精品解析：四川省成都市武侯区领川外国语学校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年四川省成都市武侯区领川外国语学校七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方等知识．根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：，A错误，故不符合要求； ，B错误，故不符合要求； ，C错误，故不符合要求； ，D正确，故符合要求； 故选：D． 2. 华为系列将在今年9月隆重推出．据悉，华为会搭载全新麒麟9010处理器，它采用了制程工艺，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据米和纳米的进率得到对应的米数，再根据科学记数法的规则判断结果即可． 【详解】解：∵， ∴． 3. 泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ） A. 等角的补角相等 B. 同角的余角相等 C. 等角的余角相等 D. 同角的补角相等 【答案】D 【解析】 【分析】如图：先画出图形，然后再根据邻补角的性质、等量代换、同角的补角相等即可解答． 本题主要考查了对顶角的性质、邻补角的性质等知识点，根据题意正确画出图形是解答本题的关键．． 【详解】解：如图， ，， ． ∴论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等． 故本题选：D． 4. 下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算； D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是奇数是随机事件 B. 任意画一个三角形，其内角和为是随机事件 C. 打开鲁教版七下数学课本刚好翻到《三角形的内角和定理》是必然事件 D. 2024年国庆节天气晴朗是必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据随机事件与必然事件的概念逐一分析即可． 【详解】解：A． 买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，符合题意； B． 任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，不符合题意； C． 打开鲁教版七下数学课本刚好翻到《三角形的内角和定理》是随机事件，不符合题意； D． 2024年国庆节天气晴朗是随机事件，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为． 7. 如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， ∴． 8. 作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，从三角形的一个顶点出发向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：、作出的是中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、作出的是中边上的高，故本选项正确，符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若3x+4y﹣3＝0，则27x•81y=_____________． 【答案】27 【解析】 【分析】首先根据3x+4y-3=0，求出3x+4y的值是多少；然后根据 ，即可求解． 【详解】解：∵3x+4y-3=0， ∴3x+4y=3， ∴， ∴． 故答案为：27． 【点睛】（1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）． （2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 10. 若是完全平方式，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟知完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方．据此可得，解方程即可求出a的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴，解得， 故答案为：． 11. 如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据三角形的中线及周长公式可进行求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18，， ∴，即， ∴， ∵， ∴的周长为． 12. 如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ， ， ， ，，， ，， ，， ． 13. “三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点可在槽中滑动．若，则的度数是_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，，即， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据整式混合运算法则，进行化简，然后求出，，最后把，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， 把，代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算，绝对值的非负性和二次方的非负性，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算． 16. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵（已知）， ∴ （ ）， ∵平分（已知）， ∴ （角平分线的定义）， 同理， ， ∴（等量代换）， ∴ （ ）． ∴（ ）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理，， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 17. 如图，为中的角平分线，，，延长至F，连接． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵，， ∴， ∵为中的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，由三角形内角和定理得到，则，即可得到答案； （2）证明，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为中的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 18. 解决下列问题： （1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转α得到，求证：； （2）尝试应用：如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，若，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，点D，E分别在边，上，，交于点H．，若，，求的长度． 【答案】（1）证明：∵将绕着点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：延长至G，使，连接，设交于K，如图： ∵点D为等腰外一点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）13 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得，得到，，可证明； （2）延长至G，使，连接，设交于K，证明，得，而，故，又，有，从而； （3）将绕点A逆时针旋转至，作交于M，连接，，可知为等边三角形，证明，得，可证，得，，即可求出，，从而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将绕点A逆时针旋转至，作交于M，连接，，如图： ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴． 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将代数式中的利用平方差公式展开，再将已知条件整体代入，逐步化简即可求出结果. 【详解】解：∵， ∴ . 20. 若关于x的代数式化简后，不含有项和常数项，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，求出的值，最后代入求值即可． 【详解】∵，且化简后，不含有项和常数项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和代入求值，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 21. 如图，中，，平分交于D，点E在的延长线上，满足，若，，则线段的长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】延长到M，作于H．首先证明，推出，再证明，然后问题可求解． 【详解】解：延长到M，作于H，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 已知中，，为的平分线．若，则的值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作于E，于F，在上截取，连接．首先证明，设，再证明，推出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于E，于F，在上截取，连接． ∵为的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 是等边三角形，点D为射线延长线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，连接与射线交于点G，若，则的值为______________________． 【答案】或 【解析】 【分析】设，则，分情况讨论，如图1，过点E作，交射线于F，根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及旋转的性质即可解答；如图2，过点E作，交于，根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及旋转的性质即可解答． 【详解】解：∵， 设，则， 如图1，过点E作，交射线于F， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段绕点B逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴； 如图2，过点E作，交于， 同理可得：，， ∴，， ∴； 综上，的值为或． 二、解答题（共3小题，共30分） 24. 对于任意四个有理数a，b，c，d可以组成两个有理数对与．我们规定：，例如：． （1）若，求常数k的值； （2）若，且，求xy的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）用新定义把式子化简，再利用完全平方式的系数特征列式计算即可； （1）用新定义把式子化简，再利将整体代入，即可整体求出xy的值． 【小问1详解】 解： 所以，即． 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴，解得． 【点睛】本题主要考查了新定义运算法则、完全平方公式等知识点，理解新定义及熟练掌握完全平方公式是解题关键． 25. 如图，已知是线段的垂直平分线，垂足为D，，P是直线上一动点，，连接． （1）如图1，若点P与点C重合，求的度数； （2）如图2，若P在C点上方，求证：； （3）若，，则的值为 （直接写出结果）． 【答案】（1） （2）证明：如图2，过点P作于H，过点P作交的延长线于G，连接， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴，， ∴，，即 ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ∴，即， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）1 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，求出，证明为等边三角形，则，进而求解即可； （2）如图2，过点P作于H，过点P作交的延长线于G，连接，构造含30度角的直角、直角以及，根据含30度的直角三角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论； （3）分三种情况讨论，根据（2）的解题思路得到或，将数值代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵点P与点C重合，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当P在C点上方时，由（2）得：， 当，时，，不符合题意； ②当P在线段上时， 如图3，过P作于H，连接，作于点G， 同（2）可得，， ∴，即， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 当，时，，不符合题意； ③当P在D点下方时，如图4， 同理可得，， 当，时，． 26. 以为斜边在它的同侧作和，其中，，、交于点． （1）如图1，平分，求证：； （2）如图2，过点A作，分别交、于点E、点F，过A作，交于点G，连接交于点H，求证：； （3）如图3，点M为边的中点，点Q是边上一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段MK，连接、，当，时，求的最小值． 【答案】（1）证明：过点P作于点T，如图所示： ∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点C作交延长线于点R，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）8 【解析】 【分析】（1）过点P作于点T，根据等腰直角三角形和角平分线的性质可得，证明，进而问题可求证； （2）过点C作交延长线于点R，首先证明，由全等三角形的性质得，再证，可得，根据等腰直角三角形的性质可得，等量代换得，然后证明，即可得出结论； （3）过点A作于点O，连接，先证明，可得，可得点K在所在的直线上移动，则有，可得当且仅当B、K、P三点共线时取得最小值，然后根据含直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点A作于点O，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∵点M是的中点， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴点K在所在的直线上移动， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当且仅当B、K、P三点共线时取得最小值，即的值， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴的最小值为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四川省成都市武侯区领川外国语学校七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 华为系列将在今年9月隆重推出．据悉，华为会搭载全新麒麟9010处理器，它采用了制程工艺，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ） A. 等角的补角相等 B. 同角的余角相等 C. 等角的余角相等 D. 同角的补角相等 4. 下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是奇数是随机事件 B. 任意画一个三角形，其内角和为是随机事件 C. 打开鲁教版七下数学课本刚好翻到《三角形的内角和定理》是必然事件 D. 2024年国庆节天气晴朗是必然事件 6. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若则（　　） A. B. C. D. 8. 作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若3x+4y﹣3＝0，则27x•81y=_____________． 10. 若是完全平方式，则_____________． 11. 如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 12. 如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为__________． 13. “三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点可在槽中滑动．若，则的度数是_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵（已知）， ∴ （ ）， ∵平分（已知）， ∴ （角平分线的定义）， 同理， ， ∴（等量代换）， ∴ （ ）． ∴（ ）． 17. 如图，为中的角平分线，，，延长至F，连接． （1）求的度数； （2）若，求证：． 18. 解决下列问题： （1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转α得到，求证：； （2）尝试应用：如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，若，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，点D，E分别在边，上，，交于点H．，若，，求的长度． 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，则的值为___________． 20. 若关于x的代数式化简后，不含有项和常数项，则________． 21. 如图，中，，平分交于D，点E在的延长线上，满足，若，，则线段的长为_________． 22. 已知中，，为的平分线．若，则的值为____________________． 23. 是等边三角形，点D为射线延长线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，连接与射线交于点G，若，则的值为______________________． 二、解答题（共3小题，共30分） 24. 对于任意四个有理数a，b，c，d可以组成两个有理数对与．我们规定：，例如：． （1）若，求常数k的值； （2）若，且，求xy的值． 25. 如图，已知是线段的垂直平分线，垂足为D，，P是直线上一动点，，连接． （1）如图1，若点P与点C重合，求的度数； （2）如图2，若P在C点上方，求证：； （3）若，，则的值为 （直接写出结果）． 26. 以为斜边在它的同侧作和，其中，，、交于点． （1）如图1，平分，求证：； （2）如图2，过点A作，分别交、于点E、点F，过A作，交于点G，连接交于点H，求证：； （3）如图3，点M为边的中点，点Q是边上一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段MK，连接、，当，时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $