专题1.5 空间向量基本定理辅导讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，系统梳理基底与基向量、单位正交基底、正交分解等内容，构建从定理内涵到基底应用，再到正交分解与坐标表示的学习支架，衔接平面向量到空间向量的知识拓展。 通过经典例题（如四面体中点向量表示）和变式训练，培养学生空间观念（数学眼光）与逻辑推理（数学思维），正交分解及坐标表示强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后练习助力学生巩固应用，有效查漏补缺。

专题1.5 空间向量基本定理 高中数学辅导资料 专题1.5 空间向量基本定理 一、必备知识： 1.空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2.基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 3.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 4.正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 5.空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）． 6.用基底表示向量的方法: （1）结合已知向量和所求向量观察图形． （2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． （3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 二、考点专练： 经典例题： 1．如图，已知、分别是四面体的棱、的中点，点在线段上，且，设向量，，，则 （用表示）   【答案】． 【详解】因为、分别是棱、的中点，且，所以.故答案为. 2．如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】在正方体中，，而，因此，，，所以.故选：A. 3．平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，可得，故．．故选：A 4．如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题在方向上的投影向量为，又， 且，所以，所以.故选：A 变式训练： 1．如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为的中点，则，因为，则，因此，.故选：B. 2．在平行六面体中，，记向量，，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为平行六面体钟，，所以是的中点，故.故选：C 3．已知是空间的一个基底，若，则 ． 【答案】0 【详解】是空间的一个基底，为不共面向量．又， ，．故答案为：0. 4．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】连接，因为是的中点，所以，因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱，所以四边形为长方形，又因为是的中点，所以， 则，又，又，，不共面，所以，所以．故选：D． 5．四棱锥的底面是平行四边形，且，若则 ． 【答案】/ 【详解】如图，由于，则运用三点共线的向量表达式可以得到，．即，则，则. 故答案为：. 6．在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】在平行六面体中，是的中点，对于AB，，而，不共面，因此，A正确，B错误；，则，于是，由为平面内一点，得共面，由共面向量定理得，因此，C正确，D错误. 故选：AC 7．已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 【答案】 5 【详解】由可得：，由得：，所以，即；又由各边及其对角线的长都是6，即各面都是等边三角形，所以，则.所以，故答案为：①,②. 8．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，连接，则． 因为，即，故，因为、、、四点共面，且、不共线，存在、，使得，所以， 由空间向量的基本定理可得，解得，所以.故选：A. 9．已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则 ； ． 【答案】 2． 【详解】，设，由共面，有，解得，故.又，有，则.故答案为：；2． 10．已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面使得三点在该平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【详解】设三棱锥的侧棱长为，题设所作平面为，以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设单位向量是平面的一个法向量，由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组，使得，依题意，在上的投影向量的长度为1，则，即，即，解得，同理得，，于是，而，所以.故选：C 巩固练习： 1．三个空间向量，，不共面，且存在实数，使.则 . 【答案】 【详解】因为，，，不共面，所以，，，所以. 故答案为：. 2．如图，在四面体中，是的中点．设，， ，用，，表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由是的中点，可知，所以. 3．如图，三棱锥中，，，，点N为BC中点，点M满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为三棱锥中，，，，且点N为BC中点，点M满足，所以故选：B 4．如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，因为，，所以，所以．故选：A. 5．如图，在平行六面体中,为的中点，则用向量可表示向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意.故选B. 6．在四面体中，点满足，为的中点，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由题意知， 因为，所以，则.故选：B 7．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意,因为，，，四点共面，所以存在实数，使，所以，所以，所以，所以．故选：B. 8．已知四棱锥的底面为平行四边形，为的中点，，若平面与棱相交于点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为四边形为平行四边形，所以，相互平分于点，可得，又为的中点，，则．又因为，，，四点共面，所以，即.故选：B． 9．在正三棱锥中，是的中心，，则 ． 【答案】16 【详解】如图：首先：，.又.所以.故答案为：16 10．如图，在正四面体中，分别在棱上，且，若，则 ； .   【答案】 【详解】依题意，，因为，又，所以， 所以；则.故答案为：； 试卷第1页，共3页 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.5 空间向量基本定理 高中数学辅导资料 专题1.5 空间向量基本定理 一、必备知识： 1.空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2.基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 3.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 4.正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 5.空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）． 6.用基底表示向量的方法: （1）结合已知向量和所求向量观察图形． （2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． （3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 二、考点专练： 经典例题： 1．如图，已知、分别是四面体的棱、的中点，点在线段上，且，设向量，，，则 （用表示）   2．如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（    ）   A． B． C． D． 2．在平行六面体中，，记向量，，，则向量（    ） A． B． C． D． 3．已知是空间的一个基底，若，则 ． 4．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 5．四棱锥的底面是平行四边形，且，若则 ． 6．在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 8．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 9．已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则 ； ． 10．已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面使得三点在该平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（    ） A．3 B． C． D．4 巩固练习： 1．三个空间向量，，不共面，且存在实数，使.则 . 2．如图，在四面体中，是的中点．设，， ，用，，表示，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，三棱锥中，，，，点N为BC中点，点M满足，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中,为的中点，则用向量可表示向量为（    ） A． B． C． D． 6．在四面体中，点满足，为的中点，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 7．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知四棱锥的底面为平行四边形，为的中点，，若平面与棱相交于点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 9．在正三棱锥中，是的中心，，则 ． 10．如图，在正四面体中，分别在棱上，且，若，则 ； .   试卷第1页，共3页 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $