1.4 三角形的中位线定理 课件 2025-2026学年湘教版数学八年级下册

该初中数学课件围绕三角形中位线定理展开，通过“分三角形纸片”“分蛋糕”等情景导入，引导学生动手操作，从具体问题抽象出中位线概念，逐步过渡到定理的探究证明及与中线的区别，构建完整知识支架。 其亮点在于以生活情景培养数学眼光，通过旋转构造辅助线发展数学思维推理能力，对比表格和实例练习强化数学语言表达。采用探究式教学，学生能主动参与，教师可提升教学效率，帮助学生理解定理应用。

1.4 三角形的中位线定理 情景导入 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？拿出一张三角形纸片试一试. 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，怎么设计合理的解决方案呢？ 将三角形蛋糕记为△ABC，取△ABC三边的中点D、E、F，连接DE、EF、FD，△ABC被分成了四个小三角形.这四个小三角形有什么关系？ 四个全等的三角形 A B C D E F 怎么证明？ 中位线的概念 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 如图，D，E，F 分别为△ABC 的边AB，BC，AC 的中点，连接 DE，DF，EF. 三角形的中线与中位线有什么区别？ △ABC有三条中位线，分别是DE，DF，EF. A B C D E F 知识模块一　三角形的中位线定理 自学互研 如图，DE 是 △ABC 的中位线. 将△ADE以点E为中心，顺时针旋转180°，使点A和点C重合，得到△CFE. 四边形DBCF是平行四边形吗？此时DE与BC具有怎样的位置关系和数量关系？ 如何证明？ A B C D E F 猜测 DE // BC DE= BC A B C D E 如图， DE是△ABC的中位线. 因为AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=EF， 于是AD=CF ，∠A=∠ ECF， 因此四边形 DBCF是平行四边形. 所以△ADE≌△CFE（边角边）， F 延长DE至F，使EF=DE. 连接CF. 从而AB // FC . 又BD=AD=CF， 证明 DE // BC DE= BC 所以 DE // BC， DE= DF= BC. 知1－讲 感悟新知 知识点 三角形的中位线 1 1. 三角形的中位线及其定理 三角形的 中位线 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 符号语言 如图，因为AD=BD，AE=CE，所以DE 是△ ABC 的中位线 感悟新知 知1－讲 三角形的 中位线定 理 内容 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 符号语言 如图，因为DE 为△ ABC 的中位线，所以DE∥BC，且DE=BC 应用 (1)位置关系：证明两直线平行； (2) 数量关系：证明线段的相等或倍分关系 问题1：一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ A B C D E 有三条. 如图，△ABC 的中位线是 DE，DF，EF. · · · F 问题2：三角形的中位线与中线有什么异同点？ A B C D E · · A B C D · 中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 中位线 中线 都是与中点有关的线段. 相同点： 不同点： 三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. A B C D E F DE∥BC，且 练 练 一 1.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为 ( ) A．50°　　　　　　　　　　　 B．60° C．70° D．80° C 感悟新知 2. 三角形的中位线与三角形的中线的区别： 知1－讲 三角形的中位线 三角形的中线 图示 符号 语言 在△ ABC 中，因为D，E，F 分别是BC，AC，AB 边的中点，所以DE，EF，FD 是△ ABC 的中位线(如图①)，AD，BE，CF 是△ ABC 的中线(如图②) 感悟新知 知1－讲 区别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段 S△AEF=S△BDF=S△CDE= S△DEF= S△ABC S△ABD=S△ACD=S△CBF=S△CAF= S△BAE= S△BCE= S△ABC C△AEF=C△BDF=C△CDE= C△DEF=C△ABC C△ABD-C△ACD=AB-AC， C△CBF-C△CAF=BC-AC， C△BAE-C△BCE=AB-BC (AB>BC>AC) 如图，在△ABC 中，DE 是 △ABC 的中位线. 求证： DE∥BC， DE = BC. A B C D E 如图， DE是△ABC的中位线. 因为AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=EF， 于是AD=CF ，∠A=∠ ECF， 因此四边形 DBCF是平行四边形. 所以△ADE≌△CFE（边角边）， F 延长DE至F，使EF=DE. 连接CF. 从而AB // FC . 又BD=AD=CF， 所以 DE // BC， DE= DF= BC. 2．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°， AB＝20，AC＝16，点E，F分别为AC和AB的中点，则线段EF的长为 ( ) A．6 B．8 C．10 D．12 A A E F C B 3．如图，A，B是池塘两端，设计一方法测量A，B的距离，取点C，连接AC，BC，再取它们的中点D，E，测得DE＝15 m，则AB的长为 ( ) A．7.5 m　　　 B．15 m　　　 C．22.5 m　　　 D．30 m D 知1－练 感悟新知 如图1.4-1，在Rt △ABC中，∠C=90 °，∠ A=30 °，AC= ，点D，E分别是边AC，BC的中点，连接DE.求： (1)∠CED的度数；( 2)线段DE的长. 例1 解题秘方：直接利用三角形的中位线定理进行计算. 知1－练 感悟新知 解：(1)因为点D，E分别为AC，BC的中点， 所以DE是△ABC的中位线. 所以DE∥AB， 所以∠CDE= ∠A=30°. 因为∠C=90°，所以∠CED=90°- ∠CDE=60°. 知1－练 感悟新知 (2)在Rt △ABC中，因为∠C=90°，∠A=30°， 所以AB=2BC，BC2+AC2=AB2. 因为AC= ，所以BC2+3=4BC2，所以BC=1，所以AB=2. 由(1)知DE是△ABC的中位线，所以DE= AB=1. 例2 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，点E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，求四边形EFGH的周长. 解：在Rt△BDC 中，∵ BD=4，CD=3， 由勾股定理得 BC=5. ∴ FG = BC = 2.5. 在△ADC中，H，G 分别是 AC，DC 的中点， ∴GH = AD = 3. 同理可得EF = AD = 3，EH = BC = 2.5， ∴四边形 EFGH 的周长为 11. 在三角形内，与三角形两边相交，平行于第三边且等于第三边一半的线段是三角形的中位线吗？与同学交流. 议一议 E A B C D DE∥BC，DE= BC DE是△ABC的中位线 性质 ¿ 如图，结合中位线的性质定理对该题意分析如下： 如图，DE，DF，EF是△ABC的三条中位线. （1）三条中位线把△ABC分成了几个三角形？这些小三角形之间有什么关系？ 四个，△ADE、△BDF、△DEF、△CEF 全等 □ ADFE、 □ BDEF 、 □ DECF A B C D E F （2）以A，B，C，D，E，F为顶点，你能找出多少个平行四边形？并说明理由. 知识模块二　三角形的中位线与平行四边形 例 如图，顺次连接四边形 ABCD 各边中点 E，F，G，H，得到的四边形 EFGH 是平行四边形吗？为什么？ 解 连接AC. 因为EF是△ABC的中位线， 又因为HG 是△ DAC 的中位线， 从而 EF∥ HG ，且 EF= HG. 因此四边形 EFGH 是平行四边形. 连接 BD 可以吗？ 所以EF∥AC，且 所以 HG ∥AC，且 知1－练 感悟新知 如图1.4-2，在△ABC中，BC >AC，点D在BC上，且DC=AC， ∠ACB的平分线CE交AD于点E，点F是AB的中点，连接EF. 求证： EF∥BC. 例2 解题秘方：紧扣“三角形中位线定理”的位置关系，将证明线段的位置关系转化为证明三角形的中位线问题来解. 知1－练 感悟新知 证明：因为CE平分∠ACB，DC=AC， 所以CE是△ACD的中线. 所以点E是AD的中点. 因为点F是AB的中点，所以EF是△ABD的中位线. 所以EF∥BD，即EF∥BC. 在三角形内，与三角形两边相交，平行于第三边且等于第三边一半的线段是三角形的中位线吗？与同学交流你的理由. 练 练 一 1.如图，点D，E，F分别是AC，AB，BC边的中点，则图中的平行四边形一共有 ( ) A．1个　　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 C 知1－练 感悟新知 如图1.4-3，已知E 为ABCD 中DC边延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC 交BD 于点O，连接OF. 求证：AB=2OF. 例3 思路导引： 知1－练 感悟新知 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB=CD. 又DC=CE，所以AB=CE， 由AB∥CD，得∠BAF= ∠E，∠ABF= ∠ECF， 所以△ABF≌△ECF，所以BF=CF. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AO=CO， 所以OF是△ABC的中位线，所以AB=2OF. 三角形的中位线定理 定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 性质 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. $