10.1.1 有限样本空间与随机事件导学案（探究课）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦“有限样本空间与随机事件”，通过《流浪地球》抽签情境、食堂选套餐等生活实例导入，结合前置学习的概念填空与生活应用，搭建从现实问题到数学概念的学习支架，引导学生理解随机试验、样本空间等核心知识。 资料以生活实例抽象数学概念提升数学抽象素养，通过列举法、树状图法培养逻辑推理能力，设置掷骰子实验等动手操作及情境例题促进数学建模，助力学生自主学习，提升学习效率，符合新课标核心素养要求。

2025-2026学年高中数学人教A版必修第二册第十章 概率 10.1 随机事件与概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件导学案（探究课）（同步练习） 【模块一 目标引领】 一、知识目标 1. 能说出随机试验的三个特征，判断一个现象是否为随机试验。 2. 能写出简单随机试验的所有样本点，并用集合表示样本空间。 3. 能区分随机事件、必然事件、不可能事件，说明事件与样本空间的关系。 二、能力目标 1. 能用列举法、列表法、树状图法写出两步试验的样本空间，做到不重不漏。 2. 能将自然语言描述的事件转化为集合语言表示。 三、素养目标 1. 通过从生活实例中抽象出随机试验、样本空间等概念，提升数学抽象素养。 2. 通过列举样本点和表示事件，提升逻辑推理和数学建模素养。 【模块二 前置学习】 一、概念填空 1. 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为________，简称试验，常用字母E表示。 2. 随机试验E的每个可能的基本结果称为________，全体样本点的集合称为试验E的________，一般用希腊字母________表示。 3. 如果一个随机试验有n个可能结果，则称这个样本空间为________。 4. 我们将样本空间Ω的子集称为________，简称事件。只包含一个样本点的事件称为________。 5. 在每次试验中，当且仅当事件A中某个样本点出现时，称为________。 二、判断正误 1. 试验可以在相同条件下重复进行，这是随机试验的特征之一。（ ） 2. 样本空间中的元素个数一定是有限的。（ ） 3. 必然事件和不可能事件都是随机事件的特殊情况。（ ） 4. 事件A发生，意味着事件A中的所有样本点都出现了。（ ） 三、生活应用 请列举你生活中遇到的3个随机现象，并简单说明为什么它们是随机的。 1. ________________________________ 2. ________________________________ 3. ________________________________ 【模块三 合作研学】 一、情境引入 不知道你有没有看过《流浪地球》这部电影？电影里有个情节，宇航员刘培强用抽签的方式决定谁能进入地下城。你有没有想过，抽签为什么公平？为什么我们说"抽到的概率是一样的"？这背后藏着什么数学原理？ 今天咱们就来揭开这个谜底。说白了，概率就是研究随机现象规律的学问。而要研究概率，首先得搞清楚一件事——这个随机现象所有可能的结果到底有哪些。 二、知识点对比 【关键点】 随机现象有三种类型，咱们用一张表来对比： 事件类型 定义 例子 必然事件 在一定条件下必然发生的事件 太阳从东方升起 不可能事件 在一定条件下必然不发生的事件 掷骰子出现7点 随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件 明天会下雨 【要牢记】 必然事件和不可能事件虽然名字里没有"随机"二字，但它们是随机事件的两种极端情况。就像咱们说"人"，既包括正常人，也包括极端情况一样。 三、案例分析 咱们来看一个真实的生活场景。 假设你去食堂买饭，食堂窗口有3种套餐：A套餐（红烧肉）、B套餐（鱼香肉丝）、C套餐（宫保鸡丁）。你今天随机选一种套餐。 问题来了： 1. 这个试验的样本空间是什么？ 2. "选到肉菜"这个事件包含哪些样本点？ 3. "选到素菜"这个事件是什么事件？ 【动手操作】 现在咱们来做一个角色扮演活动。全班分成6个小组，每个小组扮演一个"骰子工厂"的质检员。你们的任务是：检验一枚骰子是否"公平"。 具体做法：每个小组掷骰子30次，记录每次出现的点数。然后统计每个点数出现的次数。 教师提问："同学们，你们觉得什么样的骰子才算公平？" 学生活动：小组讨论2分钟，然后派代表发言。 教师引导：对，公平的骰子就是每个点数出现的可能性一样大。那怎么判断可能性一样大呢？这就需要我们先搞清楚所有可能的结果有哪些——这就是样本空间。 四、重难点分析 【重点】 样本空间的概念和表示方法是本节课的重点。为什么说它重要？因为后面所有的概率计算，都建立在样本空间的基础上。就像盖房子要先打地基一样，样本空间就是概率的地基。 学生在哪个具体步骤容易出错呢？主要是在写样本空间的时候，要么漏了某些结果，要么重复了。比如掷两枚硬币，有的同学只写了"正正、反反、一正一反"三种，漏掉了"正反"和"反正"是两种不同的结果。 怎么突破呢？教你一招——按顺序列举。比如第一枚硬币的结果有两种：正、反。对于每一种情况，第二枚硬币又有两种结果。这样按树状图的方式写，就不会漏了。 【难点】 理解"事件发生"的含义是本节课的难点。很多同学以为，事件A发生就是事件A里所有的样本点都出现了。这就大错特错了。 举个例子，事件A是"掷骰子出现偶数点"，包含2、4、6三个样本点。那掷一次骰子，出现了4点，你说事件A发生了没有？当然发生了！因为4是偶数。你不需要同时出现2、4、6三个点才算事件A发生。 说白了，事件A是样本空间的一个子集。只要这个子集里的任意一个样本点出现了，事件A就发生了。就像咱们说"今天吃了水果"，你吃了苹果就算，不需要把苹果、香蕉、橘子都吃一遍。 突破方法：多举生活中的例子。比如"考试及格"这个事件，包含60分、61分……100分这么多样本点。你考了85分，算不算及格？当然算。这样学生就容易理解了。 五、板书设计 本节课的板书可以这样设计： 左边写概念：随机试验、样本点、样本空间、随机事件、必然事件、不可能事件。 中间写关系：事件是样本空间的子集；必然事件对应全集Ω；不可能事件对应空集∅。 右边写例子：掷硬币、掷骰子、抽卡片三个典型例子，每个都写出样本空间和一两个事件。 【模块四 例题讲解】 例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。 （1）如果a大于b，那么a减b大于0。 （2）掷一枚硬币，正面朝上。 （3）从分别标有1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签。 （4）某电话机在1分钟内收到2次呼叫。 （5）没有水分，种子发芽。 （6）在标准大气压下，水加热到100摄氏度会沸腾。 【解答】 （1）必然事件。因为如果a大于b，那么a减b一定大于0，这是不等式的基本性质。 （2）随机事件。掷硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，事先不能确定。 （3）随机事件。从5张标签中任取一张，可能取到4号签，也可能取到其他号签。 （4）随机事件。电话机在1分钟内收到几次呼叫是不确定的，可能是0次、1次、2次或更多。 （5）不可能事件。种子发芽需要水分，没有水分种子不可能发芽。 （6）必然事件。在标准大气压下，水的沸点就是100摄氏度，加热到100摄氏度一定会沸腾。 【方法总结】 判断事件类型的关键是看"在一定条件下"这个事件是一定发生、一定不发生，还是可能发生也可能不发生。注意，条件变了，事件的类型也可能变。比如"水加热到100摄氏度沸腾"，在标准大气压下是必然事件，但在高原地区就不是了。 例2 写出下列随机试验的样本空间。 （1）掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数。 （2）从甲、乙、丙三名同学中任选两人参加活动，观察选举结果。 （3）一个口袋里有3个白球和2个黑球，从中任取两个球，观察球的颜色情况。 【解答】 （1）掷一枚骰子，可能出现的点数是1、2、3、4、5、6。 所以样本空间Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。 （2）从三名同学中任选两人，可能的结果有：甲和乙、甲和丙、乙和丙。 所以样本空间Ω = {甲乙, 甲丙, 乙丙}。 注意啦，这里"甲乙"和"乙甲"是同一种结果，因为选人的顺序不影响结果。 （3）从3个白球和2个黑球中任取两个球，按颜色分有三种情况：两个都是白球、一个白球一个黑球、两个都是黑球。 所以样本空间Ω = {两白, 一白一黑, 两黑}。 如果考虑具体是哪个球，那样本空间会更大，但这里只观察颜色，所以这样写就可以了。 【方法总结】 写样本空间的关键是搞清楚"试验的目的是什么"，也就是我们观察的是什么。观察的角度不同，样本空间可能就不一样。另外，列举的时候要按一定的顺序，做到不重不漏。 例3 设集合M = {1, 2, 3, 4}，从M中随机取出一个数。 事件A表示"取出的数小于3"，事件B表示"取出的数是偶数"。 （1）写出这个试验的样本空间。 （2）用集合表示事件A和事件B。 （3）说出事件A和事件B分别包含哪些样本点。 【解答】 （1）从集合M中随机取出一个数，可能的结果是1、2、3、4。 所以样本空间Ω = {1, 2, 3, 4}。 （2）事件A是"取出的数小于3"，满足条件的数有1和2。 所以事件A = {1, 2}。 事件B是"取出的数是偶数"，满足条件的数有2和4。 所以事件B = {2, 4}。 （3）事件A包含的样本点是1和2。 事件B包含的样本点是2和4。 【方法总结】 用集合表示事件，就是把事件对应的所有样本点放在一个集合里。这里容易踩坑的地方是：有的同学会把事件写成"小于3"这样的文字描述，而不是写成集合的形式。记住，事件是样本空间的子集，所以一定要用集合来表示。 【模块五 课堂练习】 一、判断题（正确的打√，错误的打×） 1. "明天会下雨"是必然事件。（ ） 2. 样本空间中的每个元素都是一个样本点。（ ） 3. 随机事件就是可能发生也可能不发生的事件。（ ） 4. 从5个红球中任取一个，取到白球是随机事件。（ ） 5. 事件A发生，当且仅当事件A中的某个样本点出现。（ ） 二、填空题 6. 随机试验的三个特征是：可以在相同条件下重复进行；所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验恰好出现这些结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个。其中"所有可能结果是明确可知的"对应的是________的概念。 7. 掷两枚硬币，观察正反面情况，这个试验的样本空间有________个样本点。 8. 从装有3个红球和2个白球的袋子中任取一个球，"取到红球"是________事件。（填"必然""不可能"或"随机"） 9. 样本空间Ω = {a, b, c, d}，事件A = {a, b}，事件B = {b, c, d}，那么事件A和事件B共同包含的样本点是________。 10. 必然事件对应的集合是________，不可能事件对应的集合是________。 三、解答题 11. 一个盒子里有标号为1、2、3的三个球，从中随机取出两个球，观察球的标号。 （1）写出这个试验的样本空间。 （2）用集合表示事件A："取出的两个球标号之和为4"。 （3）说出事件A包含几个样本点。 12. 甲、乙两人玩猜拳游戏（石头、剪刀、布），观察两人出拳的情况。 （1）写出这个试验的样本空间。 （2）用集合表示事件B："两人出拳相同"。 （3）这个试验一共有多少个样本点？ 【模块六 参考解答】 一、判断题答案 1. ×。明天会不会下雨是不确定的，所以是随机事件，不是必然事件。 2. √。样本点就是样本空间的元素，全体样本点组成样本空间。 3. √。这就是随机事件的定义：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 4. ×。袋子里只有红球，不可能取到白球，所以"取到白球"是不可能事件。 5. √。这是事件发生的定义：当且仅当事件A中某个样本点出现时，事件A发生。 二、填空题答案 6. 样本空间。因为样本空间就是全体样本点的集合，也就是所有可能结果。 7. 4。掷两枚硬币，可能的结果是：正正、正反、反正、反反，共4个样本点。 8. 随机。因为袋子里既有红球也有白球，取到红球是可能发生也可能不发生的。 9. b。事件A有a和b，事件B有b、c、d，共同的只有b。 10. 全集Ω；空集∅。必然事件一定发生，对应所有样本点，也就是全集；不可能事件一定不发生，对应没有样本点，也就是空集。 三、解答题答案 11. 【解答】 （1）从三个球中随机取出两个球，可能的结果有：1和2、1和3、2和3。 所以样本空间Ω = {(1,2), (1,3), (2,3)}。 注意，这里(1,2)和(2,1)是同一种结果，因为取球不考虑顺序。 （2）事件A是"取出的两个球标号之和为4"。 计算一下：1+2=3，1+3=4，2+3=5。 所以满足条件的只有1和3这一组。 因此事件A = {(1,3)}。 （3）事件A包含1个样本点，就是(1,3)。 12. 【解答】 （1）甲、乙两人各有3种出拳选择：石头、剪刀、布。 甲出石头时，乙可能出石头、剪刀、布； 甲出剪刀时，乙可能出石头、剪刀、布； 甲出布时，乙可能出石头、剪刀、布。 所以样本空间Ω = {(石头,石头), (石头,剪刀), (石头,布), (剪刀,石头), (剪刀,剪刀), (剪刀,布), (布,石头), (布,剪刀), (布,布)}。 （2）事件B是"两人出拳相同"，也就是两人都出石头、都出剪刀、都出布这三种情况。 所以事件B = {(石头,石头), (剪刀,剪刀), (布,布)}。 （3）这个试验一共有9个样本点。 因为甲有3种选择，乙也有3种选择，3×3=9。 【模块七 收获盘点】 一、易错点分析 【易错点1】列举样本点时遗漏或重复 有的同学写样本空间时，要么漏掉一些结果，要么把同一种结果写了两遍。比如掷两枚硬币，有的同学只写了3种结果，漏掉了"正反"和"反正"是两种不同的情况。 【正解思路】 列举样本点要按一定的顺序，比如用树状图或者列表法。先固定第一个因素的结果，再看第二个因素有几种可能。这样有条理地写，就不会漏也不会重了。 【易错点2】认为事件发生需要所有样本点都出现 很多同学以为，事件A发生就是事件A里所有的样本点都得出现。这是不对的。 【正解思路】 事件A是样本空间的一个子集。只要这个子集里的任意一个样本点出现了，事件A就发生了。就像"今天吃了水果"，你吃了苹果就算吃了水果，不需要把所有水果都吃一遍。 【易错点3】混淆必然事件和不可能事件的集合表示 有的同学搞反了，以为必然事件对应空集，不可能事件对应全集。 【正解思路】 必然事件是一定发生的事件，也就是不管出现哪个样本点，这个事件都发生。所以必然事件包含所有的样本点，对应全集Ω。 不可能事件是一定不发生的事件，也就是没有任何样本点属于它，所以对应空集∅。 你可以这样记：必然事件就是"全中"，不可能事件就是"全不中"。 二、学法建议 1. 学概念要结合例子。概率的概念比较抽象，光背定义没用，一定要结合掷硬币、掷骰子这些具体例子来理解。 2. 写样本空间要讲方法。不要想到哪写到哪，要用树状图、列表法这些工具，按顺序列举。 3. 多做判断题。事件类型的判断、样本点的识别，这些基础内容要多练，练熟了后面学概率计算才轻松。 4. 课后24小时内整理今天学的三个核心概念：随机试验、样本空间、随机事件，用自己的话写一遍定义，再各举一个例子。 学科网（北京）股份有限公司 $