20.1 认识二次根式 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件围绕“二次根式”展开，含概念及性质两课时，核心知识点包括二次根式的定义、有意义的条件、双重非负性及(√a)²=a、√a²=|a|等性质。课堂导入通过复习平方根、算术平方根及旧知，搭建前后知识支架，帮助学生自然衔接新知。 其亮点在于采用合作探究（如从正方形面积、直角三角形斜边长抽象概念）、对比辨析（表格区分(√a)²与√a²异同），结合数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理意识）。典例与分层练习结合，助学生提升运算能力，教师可借此高效落实重难点，促进学生理解与应用。

20.1 认识二次根式 20.1 认识二次根式 第1课时 二次根式的概念 1.理解二次根式的概念; 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围.(重、难点) 学 习 目 标 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. a的平方根是±. 复 习 导 入 问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根； 0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. 用 (a≥0)表示. 合 作 探 究 1.如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是 . 2.如图所示的直角三角形，则直角三角形的斜边长是 . b-4 💡你认为下列各代数式有哪些共同特点？ , a 5 ❓ 合 作 探 究 二次根式的定义： 理解要点： 两个必备特征 ①外貌特征：含有“”. ②内在特征：被开方数a≥0. 形如 (a ≥ 0)的式子叫做二次根式. “”称为二次根号，a叫做被开方数. 新 知 小 结 2.二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3. a既可以是一个数，也可以是一个式子. 1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识！ 思 考 例1 下列各式：①(x＞-1)；②；③； ④；⑤其中二次根式的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 典 例 精 析 下列代数式中，一定是二次根式的是(　　) D A. B. C. D. 思 考 例2 x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ （1） （2） （3） （4） （1）被开方数 x + 3 ≥ 0， ∴ x ≥ -3. （3）x > 0. （4）∵ 1-x＞0, ∴ x < 1. （2）被开方数 2x - 3 ≥ 0， ∴ 典 例 精 析 （1）当 时，有意义； （2）当 时,有意义； （3）当 时,+ 有意义； （4）当 时,有意义. x取全体实数 2≤x≤3 x≥－2，且x≠2 思 考 使二次根式有意义的x的取值范围是（ ） 1＜x＜7 B. 0＜x≤7 C. x≤7 D. x ≥ 7 2. 函数y= + 中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. D A 随 堂 练 习 3.下列各式是二次根式吗? （； （2）6； （3）； （4）； （5）(m≤0); （6）(x,y异号)； （7）; （8）.     随 堂 练 习 一般地，我们把形如 (a ≥ 0)的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号，a叫做被开方数。 二次根式的概念 ①外貌特征： 含有“”. ②内在特征： 被开方数a≥0. 课 堂 总 结 20.1 二次根式 第2课时 二次根式的性质 1.探索二次根式的性质; (重点) 2.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点) 学 习 目 标 复 习 导 入 　 1.形如 的式子叫做二次根式. 　 2.二次根式需满足两个条件:①含有二次根号“”；②被开方数是非负数. 3.式子，需要满足 　 时，才有意义.  x－1≥0即x≥1　 (a≥0) 合 作 探 究 思考：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算数平方根.对于任意一个二次根式，我们知道： 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 性质1：二次根式的双重非负性 （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0. 合 作 探 究 例1 （1）若︱a-2︱++=0,求a-b+c的值； （2）设y= + +2016,试求x+2y的值. 解：（1）由题意得，a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4, ∴a-b+c=2-3+4=3. （2）由题意得，1-x≥0，且x-1≥0， 解得x=1, ∴y=2016, ∴x+2y=1+2×2016=4033. 典 例 精 析 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据． ()2 = ； ()2 = ； ()2 = ； ()2 = . 4 2 0 是2的算数平方根，根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数，因此有()2 =2. 思 考 一般地，有 ≥0（≥0）； 2=（≥0）. 性质2： 新 知 小 结 ; =× =×5= ; . 解：= ; ; =8; =9. （2）用到了(ab)2=a2b2这个结论. 典 例 精 析 （1） ①＝ ； ② ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ .  (2)归纳:一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己 的语言描述出来. 当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝－a. 3 0 思 考 一般地，有 2=︱a︱＝ 性质3： a（a≥0）; -a（a＜0）. 新 知 小 结 例3 计算 ； ； ； 解： 典 例 精 析 ()2与的异同点: ()2 不 同 点 意义不同 a的取值 范围不同   运算顺 序不同 运算结果不同 1.都要进行平方和开平方两种运算； 2.运算的结果都是非负数，即()2≥0，≥0. 表示非负数a的算术 平方根的平方 表示实数a的平方的 算术平方根 a≥0 a取任意实数 先开方，后平方. 先平方，后开方. ()2=a 2=︱a︱ 相 同 点 合 作 探 究 1.化简 得（ ） A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4 C 2. 当1<x<3时， 的值为（ ） A.3 B.-3 C.1 D.-1 D 3.化简： （1） ＝ ; （2） ; （3） ; （4） = . ３ ７ ４ 随 堂 练 习 -1 0 1 2 a 4. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果是 . 1 5.利用a＝ （a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： (1) 9 ； (2)5 ； (3)2.5； (4) 0.25； (5) ； (6)0. 随 堂 练 习 性质1：二次根式的双重非负性 二次根式的性质 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 性质2：()2=a 性质3： 课 堂 总 结 $