第30讲 三角函数的图像与性质·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦三角函数图像与性质综合应用，通过多样化题型构建“概念-图像-性质-应用”逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像变换与性质|题1,3,8,12|考查平移、对称、周期，结合奇偶性判断|从函数平移（概念）到图像特征（几何直观）再到性质应用（推理）| |图像解析与应用|题4,13,15|由图像求解析式、参数，涉及最值与单调区间|图像信息（数学眼光）转化为函数表达式（数学语言），推导性质| |综合与拓展|题2,9,10,18,19|多图像交点、跨模块（向量、解三角形）综合|性质应用（数学思维）延伸至实际问题，构建模型观念|

第30讲 三角函数的图像与性质·综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 D B C A D 6 7 8 9 10 C D D AC AB 11 12 13 14 BCD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·湖北襄阳·二模）将函数向左平移个单位得到新函数，则可能的取值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】将函数向左平移个单位得到. 目标函数. 所以，解得. 当时，. 【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换以及诱导公式的应用.解题的关键是将正弦函数转化为余弦函数，再根据平移规则列出关于的方程. 2.（2025·河北NT20名校联合体·二模）已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（ 　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】因为恒成立，所以为的一条对称轴， 那么，所以， 解得，， 与的图象如图所示： 由图可知，曲线与的交点个数为4.故选：B. 【点拨】本题考查三角函数的性质与图象.根据最值条件确定函数的对称轴，进而求出参数是解题的突破口，随后利用数形结合思想判断交点个数. 3.（2024·深圳光明区高级中学·5月模考）已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（ 　　） A. 是偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的最大值为0 D. 不等式的解集为 【答案】C 【解析】由题知，由于的定义域为，且，故为奇函数，A错误.又，故的图象不关于直线对称，B错误.因为时，，所以在上的最大值为0，最小值为-2，故C正确.，则，则，故，D错误. 【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及其性质.先通过平移规则求出的解析式，再结合正弦函数的奇偶性、对称性、最值及不等式解法逐项判断即可. 4.（2026·江西南昌·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由图象得，，解得，所以. 又在处取得最大值，代入可得，所以. 解得. 因为，所以. 所以. 则. 【点拨】本题考查由三角函数的部分图象求解析式.根据图象中的最高点与零点之间的水平距离求出周期，进而求出，再代入最高点坐标求出是解题的关键. 5.（2026·福建厦门·第二次质量检测）已知函数，若，则（ 　　） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】由题意得是的最大值，所以，解得. 所以.故选D. 【点拨】本题考查辅助角公式及三角函数的最值.利用最值条件建立关于参数的方程是解题的核心，求出解析式后再利用诱导公式求值即可. 6.（2026·广东广州·一模）函数的最小正周期是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，所以最小正周期为. 【点拨】本题考查三角函数的化简与周期的求法.观察到两角之和为，利用诱导公式将其中一个正弦转化为余弦，再利用二倍角公式化简是解题的捷径. 7.（2025·深圳高级中学高中园·适应性测试）已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为，那么圆台的外接球的表面积为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为母线与底面所成的角为，则圆台的高为，上底面半径为1，下底面半径为3，设外接球的半径为，球心到上底面的距离为，则，解得，所以，所以.故选：D. 【点拨】本题考查圆台的几何性质及外接球表面积的计算.通过轴截面分析，利用勾股定理建立关于球心位置和球半径的方程组是解决此类外接球问题的通法. 8.（2026·湖北孝感·一模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据正弦函数对称中心性质得，然后利用诱导公式求值即可. 因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以，即， 所以，所以. 故选：D. 【点拨】本题考查正弦函数的对称性及诱导公式的应用.熟记正弦函数对称中心的横坐标满足整体相位等于是解题的基础. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（2025·江西上进联考·4月联考）在平面直角坐标系中，曲线由函数和的图象构成，则（ 　　） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 直线被截得的线段长的最大值为 D. 围成的图形的面积大于 【答案】AC 【解析】画出的图象，由图可知A正确，B错误.直线被截的弦长为，故C正确.当时，如图，4个阴影部分面积相等，区域②的面积小于区域①的面积，区域③的面积小于区域④的面积.利用割补法知曲线在上围成的图形的面积小于以为宽、2为高的矩形的面积，即曲线围成的图形的面积小于，故D错误.故选AC. 【点拨】本题综合考查三角函数的图象与性质.通过准确作出两函数的图象，利用数形结合分析对称性、弦长最值及封闭图形的面积是解题的关键. 10.（2026·山东日照·二模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ 　　） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 函数的最大值为1 D. 方程在上有5个实数根 【答案】AB 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数， 若是的一个单调递增区间，则，即，显然成立. 且，且， 即且， 解得，所以， 因为，所以，. 所以，. 对于A，的最小正周期为，故A正确. 对于B，当时，，单调递增，故B正确. 对于C，，最大值为，故C错误. 对于D，方程可化为， 解得或. 当时，， 由得有两个解， 由得或，有两个解， 所以方程在上有4个实数根，故D错误. 故选：AB. 【点拨】本题考查三角函数的图象变换及性质.根据单调区间包含于正弦函数的基本单调区间内，列出不等式组求出是解题的关键，后续结合三角恒等变换及数形结合思想逐项分析即可. 11.（2026·江西吉安·一模）已知函数，函数和它的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】由图可知，虚线的最高点为2，实线的最高点为1，且实线在处为0，虚线在处取得最大值. 因为，若实线为，则其最大值为，虚线为，最大值为，此时. ，解得. 此时，与图象不符. 若实线为，虚线为，则，，解得. ，且， 所以，解得，即. 因为，所以. 所以. 对于A，，错误. 对于B，，正确. 对于C，，所以是的一条对称轴，正确. 对于D，，即， ，正确. 故选：BCD. 【点拨】本题考查由函数及其导函数的图象求解析式.通过观察图象的极值点与零点的对应关系，准确判断出哪条曲线代表原函数、哪条代表导函数是解题的突破口. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·江苏南京·二模）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】平移后得到，因为图象关于轴对称，所以，即.又，所以. 【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及对称性.平移后函数为偶函数，其初相必定为的奇数倍，由此列式求解即可. 13.（2026·八省T8·4月联考）在平面直角坐标系中，函数的部分图象如图所示，若，则点的纵坐标为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】如图，把函数图象进行平移，使得点与坐标系原点重合，得函数的图象，点的对应点分别为，依题意，可设，则. ，， ，解得（正值舍去）. .即点的纵坐标为. 【点拨】本题考查三角函数图象的几何性质.通过适当的平移变换简化坐标表示，利用向量共线关系转化为三角方程，再结合二倍角公式求解是解题的巧妙之处. 14.（2025·江西三新协同教研共同体·5月模拟）函数在上的值域为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】易得，由，得，所以. 【点拨】本题考查辅助角公式及三角函数在闭区间上的值域.先化简为单一三角函数形式，再根据自变量的范围求出整体相位的范围，最后结合正弦函数的图象求得值域. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2026·湖南新高考教学教研联盟·3月联考）已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式，并写出的单调递减区间； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）；单调递减区间为 （2） 【解析】（1）由图象可知，， 又，， 代入可知，即， 又因为，所以，， 可知当时，单调递减， 所以的单调递减区间为． 7 分 （2） ，又， 所以由二倍角公式可得：，解得， 又，，， 所以． 13 分 【点拨】本题考查由三角函数的部分图象求解析式以及三角恒等变换求值.第（1）问通过图象特征求出周期和初相；第（2）问利用诱导公式将正弦转化为余弦，再结合二倍角公式降幂求值，注意判断角的范围以确定符号. 16.（2026·浙江宁波·二模）已知函数的最大值为1. （1）求常数的值； （2）求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） ， 当时，有最大值， 所以，解得. 7 分 （2）由（1）知，， 由，得，所以， 解得， 故满足条件的的取值集合为. 15 分 【点拨】本题考查三角恒等变换及三角函数的最值与不等式解法.利用两角和与差的正弦公式及降幂公式将函数化为的形式是解题的关键. 17.（2026·浙江绍兴·二模）已知函数. （1）求； （2）求的值域和单调递减区间. 【答案】（1） （2）值域为，单调递减区间为， 【解析】（1）. 5 分 （2）因为， 所以的值域为， 因为，， 解得，， 所以的单调递减区间为，. 13 分 【点拨】本题考查三角函数的求值及性质.利用降幂公式和辅助角公式将解析式化简为单一三角函数形式，再结合正弦函数的性质求解即可. 18.已知向量，，. （1）求函数的最大值及相应的值； （2）在中，角为锐角且，，，求的面积. 【答案】（1）最大值为，相应的值为 （2） 【解析】（1）依题意，， 即， 所以，当， 即时，取最大值； 8 分 （2）由（1）及得：， 即， 由，则， 因此，，则， 而，有，所以， 在中，由正弦定理得， ， ， 所以的面积为. 17 分 【点拨】本题考查平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换以及正弦定理、三角形面积公式的应用.将向量数量积转化为三角函数解析式是第一步，后续结合解三角形知识求解即可. 19.（2025·江西上进联考·4月联考）已知钝角的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，，证明：是等腰三角形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 所以， 所以. 因为是钝角三角形，所以，所以，即. 8 分 （2）证明：由余弦定理得， 所以， 又， 解得， 所以是等腰三角形. 17 分 【点拨】本题考查正余弦定理及三角恒等变换在解三角形中的应用.第（1）问利用正弦定理将边化角，再利用和差角公式化简求出角；第（2）问结合余弦定理及基本代数运算求出边长关系，从而证明结论. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲 三角函数的图像与性质·综合测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.将函数向左平移个单位得到新函数，则可能的取值为（ 　　） A. B. C. D. 2.已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（ 　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（ 　　） A. 是偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的最大值为0 D. 不等式的解集为 4.已知函数的部分图象如图所示，则（ 　　） A. B. C. D. 5.已知函数，若，则（ 　　） A. 0 B. C. 1 D. 6.函数的最小正周期是（ 　　） A. B. C. D. 7.已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为，那么圆台的外接球的表面积为（ 　　） A. B. C. D. 8.若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在平面直角坐标系中，曲线由函数和的图象构成，则（ 　　） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 直线被截得的线段长的最大值为 D. 围成的图形的面积大于 10.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ 　　） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 函数的最大值为1 D. 方程在上有5个实数根 11.已知函数，函数和它的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则＿＿＿＿＿＿． 13.在平面直角坐标系中，函数的部分图象如图所示，若，则点的纵坐标为＿＿＿＿＿＿． 14.函数在上的值域为＿＿＿＿＿＿． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式，并写出的单调递减区间； （2）若，且，求的值． 16.已知函数的最大值为1. （1）求常数的值； （2）求使成立的的取值集合. 17.已知函数. （1）求； （2）求的值域和单调递减区间. 18.已知向量，，. （1）求函数的最大值及相应的值； （2）在中，角为锐角且，，，求的面积. 19.已知钝角的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，，证明：是等腰三角形. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $