1.1 空间向量及其运算 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算核心知识点，从类比平面向量引入空间向量概念，系统梳理加减、数乘运算及运算律，延伸至共线共面向量判定与数量积性质，构建从基础概念到应用的完整学习支架。 资料通过类比迁移培养数学眼光，题型分层设计（如概念辨析、运算应用）提升数学思维，例题与训练结合强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固解题方法，查漏补缺。

1.1 空间向量及其运算 【知识梳理】 一、空间向量的概念 思考　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念． 答案　在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||. (2)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 二、空间向量的加减运算及运算律 思考1　下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a. 答案　如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a. 思考2　由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量 的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？ 答案　先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则． (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算． ＝＋＝a＋b ＝－＝a－b ＝＋＝＋＝a＋b (2)空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 三、空间向量的数乘运算 思考　实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？ 答案　λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍． 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： ①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb， ②结合律：λ(μa)＝(λμ)a. (1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb； ③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)． 四、共线向量与共面向量 思考1　回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义． 答案　如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量． 思考2　空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？ 答案　正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量． (1)平行(共线)向量 定义 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合 充要条件 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使a＝λb 点P在直线l上的充要条件 存在实数t满足等式＝＋ta在直线l上取向量＝a，则＝＋t 向量a为直线的方向向量 (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对 (x，y)使p＝xa＋yb 点P位于平面ABC内的充要条件 存在有序实数对(x，y)， 使＝x＋y 对空间任一点O， 有＝＋x＋y 五、空间向量数量积的概念 思考　如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法． 解析∵＝－， ∴·＝·－· ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16. 求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算． (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c (3)空间向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b. 六、空间向量的数量积的性质 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 ②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ ④|a·b|≤|a|·|b| 【题型精讲】 题型一、有关空间向量的概念的理解 例1．（24-25高二上·河南商丘·阶段检测）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假、零向量与单位向量、空间向量的有关概念 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 【针对训练】 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 2．多选（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据零向量概念可判断A；根据相反向量概念可判断B；根据直线方向向量与零向量可判断C；根据相等向量概念可判断D. 【详解】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD 题型二、空间向量的加减运算 例2．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】空间向量的加减运算 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 反思与感悟　根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可以按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，另外化简的结果要在图中标注好． 【针对训练】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算、向量减法的法则、向量加法的法则 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】空间向量的加减运算、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据空间向量的加法及减法运算计算判断即可. 【详解】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 题型三、空间向量的数乘运算 例3．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的加法、数乘运算求解即可. 【详解】如图， ， 故选：B 反思与感悟　应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量运算的前提，表示向量时要注意选定向量，明确转化的目标． 【针对训练】 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为是BD的中点， 所以， 所以. 题型四、向量共线、共面问题 例4．如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量共线的判定 【分析】（1）由已知得，由此可得答案； （2）由已知得，由此可得证. 【详解】解：（1）因为， ， 所以， 所以； （2） ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 反思与感悟　判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可．证明点共线，只需证明对应的向量共线． 例5. 如图，已知、、、、、、、、为空间的个点，且，，，，，，. 求证：（1）、、、四点共面，、、、四点共面； （2）； （3）. 【解析】（1）∵，，∴A、B、C、D四点共面． ∵，，∴E、F、G、H四点共面． （2），∴. （3）. 考点：空间向量的运算. 反思与感悟　利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系． 例6．（25-26高二上·广东深圳·期中）空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据空间共面向量定理的推论求的值即可． 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得． 故选：C． 【针对训练】 1．（24-25高三上·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量共线的判定、探求命题为真的充要条件 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 2．（2024·北京朝阳·模拟预测）在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】由，结合已知可得，利用共面求. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 因为共面，所以，解得. 故选：D. 3．（24-25高二上·山东·阶段检测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定、判定空间向量共面 【分析】（1）根据向量加法计算表示即可； （2）应用得出四点共面； （3）计算得出且得出三点共线. 【详解】（1）依题意可得，    （2）连接．因为 所以， 则共面，故四点共面． （3）连接． 因为， ， 所以，则． 因为，所以三点共线． 题型五、空间向量的数量积 角度1 数量积的概念辨析 例7．（25-26高二·全国·寒假作业）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的概念辨析 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 【针对训练】 1．（25-26高二上·新疆伊犁·期末）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、空间向量共线的判定 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 角度2 数量积的应用 例8．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.74 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】（1）转化为计算即可； （2）直接计算即可； （3）将转化为，将转化为，再代入计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 例9. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A． B． C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为 【答案】AB 【解析】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则 而 ， 所以A正确. =0,所以B正确. 向量, 显然 为等边三角形，则. 所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确 又， 则， 所以，所以D不正确.故选：AB 反思与感悟　利用向量求异面直线夹角的方法： 例10. 在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角．求B、D间的距离 【答案】2或. 【解析】∵∠ACD=90°，∴＝0. 同理＝0 ∵AB和CD成60°角，∴〈〉＝60°或120°. ∵， ∴ ＝3＋2×1×1×cos〈〉 当＜，＞=60°时，·=4，则||=2； 当＜，＞=120°时，·=2，则| 反思与感悟　利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可． 【针对训练】 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 二、多选题 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因， ， 则 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，， 则 ， 则， 即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，， 则 ，故D正确. 三、填空题 3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____ 【答案】 【难度】0.68 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积、空间向量加减运算的几何表示 【详解】由题意得， 所以 ， 故对角线. 四、解答题 4．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【难度】0.75 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、求空间向量的数量积 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 【课后作业】 一、单选题 1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 2．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】. 故选：B 3．已知，，，是平面内不共线的四点，为平面外一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】由空间向量的共面定理的推论求解即可. 【详解】因为，，，是平面内不共线的四点，，所以. 故选：D 4．（24-25高二上·安徽安庆·阶段检测）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量数量积的概念辨析 【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 二、多选题 5．（2026高二下·全国·专题练习）（多选）下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 C．若空间向量满足，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】零向量与单位向量、空间向量的有关概念 【分析】根据零向量的性质、向量相等的条件、向量的模与方向关系等知识点，需要逐一分析每个命题是否符合向量的定义和性质. 【详解】零向量的方向是任意的，并不是没有方向，故A错误． 若两个空间向量相等，方向相同，大小相等即可，起点和终点不需要一定相同，故B错误． 根据传递性，选项C显然正确． 对于D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故D错误． 故选：ABD. 6．（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】空间向量共线的判定、空间向量的有关概念 【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面 【分析】根据空间向量的基本定理及其推论，以及向量的共面定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以共面，又因为有公共点，所以四点共面； 对于B，因为，所以四点共面； 对于C，因为，所以，即直线和可能异面，四点不一定共面； 对于D，因为，所以，所以四点共面． 故选：ABD． 8．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、判定空间向量共面 【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断. 【详解】对于选项A:由知，为共面向量，故四点共面，故选项A正确； 对于选项B:因为， 所以，即, 由共面向量定理可知四点共面，故选项B正确； 对于选项C:若，则，即直线异面垂直或共面垂直， 四点不一定共面，故选项C错误； 对于选项D:若，则直线平行或重合， 故四点共面, 故选项D正确． 故选：ABD. 9．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、向量夹角的计算、求空间向量的数量积 【分析】先由正方体的结构特征，判断四边形为矩形，验证A；再区分异面直线所成角与向量夹角的定义，结合为等边三角形，判断B；接着利用空间向量加法法则，将左边化简为，再结合正方体体对角线长度验证C；最后将向量差化简为，由正方体中验证D． 【详解】 对于A，因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形，面积为，A正确； 对于B，是等边三角形，所以， 又因为，所以异面直线与所成的角为， 结合图象向量与的夹角为，B错误； 对于C，由向量加法的运算法则可以得到， 因为，所以，C正确； 对于D，易得， 在正方体中，平面， 所以，所以，D正确． 10．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量数量积的应用 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果即可. 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为1 ，且彼此夹角都是， 所以，. 对于A，因为， 所以， ，故A正确； 对于B，因为, 且, 即不成立，故B错误； 对于C，，所以， 所以, 所以向量与夹角是，故C正确； 对于D，， ， 而， ， ，故D错误. 故选：AC 三、填空题 11．（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量共面求参数 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面， ∴，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据空间向量的线性运算得到，利用四点共面可知，即可得到的值. 12．（23-24高二上·广东深圳·阶段检测）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量共面求参数 【分析】根据向量共面，由共面基本定理即可列方程求解，或者利用共面的结论求解. 【详解】方法一：由共面，故存在实数使得 , 故,化简得, 又，所以，解得， 方法二：因为共面，所以，解得. 故答案为:. 13．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图在平行六面体中，，，，则的长是___________．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】把用表示出来，再利用向量数量积公式得到的长. 【详解】取，，， 已知，，， ， ， ， ， ， ，即. 故答案为： 四、解答题 14．（25-26高二·全国·寒假作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【难度】0.85 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算 【分析】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    15．（25-26高二下·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.68 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】（1）结合已知条件，运用向量加减法运算规则计算求解； （2）运用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1），， ，， 又，， ． （2） ， ， ， ， ． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 空间向量及其运算 【知识梳理】 一、空间向量的概念 思考　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念． (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||. (2)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 二、空间向量的加减运算及运算律 思考1　下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a. 思考2　由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？ (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算． ＝＋＝a＋b ＝－＝a－b ＝＋＝＋＝a＋b (2)空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 三、空间向量的数乘运算 思考　实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？ 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： ①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb， ②结合律：λ(μa)＝(λμ)a. (1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb； ③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)． 四、共线向量与共面向量 思考1　回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义． 思考2　空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？ (1)平行(共线)向量 定义 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合 充要条件 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使a＝λb 点P在直线l上的充要条件 存在实数t满足等式＝＋ta在直线l上取向量＝a，则＝＋t 向量a为直线的方向向量 (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对 (x，y)使p＝xa＋yb 点P位于平面ABC内的充要条件 存在有序实数对(x，y)， 使＝x＋y 对空间任一点O， 有＝＋x＋y 五、空间向量数量积的概念 思考　如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法． (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c (3)空间向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b. 六、空间向量的数量积的性质 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 ②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ ④|a·b|≤|a|·|b| 【题型精讲】 题型一、有关空间向量的概念的理解 例1．（24-25高二上·河南商丘·阶段检测）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【针对训练】 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．多选（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 题型二、空间向量的加减运算 例2．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 反思与感悟　根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可以按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，另外化简的结果要在图中标注好． 【针对训练】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 题型三、空间向量的数乘运算 例3．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 反思与感悟　应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量运算的前提，表示向量时要注意选定向量，明确转化的目标． 【针对训练】 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 题型四、向量共线、共面问题 例4．如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 反思与感悟　判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可．证明点共线，只需证明对应的向量共线． 例5. 如图，已知、、、、、、、、为空间的个点，且，，，，，，. 求证：（1）、、、四点共面，、、、四点共面； （2）； （3）. 例6．（25-26高二上·广东深圳·期中）空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高三上·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·北京朝阳·模拟预测）在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东·阶段检测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 题型五、空间向量的数量积 角度1 数量积的概念辨析 例7．（25-26高二·全国·寒假作业）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【针对训练】 1．多选（25-26高二上·新疆伊犁·期末）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 角度2 数量积的应用 例8．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 例9. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A． B． C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为 反思与感悟　利用向量求异面直线夹角的方法： 例10. 在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角．求B、D间的距离 反思与感悟　利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可． 【针对训练】 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、多选题 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 三、填空题 3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____ 四、解答题 4．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【课后作业】 一、单选题 1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 2．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，是平面内不共线的四点，为平面外一点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽安庆·阶段检测）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 二、多选题 5．（2026高二下·全国·专题练习）（多选）下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 C．若空间向量满足，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 6．（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 10．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 三、填空题 11．（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则_____． 12．（23-24高二上·广东深圳·阶段检测）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则__________. 13．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图在平行六面体中，，，，则的长是___________．    四、解答题 14．（25-26高二·全国·寒假作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 15．（25-26高二下·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $