第一章 1.2 空间向量基本定理讲义-2026学年高二上学期人教A版选择性必修一

1.2 空间向量基本定理 【知识梳理】 一、空间向量基本定理 思考　平面向量基本定量的内容是什么？ (1)如果三个向量a，b，c共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量． (3)单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的起点． 二、空间向量的坐标表示 思考　平面向量的坐标是如何表示的？ (1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)． (2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了. 【题型精讲】 题型一、空间向量的基底 例1．（25-26高二上·广东深圳·期中）若构成空间一组基底，那么能与，构成空间一组基底的向量可以是（    ） A． B． C． D． 反思与感悟　空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为 （    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．多选（24-25高二上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的，满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若与不共线，则不共面 C．对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，则能为空间的一组基底 题型二、用基底表示向量 例2. 如图，已知正方体OABC­O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示向量； (2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示. 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）在正方体中，若，E为线段上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 题型三、应用空间向量坐标表示解题 例3. 是空间的一个单位正交基底，在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 反思与感悟　(1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，a＝λe1＋μe2＋ke3，则a的坐标为(λ，μ，k)． (2)的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标． 例4．（25-26高二上·浙江·期中）若空间向量，，则下列向量可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北孝感·期中）设空间向量.若不能构成空间向量的一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段检测）若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）若是空间向量的一组基底，则下列各组中能构成空间向量的一组基底的有（    ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南长沙·一模）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 8．（25-26高二上·广东·阶段检测）以下说法中，不正确的为（    ） A．“”是“共线”的充要条件； B．若，则 C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D． 三、填空题 9．（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    四、解答题 10．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图， D是正四面体的棱的中点， 点E在线段上，点P在线段上， 且， ，设向量， ， . (1)用向量，，表示和; 11．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量. (1)证明：是空间的另一个基底； (2)用基底表示向量. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 空间向量基本定理 【知识梳理】 一、空间向量基本定理 思考　平面向量基本定量的内容是什么？ 答案　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (1)如果三个向量a，b，c共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量． (3)单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的起点． 二、空间向量的坐标表示 思考　平面向量的坐标是如何表示的？ 答案　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)． (1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)． (2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了. 【题型精讲】 题型一、空间向量的基底 例1．（25-26高二上·广东深圳·期中）若构成空间一组基底，那么能与，构成空间一组基底的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面 【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理逐项判断即得. 【详解】对于A，，则向量与共面，A不是； 对于B，，则向量与共面，B不是； 对于C，，则向量与共面，C不是； 对于D，若与共面，则存在实数，使得， 而不共面，于是，无解， 向量与不共面，可以构成空间一组基底，D是. 故选：D 反思与感悟　空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为 （    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面 【分析】空间向量共面的充要条件：若三个向量共面，则存在实数，使得（或其中一个向量可由另外两个线性表示），已知不共面，逐一分析选项. 【详解】选项A：，存在线性组合，共面； 选项B：，存在线性组合，共面； 选项C：假设，则， 由不共面得：，无解，故不存在线性组合，不共面； 选项D：，存在线性组合，共面. 故选：C 2．多选（24-25高二上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的，满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若与不共线，则不共面 C．对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，则能为空间的一组基底 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间共面向量定理的推论及应用、判定空间向量共面 【分析】化简得，可判定A正确；结合，可判定B错误；化简得，可判定C正确；设，得到，得到与是空间的一组基底矛盾，可判定D正确. 【详解】对于A，由，可得，即， 所以三点共线，所以A正确； 对于B，例如：向量，可得向量不共线， 若，则，此时向量共面，所以B不正确； 对于C，由，可得， 则， 所以四点共面，所以C正确； 对于D，若向量共面，则存在实数，使得， 因为，可得， 则向量共面，这与是空间的一组基底矛盾， 所以可以构成一个空间基底，所以D正确. 故选：ACD. 题型二、用基底表示向量 例2. 如图，已知正方体OABC­O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示向量； (2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示. 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 (1)＝＋＝＋＋＝. ＝＋＝＋＋＝＋－＝. (2)＝＝＝－ (＋)＋ (＋)＝－ ()＋ (＋)＝ (c－b)． 反思与感悟　求解空间向量在某基底下的坐标的关键：一是运用空间向量的基本定理，二是理解空间向量的坐标表示的意义． 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）在正方体中，若，E为线段上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用给定的基底，利用空间向量线性运算求得答案. 【详解】在正方体中，， 由，得. 故选：D 2．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量 【详解】由，得，由，得， 所以， 对于A，假设共线，则，无解，A错误； 对于B，， 所以与共线，B正确； 对于C，假设共线，则，无解，C错误； 对于D，假设共线，则，无解，D错误； 题型三、应用空间向量坐标表示解题 例3. 是空间的一个单位正交基底，在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意向量，设向量在基底下的坐标为 ， ，所以向量在基底下的坐标为，故选A． 反思与感悟　(1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，a＝λe1＋μe2＋ke3，则a的坐标为(λ，μ，k)． (2)的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标． 例4．（25-26高二上·浙江·期中）若空间向量，，则下列向量可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间向量基底的定义直接判断. 【详解】A选项：若空间向量，， 则，故、、共面，A选项错误； B选项：若空间向量，， 则，故、、共面，B选项错误； C选项：若空间向量，，， 设，即，方程无解， 即不存在实数对使，即、、不共面，可以作为基底，C选项正确； D选项：为零向量，与，不能构成空间的一个基底，D选项错误； 故选：C. 【针对训练】 1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量基底概念及辨析、用空间基底表示向量 【分析】利用向量在基底下的斜坐标，整理为关于的线性组合即可求解. 【详解】因为向量在基底下的斜坐标为 所以， 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D 2．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基底概念及辨析 【分析】利用基底将向量进行表示，利用基底将向量进行表示，通过向量建立的方程组，求解这个方程组即可得到的值，从而得到所求. 【详解】由题意可知，设， 所以， 解得，则， 则以为基底时的坐标是． 故选：D． 3．（25-26高二上·湖北孝感·期中）设空间向量.若不能构成空间向量的一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间向量共面求参数 【分析】由题意得到共面，再由共面定理得到关于的方程组有解，逐一检验各选项即可求解. 【详解】若不能构成空间向量的一组基底， 则共面，则，使得， 即， 则关于的方程组有解， 当时，方程组为，无解，故A错误； 当时，方程组为，无解，故B错误； 当时，方程组为，故C正确； 当时，方程组为，无解，故D错误； 故选：C 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】通过证明ACD选项中的三个向量共面，判断它们错误，利用反证法证明B选项中的三个向量不共面，判断B正确. 【详解】对于A，因为，所以共面， 所以不能构成基底， 对于C，因为， 所以共面，所以不能构成基底，C错误； 对于D，， 所以共面，所以不能构成基底，D错误， 对于B，若共面， 则可设，故， 故共面，与条件矛盾， 所以不共面，即能构成基底，B正确； 故选：B. 2．（25-26高二下·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【详解】，由得， ， 代入得． 3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段检测）若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用、空间向量基底概念及辨析 【分析】设在基底下的坐标为，则，即得，解出即可. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 在下的坐标为， ， 由得， ，即在下的坐标为． 故选：B． 4．（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算 【详解】依题意，由，得， 由，得， 所以. 5．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据图形可得，结合向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： ， 所以. 二、多选题 6．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）若是空间向量的一组基底，则下列各组中能构成空间向量的一组基底的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间向量基本定理，以及空间向量基底的性质，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】对于A，因为是空间向量的一组基底，所以不共面，所以也不共面， 所以能构成空间向量的一组基底，故A正确； 对于B，假设存在实数，使得， 则，所以，此方程无解， 所以向量不共面，所以能构成空间向量的一组基底，故B正确； 对于C，显然不存在实数，使得， 所以不共面，所以能构成空间向量的一组基底，故C正确； 对于D，因为， 所以共面，所以不能构成空间向量的一组基底，故D错误. 故选：ABC. 7．（2026·湖南长沙·一模）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，若， 假设、、不全为零，不妨设，则， 所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对； 对于B，假设、、共面， 则存在、，使得， 即， 根据A可知，该方程组无解，假设不成立， 故向量、、不共面，B错； 对于C，向量在基底下的坐标是，C对； 对于D，由B可知，向量、、一定不共面， 则可作为空间向量的一组基底， 故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组， 使得，D对. 8．（25-26高二上·广东·阶段检测）以下说法中，不正确的为（    ） A．“”是“共线”的充要条件； B．若，则 C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析、数量积的运算律 【分析】由与同向共线时，故必要性不成立，可判断A；取可判断B；运用反证法，假设共面，根据共面的充要条件得出矛盾，可判断C；根据可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 故，故， 故与反向共线，故充分性成立， 而与同向共线时，，则，故必要性不成立， 故“”是“共线”的充分不必要条件，故A不正确； 对于B，若，则， 此时不一定有，故B不正确； 对于C，设共面， 则存在不全为0的实数使得， 即，又不共面， 则，即， 这与不全为0矛盾，故不共面， 则可以构成空间的一个基底，故C正确； 对于D，， 因为不一定为1，故不一定成立，故D不正确. 故选：ABD 三、填空题 9．（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参. 【详解】由题意知， 因为， 所以，则. 故答案为：. 四、解答题 10．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图， D是正四面体的棱的中点， 点E在线段上，点P在线段上， 且， ，设向量， ， . (1)用向量，，表示和; 【答案】(1)， 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算、空间向量数量积的应用 【分析】（1）根据题意可以得到向量之间的线性关系，利用空间向量的基本定理及线性运算进行求解； （2）根据空间向量的模的性质及空间向量数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为 D是正四面体的棱的中点，， 所以， 所以 ， 所以 11．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量. (1)证明：是空间的另一个基底； (2)用基底表示向量. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基底概念及辨析 【分析】（1）假设共面，则，判断是否存在实数和使等式成立即可； （2）设，根据向量相等求出即可. 【详解】（1）设共面．根据共面向量定理可知， 此时不存在实数和使等式成立， 故不共面， 是空间的另一个基底. （2）设，则，又， ，解得， 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $