. 7. 如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】求出等边三角形的高的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可判断． 【详解】在等边中，，所以，则，，则. 故选：ABC 8．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算，对每一选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误． 故选：ABC 三、填空题 9．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）设，，，，且，，____ ． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】空间向量模长的坐标表示、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】先求出的值，再写出的坐标，进行计算即可. 【详解】因为⊥，所以， 解得，可得， 又因为，且， 所以，解得，，则， 又因为，所以， 由模长公式得． 10．（25-26高二上·四川成都·期末）已知向量，若，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】先由空间两向量平行坐标表示得出，再利用模的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 11．（25-26高二下·上海·期中）向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【难度】0.78 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】由投影向量定义求在方向上的投影向量即可. 【详解】因为向量、向量，所以， ，由投影向量定义， 在方向上的投影向量. 四、解答题 12．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】（1）由，得； （2）由（1）得，而， 因此，所以； （3）由（1）知，， 由，得 ，所以. 13．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.75 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，设点P的坐标为，根据求出点坐标，即可利用向量的模求出的长度； （2）设Q的坐标为，根据向量垂直即可求出Q的坐标，进而利用可求出. 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 14．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量、共面，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）由可求出的值，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值； （2）设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解得实数的值. 【详解】（1）因为，所以，解得，即. 由，且， 得，解得. （2）因为向量与向量、共面，所以设， 因此， 即，解得，故的值为. 15．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其坐标表示 【知识梳理】 一、空间向量的坐标运算 思考　设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？ （1）空间向量，，其坐标形式为，． 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 二、空间向量的平行、垂直及模、夹角 空间向量，，其坐标形式为，． 向量运算 向量表示 坐标表示 平行 （，） 其中， 垂直 （，） 模 |a|＝ 夹角公式 （，） 【题型精讲】 题型一、空间直角坐标系与空间向量的坐标表示 例1.（25-26高二上·全国·单元测试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 反思与感悟　建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜． 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标． 【针对训练】 1. （多选）在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，正四面体的棱长为1，是的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为________，的坐标为________．    3．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．为与的交点，点为空间中一点，且满足，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，为的中点，点在平面内.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为______. 题型二、空间向量平行、垂直的坐标表示 例2．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知空间中三点共线，则的值为____________. 例3．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知，，如果，则（   ） A．5 B． C． D． 例4．（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则 C．若向量，则在上的投影向量是 D．若向量，则与共线的单位向量是 例5．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点为坐标原点，向量，计算： (1)求向量同向的单位向量； (2)若，求的值； 反思与感悟　向量平行与垂直问题的三种题型 题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断． 题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用， 解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程； ②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 题型3：利用向量坐标处理空间中的平行与垂直：（在空间向量应用中的线面关系运用） ①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； ②向量关系代数化：即写出向量的坐标； ③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解． 【针对训练】 1．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知两个向量，，且，则的值为（   ） A．1 B． C．6 D．4 2．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．多选（24-25高二上·广东深圳·期末）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B．已知两个向量，，且，则 C．若，且，，则 D．，，则在上的投影向量为 题型三、空间向量的夹角与长度的计算 例6．（25-26高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（    ） A． B． C．4 D．3 例7．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 例8．（25-26高二上·广东深圳·期中）向量，则下列向量中与的夹角为的是（    ） A． B． C． D． 例9．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，设． (1)求在方向上的投影向量（用坐标表示）； (2)求． 【针对训练】 1．（24-25高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（   ） A． B． C． D． 2．多选（25-26高二上·河南周口·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东潮州·阶段检测）已知非零向量和互相垂直，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·期中）设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．2 D．8 3．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东临沂·期中）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．若，则 B．向量是的一个单位向量 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 二、多选题 6．如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 7. 如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）设，，，，且，，____ ． 10．（25-26高二上·四川成都·期末）已知向量，若，则______． 11．（25-26高二下·上海·期中）向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 四、解答题 12．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 13．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 14．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量、共面，求实数的值. 15．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $