第一章 阶段提升（二）空间向量的应用（范围：1.4）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

阶段提升（二） 空间向量的应用（范围：1.4） 题型一 位置关系 1．如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面垂直 D. 异面不垂直 【答案】C 【解析】选.以 为原点，，，的方向分别为 轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体 的棱长为2， 则，，，，所以，， 所以，所以，又 平面， 平面， 平面，且，所以直线 与 异面垂直. 2．[（2025·天津市河东区期中）]如图，在长方体中，，，，分别是棱，，的中点.若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】以 为原点，,,的方向分别为 轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为点 是平面 内的动点， 所以设， 设平面 的法向量为， 又,,， 所以有 即 取,则, 因为 平面， 所以,整理得，即， 于是， 当，时，线段 长度有最小值. 3．[（2025·泉州期末）]如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱,，是的中点. （1） 求证：平面； （2） 求证： 平面； （3） 侧棱上是否存在一点，使得 平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1） 证明：如图，连接 交 于点，连接，由正方形 可得,. 又 是 的中点，则， 又 平面， 平面，故 平面. （2） 证明：因为,,则,,故有,,又,, 平面，故 平面. （3） 解：由题意和（2）的结论，以点 为原点，分别以,,所在直线为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,， 因为 是 的中点，则,,， 设， 解得， 则得,,,, 设平面 的法向量为， 则 取,则. 由 平面 可得， 即，解得，即存在,,，满足 平面，此时，. 利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系; （2）建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素; （3）通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系; （4）根据运算结果解释相关问题. 注意 运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外. 题型二 空间距离 ［例1］ [（2025·宿州期中）]如图甲，在边长为4的等边三角形中，是边上的高，，分别是边和的中点，现将沿翻折使得平面 平面，如图乙. （1） 求证：平面； （2） 若为线段上一点，求点到平面的距离. 【答案】（1） 证明：在 中，，分别是边 和 的中点，所以，因为 平面， 平面,所以 平面. （2） 【解】由（1）知，平面，所以点 到平面 的距离即为点 到平面 的距离.因为平面 平面，平面 平面， 平面，，所以 平面，又，可得，，两两垂直.以 为原点，,,的方向分别为 轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,，所以,,. 设平面 的法向量为， 则 即 令，则. 所以点 到平面 的距离为. 所以点 到平面 的距离为. 运用空间向量坐标运算求距离的步骤：（1）建立空间直角坐标系；（2）写出各点与相关向量的坐标；（3）求出直线的方向向量或平面的法向量；（4）代入相应公式求解. ［跟踪训练1］．如图1，在边长为4的菱形中，,分别是边，的中点， ,如图2，将菱形沿对角线折起. （1） 证明：； （2） 当点折叠到使二面角为直二面角时，求点到直线的距离. 【答案】 （1） 证明：如图，取 的中点，连接,. 根据折叠可得,，所以,， 又,, 平面，所以 平面，又 平面，所以，又,分别是,的中点，所以，所以. （2） 解：因为二面角 为直二面角，所以平面 平面，又因为平面 平面,， 平面，所以 平面，又 平面，所以，结合（1）知,,两两垂直， 故以 为坐标原点,,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，,, 所以,, 则 方向上的单位向量为，，, 因此点 到直线 的距离为 . 题型三 空间角 ［例2］ [（2025·泉州期中）]如图，在圆锥中，高，底面圆的直径，是的中点，点在圆上，平面 平面. （1） 证明：； （2） 若是圆上的动点，求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】 （1） 证明：在平面 内过 作，而 平面， 以 为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图， 则,,0,，,0,,,0,,,，0，， 设， 设平面 的法向量， 则 令，得， 而平面 的法向量为， 因为平面 平面，则，解得， 于是，而，则，所以. （2） 【解】设点，显然,,，,， 设平面 的法向量， 则 令，得， 由（1）知，平面 的一个法向量， 设平面 与平面 的夹角为 ， 于是,,，所以平面 与平面 夹角余弦值的取值范围为,. 利用空间向量解答立体几何中空间角的问题的一般步骤：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量、平面的法向量；（3）将空间位置关系转化为向量关系；（4）根据定理、结论求出相应的角. ［跟踪训练2］．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，,，平面 平面. （1） 证明：； （2） 点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】 （1） 证明：取 的中点，连接,.因为 为等边三角形，所以.因为 为等腰直角三角形，且，所以. 因为, 平面,，所以 平面，又 平面,所以. （2） 解：因为平面 平面，平面 平面, 平面,，所以 平面. 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,，设，则. 设平面 的法向量为， 则 即 令， 则,，所以. 设直线 与平面 所成的角为 ， 则， , 当且仅当 时，等号成立. 故直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $