1.5矩形 课件 2025-2026学年湘教版数学八年级下册

1.5 矩 形 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 矩形的定义 矩形的性质 矩形的判定 知1－讲 感悟新知 知识点 矩形的定义 1 定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也称为长方形 图示 数学语言 如图所示，因为四边形ABCD 是平 行四边形，且∠ ABC=90°，所以 ▱ABCD 是矩形 感悟新知 注意 由矩形的定义知：矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. 矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法. 知1－讲 感悟新知 知1－讲 特别提醒 矩形必须具备两个条件： 1. 它是一个平行四边形； 2. 它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. 知1－练 感悟新知 如图1.5-1，在ABCD中，点E，F分别为BC边上的点，且BE=CF，AF=DE，求证： ABCD是矩形. 例1 知1－练 感悟新知 解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明. 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB=CD，∠B+ ∠ C = 180°. 因为BE=CF，所以BE+EF=CF+EF，即BF=CE. 又AF=DE，所以△ABF≌△DCE(边边边). 所以∠B= ∠C=90°. 所以ABCD是矩形. 知1－练 感悟新知 方法点拨 由定义来判定矩形，要在平行四边形的前提下，判定有一个角是90°，若在四边形的前提下，则需先证平行四边形，再判定有一个角是90°，矩形的定义既是矩形的性质也是矩形的判定. 感悟新知 知2－讲 知识点 矩形的性质 2 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质. 此外，矩形还具有一些独特的性质，如下表所示. 感悟新知 知2－讲 性质 符号语言 图示 角 性质定理1：矩形的四个角都是直角 因为四边形ABCD 是矩形，所以∠ DAB= ∠ ABC=∠ BCD= ∠ ADC=90° 对角线 性质定理2：矩形的对角线相等 因为四边形ABCD 是矩形，所以AC=BD，可得AO=CO=BO=DO 感悟新知 知2－讲 性质 符号语言 图示 对 称 性 轴对称图形 两条对称轴：过每一组对边中点的直线 直线m，n 是矩形ABCD 的两条对称轴 中心对称图形 对称中心：对角线的交点 AC 与BD 的交点O 是矩形ABCD 的对称中心 知2－讲 感悟新知 方法点拨 1. 矩形的任意一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形. 2. 矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，且相对的两个等腰三角形全等. 知2－练 感悟新知 [教材P27 例1]如图1.5-2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC=120°，AB=6. 求： 例2 解题秘方：当矩形两条对角线的一个夹角是60° 或120° 时，矩形中就会出现等边三角形和含30° 角的直角三角形，利用性质计算即可. 知2－练 感悟新知 (1)对角线的长； 解：因为四边形ABCD是矩形， 所以AC=BD，OA=OC=OB=OD. 因为∠BOC=120°，所以∠AOB=60°， 所以△AOB是等边三角形. 所以OA=AB=6. 所以BD=AC=2OA=2×6=12. 知2－练 感悟新知 (2)BC的长； 解：因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°. 所以BC= = =6 . 知2－练 感悟新知 (3)矩形ABCD的面积. 解：S矩形ABCD=AB·BC=6×6 =36 . 感悟新知 方法点拨 矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形；另外，矩形的对角线与两邻边构成四个直角三角形，矩形中的有关计算通常需要用到等腰三角形的性质或直角三角形的有关知识来解决. 知2－练 知2－练 感悟新知 如图1.5 -3，直线EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，若AB=3，BC=4，则S阴影=________. 例3 解题秘方：紧扣矩形的中心对称性，将阴影部分转化到一起计算. 知2－练 感悟新知 解：因为四边形ABCD是矩形， 所以OB=OD，AB∥CD，所以∠EBO= ∠FDO. 又∠EOB=∠FOD，所以△OEB≌△OFD. 所以S阴影=S△ABO= S矩形ABCD= ×3×4=3. 答案：3 感悟新知 方法点拨 矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，根据对称性将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积求解．体现了转化思想. 知2－练 知2－练 感悟新知 如图1.5 -4，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=CF，连接OE，OF.求证：OE=OF. 例4 思路导引： 知2－练 感悟新知 证明：因为四边形ABCD为矩形， 所以∠ADC= ∠BCD=90°，AC=BD，OD= BD，OC= AC. 所以OD=OC.所以∠ODC= ∠OCD. 所以∠ADC- ∠ODC= ∠BCD- ∠OCD，即∠EDO= ∠FCO. 又因为DE=CF，所以△ODE≌△OCF(边角边). 所以OE=OF. 感悟新知 另解 因为四边形ABCD为矩形，所以∠DAB=∠ABC=90°. AD=BC,AC=BD,OA= AC,BO= BD.所以OA=OB. 所以∠OAB=∠OBA.所以∠DAB-∠OAB= ∠ABC-∠OBA,即∠EAO=∠FBO. 因为AD=BC,DE=CF，所以AE=BF. 所以△OAE≌△OBF(边角边).所以OE=OF. 知2－练 感悟新知 知3－讲 知识点 矩形的判定 3 判定方法 数学语言 图示 角 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 在▱ABCD 中， 因为∠ ABC=90°，所以▱ABCD 是矩形 判定定理1：三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD 中， 因为∠ A= ∠ B= ∠ C=90°，所以四边形ABCD 是矩形 感悟新知 知3－讲 判定方法 数学语言 图示 对角线 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 在▱ABCD 中， 因为AC=BD， 所以▱ABCD 是矩形 感悟新知 知3－讲 注意 判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择判定方法. 感悟新知 知3－讲 特别解读 矩形判定的常见思路： 1. 从角的角度证明. (1) 四边形矩形； (2) 平行四边形矩形. 2. 从对角线的角度证明. (1) 平行四边形矩形； (2) 四边形 矩形. 平分且相等 感悟新知 知3－练 如图1.5-5，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形． 例5 思路导引： 感悟新知 知3－练 证明：在△ABC中，因为AB=AC，AD是△ABC的中线， 所以AD⊥BC，∠BAD= ∠CAD.所以∠ADC=90°. 因为AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， 所以∠MAN= ∠CAN.所以易得∠DAE=90°. 因为CE∥AD，所以∠AEC=90°． 所以四边形ADCE是矩形． 感悟新知 解法提醒 已知条件中没有直接给出直角，需要利用等腰三角形“三线合一”的性质、角的和差、平行线的性质得到直角，进而利用“三个角是直角的四边形是矩形”证明. 知3－练 知3－练 感悟新知 [中考·连云港]如图1.5-6，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形． 例6 解题秘方：紧扣平行四边形的性质和判定、矩形的判定解题. 知3－练 感悟新知 (1)求证：四边形ACED是平行四边形； 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD∥BC，且AD=BC． 因为点C是BE的中点，所以BC=CE.所以AD=CE. 因为AD∥CE，所以四边形ACED是平行四边形. 知3－练 感悟新知 (2)如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形． 解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC. 因为AB=AE，所以DC=AE. 因为四边形ACED是平行四边形， 所以四边形ACED是矩形. 感悟新知 解法策略 判定一个四边形是矩形的思路： 知3－练 矩形 矩形 边的性质 角的性质 利用定义 角的关系 定义 判定 性质 对角线的关系 对角线的性质 对称性 $